在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 ——工作量=工作效率×时间.
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。
工程问题方法总结：
一：基本数量关系：
工效×时间=工作总量
二：基本特点：
设工作总量为“1”，工效=1/时间
三：基本方法：
算术方法、整体思想、组合法、比例方法、方程方法、假设法
四：基本思想：
分做合想、合做分想。
五：类型与方法：
一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。
二：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配
三：休息请假：
方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。3.方程法
四：周期工程
休息与周期：
1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。
2..天数：①近似天数，②准确天数。
3.列表确定工作天数。
交替与周期：估算周期，注意顺序！
注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。
五：工效变化。
六：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。
七：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。
一、用“组合法”解工程问题
专题简析：
在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
例题1。
一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的 ，乙队
30单独完成全部工程需要几天？
7
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是
，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问15
1
题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量 － ×3＝ ，从而求出
301530甲队的工作效率。所以
7
1
1
1÷【 －（ － ×3）÷（5－3）】＝20（天）
153015
171
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
边讲边练：
1、 师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做1天，共完成任务的 。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？ 20
3
2、 某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的
。如果这项工程由甲队独做2天，再由乙队24
5
13
独做3天，能完成全部工程的 。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
24
3、 甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，还剩这项工程的
。甲、乙两队独做各需几天完成？ 158
例题2：
1
一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的 。
2现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？
111
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（ － ×3）÷2＝ ；再由条件“做完后发
2128现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
（1） 乙队每天完成这项工程的
111
（ － ×3）÷2＝
2128
（2） 两段时间一共是
11
1÷（ ×2+ ）×2＝6（天）
812
答：两段时间一共是6天。
边讲边练：
1、 一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的 。
15现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？
8
2、 一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？
3、 某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？
例题3：移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由11
弟弟栽了1小时，还剩总棵数的 没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红
16柿苗多少棵？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几
1113
（1－ － ×1）÷（3－1）＝
16832
一共要移栽的西红柿苗多少棵
13
7÷【 －（ － ）】＝112（棵）
32832
3
答：共要移栽西红柿苗112棵。
边讲边练：
1、 加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。先由师傅加工8小时，接着再由徒弟加
3
工6小时，共加工了这批零件的 。已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。这批零件共有多少个？
5
2、 修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，还剩这条公路的 没有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这条公路全长多少米？
10
3
3、 修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？
例题4：
一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可22
以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的 。如果由甲、
33丙合做，需几小时完成？
2
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的 ”组合成“甲
32
工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的 ”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组
3合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
211
（ － ×2）÷（6－2）＝
3612
丙每小时完成这项工程的几分之几
211
（ － ×3）÷（6－3）＝
3618
甲、 丙合做需完成的时间为：
1
1÷（ + ）＝7 （小时）
12185
11
1
答：甲、丙合做完成需要7 小时。
5
边讲边练：
1、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做2小1311
时，可以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的 。
1818
这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
2、 一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？
3、 一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、乙、丙三队合1
做4天后，余下的工程由乙队独做5 天完成。乙队单独做这项工程需多少天可以完成？
2
4、 一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由甲、丙合做2小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？
例题5：一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
【1－（ + ）】×（4+7）＝
243040
111
三队合修完成时间为
1÷（ + + ）＝10（天） 243040
111
答：10天可以完成。
边讲边练：
1、 一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？
2、 一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，剩下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？
3、 一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如果甲、丙合做3天后，由乙单独做，还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？
4、 一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合做了12天。这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？
答案：
练1
1、 1÷【（ － ）÷（3－1）】＝30天
2012
31
135
2、 乙：1÷【（ － ×2）÷（3－2）】＝8天
2424
131
甲：1÷（ － ）＝12天
248
3、 乙：1÷【（1－ － ×8）÷（12－8）】＝60天
1520
81
甲：1÷（ － ）＝30天
2060
11
练2
1、 乙队的工作效率：（
－ ×5）÷4＝ 151520
811
总共的天数：1÷（ + ×2）×2＝12天
1520
11
1
2、 1÷【（1－ ×6）÷3】＝12天
8
3、 甲做的天数：1÷（ + ×3+ ×3×2）＝2天
121824
111
总共的天数：2+2×3+2×3×2＝20天
练3
311
1、 师傅每小时做这批零件的（ － ×6）÷（8－6）＝
51220
这批零件共有10÷【
－（ － ）】＝600个
201220
111
11
2、 甲队每天修这条公路的（1－ － ×3）÷（5－3）＝
10610
3
11
这条公路全长多少米 20÷【 －（ － ）】＝600米
10610
1
3、 甲、乙两队工作效率的比是：
： ＝3：5 4024
11
13
这段公路的全长 750÷（ － ）＝6000米
23+5
或 750×2÷（5－3）×（5+3）＝6000 米
1311
练41、甲队的工作效率（ － ×2）÷（4－2）＝
1849
1111
丙队的工作效率（ － ×2）÷（4－2）＝
18418
11
甲、丙合做需要的时间1÷（ + ）＝6小时
918
111
2、 乙队每天能做全工程的【1－（ ×3－ ×3）】÷（6－3）＝
61015
乙队独做这项工程需要的时间1÷ ＝15天 15
1
111
3． 乙队每天能做全工程的【1－（ ×4－ ×4）】÷（5 －4）＝
108215
1
乙队单独做这项工程需要的时间1÷ ＝15天 15
1
111
4、 乙队的工作效率【1－（ ×2+ ×2）】÷（6－2－2）＝
4520
乙独做这件工作需要的时间1÷ ＝20小时 20
1
练5 1、乙每小时做这件工程的（1－ ×4）÷（6+4）＝
1215
11
2
甲、乙合做完成需要的时间1÷（ + ）＝6 小时
12153
11
2
2、 甲、乙两队完成的工作量（ + ）×（8+2）＝
120403
11
2
丙队单独挖需要的时间1÷【（1－ ）÷12】＝36天
3
111
3． 乙的工作效率【1－（ ×3+ ×3）】÷（9－3－3）＝
61015
丙的工作效率 － ＝
101530
111
11
三人合做需要的时间1÷（ + ）＝5天
610
4、 甲队的工作效率【1－
×（12+15）】÷（24－15）＝ 3090
11
甲队单独做需要的时间1÷ ＝90天 90
1
二、特殊工程问题
专题简析：
有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。
例1：修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每
天工作6小时，几天可以完成？
把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则
1÷[
+ ]÷6=4（天） 5×810×6
11
或1÷[（
+ ）×6]=4（天） 5×810×6
11
答：4天可以完成。
边讲边练：
1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？
2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7人合作，多少天可以完成？
3、 货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用20辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？
例2：
有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？
设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”
① 三人同时搬运了
2÷（ + + ）=8（小时）
101215
111
② 丙帮甲搬了
（1-
×8）÷ =3（小时） 1015
11
③ 丙帮乙搬了
8-3=5（小时）
答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。
边讲边练：
1、 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的 ，徒弟每小时加工自己任务
10的
。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工151
1
了几小时？
2、 有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，丙需要9小时。甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？
5
3、 甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的 ，乙每小时加工12个零
8件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？
例3：一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？
解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。
解：设甲做了x天，则乙做了（14-x）天。
x+ ×（14-x）=1 2012
11
X=5
解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是
×14，比总工作量多了 ×
1212
11
111111
14-1= ，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了 - = ，因此甲做了 ÷ =5（天）
6122030630
练习3：
1、 一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？
2、 一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队单独做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？
3、 一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，这样共用40天完成。求乙休息的天数。
例4：甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？
解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。
①
甲、乙同时做的工作量为18 ×（10-3）＝7
8
②
乙单独做的工作量为1－71
8 ＝8
③
乙的工作效率为18 ÷3=1
24
④
甲的工作效率为18 －124 ＝1
12
⑤
甲单独做需要的天数为1÷1
12
＝12（天）
解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。由此可知，甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/4
3÷[（10-8）÷8]=12（天）或
3×[8÷（10-8）]=12（天）
答：甲单独做需要12天完成。
练习4：
1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中，甲因输请假5天，因此共用15天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？
2、 一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后，还可以做多少条裤子？
3、 一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲通工了2.5小时，因此，经过7.5小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？
4、 一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？
例5：放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时放满；如果同时开放①③⑤号阀门，12小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？
从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现3次，②④⑤号阀门各出11
现2次。如果 + + + 再加一个 ，则是五个阀门各放3小时的总水量。
15101288
111
111
1÷[（ + + + + ）÷3]=1÷[ ÷3]=6（小时）
151012882
111
边讲边练：
1、 完成一件工作，甲、乙合作需15小时，乙、丙两人合作需12小时，甲、丙合作需10小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？
11
2、 一项工程，甲干3天，乙干5天可以完成 ，甲干5天、乙干3天可完成 。甲、乙合干
23需几天完成？
3、 完成一件工作，甲、乙两人合作需20小时，乙、丙两人合作需28小时，丙、丁两人合作需30小时。甲、丁两人合作需几小时？
4、 一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天完成，由一、二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20天完成。由第一小队单独干需要多少天？
答案：
练1
1、 1÷（ + ）÷2＝7.5小时
4×68×5
11
2、 1÷（ ×2+ ×7）＝3天
3×84×7
11
3、 （1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的
1
1－（ ×2+ ×5+ ×7）×2＝
3×44×520×64
111
11
（2）后两天需要小板车： ÷（ ×2）＝15辆
420×6
练2
1、 2÷（ + ）－10＝2小时
1015
11
1
2、 2÷（ + + ）＝8小时
18129
11
甲帮乙：（1－ ×8）÷ ＝6小时
1218
11
11
甲帮丙：（1－ ×8）÷ ＝2小时
918
515
3、 解法一：12×（ ÷ ）÷（1－ ）＝240个
8128
解法二：12÷（8－5）×5×12＝240个
练3
111
1、 （ ×6－1）÷（ － ）＝3天
4412
2、 甲：（1－ ×35）÷（ － ）＝15天
403040
111
乙：35－15＝20天
3、 40－（1－ ×40）÷ ＝25天 5075
11
练4
1、 5×【12÷（15－12）】＝20天
2、 48－48÷30×20＝16条
3、 2.5×【6÷（7.5－6）】＝10小时
练5
1、 1÷【（1 +1 +1
151210
）÷2】＝8小时
2、 1÷【（11
2 +3
）÷（3+5）】＝9.6天
3、 1÷（1 +11
2030 －28
）＝21小时
4、 1÷【（1 +1 +1 +1 ）÷31
18151220－15
】＝
三、 周期工程问题
专题简析：
54天
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。
例1：一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？
把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。
36
① 需循环的次数为：1÷（ + ）= ＞7（次）
12185
11
② 7个循环后剩下的工作量是：1-（ + ）×7=
121836
111
1
③ 余下的工作两还需甲做的时间为： ÷ = （小时）
36123
11
11
④ 完成任务共用的时间为：2×7+ =14 （小时）
33
1
答：完成任务时需共用14 小时。
3
边讲边练：
1、 一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？
2、 一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？
3、 一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？
2
例2：一项工程，甲、乙合作26 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰
3好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲
1
乙甲乙甲……乙甲 乙 甲
2
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。
221
① 甲每天能做这项工程的1÷26 × =
31+240
② 甲单独做完成的时间1÷ =40（天）
40
1
答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。
边讲边练：
1、 一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？
2、 一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰1
好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多 天才能完
3
成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？
3
3、 一项工程，甲、乙合作12 小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流
5交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流1
做要多 小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？
3
4、 蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？
例3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲
乙甲乙甲……乙甲 乙剩60个
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。
甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个）
乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个）
答：甲每天做150个，乙每天做90个。
边讲边练：
1、 一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？
2、 一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果死一天25
乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多 天才能完成。如果让甲、乙二人合作，只需2 天就可以
58完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？
3、 红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需3小时36分就能
完成。师、徒每小时各能完成多少个？
例4：打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？
根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。
① 每循环一次，他们共完成全部工程的（
+ ）×3＝ 121520
119
2
② 总工作量里包含几个9/20：1÷ =2
209
9
③ 甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1-
×2＝
2010
91
④ 由于 ＞ ，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（ - ）÷
1012101215＝
41
11111
11
⑤ 打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+ =13 （小时）
44
1
答：打印这部稿件共需13 小时。
4
边讲边练：
1、 一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？
2、 一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时……如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？
3、 一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2日两人52
一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的 为几月几日？
75
4、 一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作时，甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？
例5：有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原1
计划多用 天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合
3作要多少天完工？
由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲
1
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙 丙
2
1
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙 甲
3
21212
从中可以退出：丙= 甲；由于乙=甲－ 丙=甲－ 甲× ，又推出乙= 甲；与题中“三个工
32323程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲乙
1
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙 甲
2
1
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙甲 乙
3
12
由此推出：丙= 甲，丙= 乙
23
11
① 丙队每天做这项工程的 × =
13226
1
23
② 乙队每天做这项工程的 ÷ =
26352
1
7
③ 甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（ + + ）=5 （天）
1326529
113
7
答：甲、乙、丙合作要5 天完工。
9
边讲边练：
1、 有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成11
呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用
34天。已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
2、 有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢11
感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。
22已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
3、 有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整1
数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计
217
划多用 天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需13 天可以完成，且3个工程队
39的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？
4、 蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时，1
单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知池内有 池水，
6如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时，多长时间后水开始溢出水池？
答案：
练1
1、 （1）需循环的次数
1115
1÷（ + ）＝ ＞3
6104
（2）3个循环后剩下的工作量
111
1－（ + ）×3＝
6105
（3）最后由乙做的时间
111
（ － ）÷ ＝ 小时
56103
1
（4）需要的总时间
11
2×3+1+ ＝7 小时
33
2、 （1）需循环的次数
140
1÷（ + ）＝ ＞8
142017
11
（2）3个循环后剩下的工作量
1－（
+ ）×8＝ 1420140
114
（3）最后由乙做的时间
÷ ＝ 小时 140145
412
（4）需要的总时间
22
2×8+ ＝16 小时
55
3、 （1）需循环的次数
21124
÷（ + ）＝ ＞3
39127
（2）3个循环后剩下的工作量
2111
－（ + ）×3＝
391212
（3）最后由乙做的时间
13
÷ ＝ 小时
1294
1
（4）需要的总时间
33
2×3+ ＝6 小时
44
练2
1、 提示：甲的效率是乙的2倍
20÷2＝10天
2
2、 提示：乙的效率是甲的
3
1113
1÷【 ×（1－ ）+ 】＝3 天
6365
2
3、 提示：乙的效率是甲的
3
33
1÷（1÷12 × ）＝21小时
53－1+3
4、 （1）需几个周期
11115
÷（ － ）×3＝ ＞3
2354
（2）3个周期后剩下的水
1111
－（ － ）×3＝
23510
（3）需要的时间
119
2×3+1+（ + ）÷ ＝7 小时
105310
1
练3
1、 师傅：84÷（7－4）×7＝196个
徒弟：84÷（7－4）×4＝112个
23
2、 提示：乙的效率是甲的（1－ ）＝
55
53
1÷（1÷2 × ）＝7天
85－2+5
3
3、 3小时36分＝3 小时
5
3
师、徒效率和：1080÷3 ＝300个
5
师傅每小时的个数：（300+60）÷2＝180个
徒弟每小时的个数：（300－60）÷2＝120个
练4
1、 提示：把6分钟看作一个循环
（1） 每循环一次的工作量
（
+ ）×（1+2）＝ 241824
117
（2） 总工作量里面有几个
24
7
3
1÷ ＝3
247
7
（3） 3个循环后剩下的工作量
1
1－ ×3＝
248
7
（4） 一共需要的时间
1111
6×3+1+（ － ）÷ ＝20 分钟
824182
2、 提示：把6分钟看作一个循环
（1） 1个循环的工作量
（
+ ）×（1+2）＝ 121520
119
（2） 总工作量里面有几个
20
9
2
1÷ ＝2
209
9
（3） 3个循环后剩下的工作量
1－
×2＝ 2010
91
（4） 一共需要的时间
1
6×2+ ÷ ＝13 小时
10125
11
说明：2个循环后，是由甲接着干2小时，所以直接用 ÷
1012
11
3、 提示：把12天看作一个循环
12天中甲的工作量
×（3+3+3）＝ 5050
19
12天中乙的工作量
1
×（5+5）＝
606
1
总共需要的天数
1
÷（ + ）＝2
75506
529
（12天减去最后休息的1天）
12×2－1＝23天
52
完成全部任务的 为3月24日。
75
4、 提示：把7天看作一个周期
22
1÷（ ×5+ ×6）＝15
33
7×15－1＝104天
练5
1、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由23
此推出丙的效率是甲的 ，丙的效率也是乙的 。
34
122
（1） 丙的工作效率 × ＝
7321
38
（2） 乙的工作效率 ÷ ＝
21463
2
12817
（3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ + + ）＝2 天
7216323
2、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余1，否则与题意矛盾。由
13
此可以推出丙的效率是甲的 ，乙的效率是甲的 。
24
11
（1） 丙的效率 × ＝
10220
1
113
（2） 乙的效率 ×（1－ × ）＝
102240
1
4
（3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ + + ）＝4 天
1020409
113
22
3、 由题意可以推出，丙的效率是甲的 ＝ ，丙的效率是乙的 ，进而推出甲、乙、丙工作
243效率的比是4：3：2。
1
74
1÷（1÷13 × ）＝31天
94+3+2
4、 提示：每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过 ，否则开甲管的过程中水池里的水
3就会溢出。
2
2
（1） 水池里的水超过 时需要几个循环
3
21111130
（ － ）÷（ － + － ）＝ ＞4
3634567
（2） 循环5次以后，池中水占
16 +（13 －1113
4 +5 －6 ）×5＝4
（3） 总共需要的时间
4×5+（1－34 13 ＝203
4
小时
）÷
四、比例解工程
五、工资分配、最优配置型
11例题1：甲乙丙三人合修一段围墙。甲乙合修6天修好围墙的3，乙丙合修两天修好剩下围墙的4，
剩下的三人又合修了5天才完成。三个人共得工资3600元，这三个人分别应分得多少元？
边讲边练：建造一幢楼房，先要挖好地基，甲乙两个工程队在招标会上承诺：甲工程队15天完成，乙工程队12天完成。由于乙工程队承诺的天数较少，就让乙工程队施工，施工3天后，承建商感到时间还是慢，就又请乙工程队来参加，直到完工。承建商共支出360000元。合理分配，甲乙两个工程队各应领取多少元？
例题2：甲乙两人合干AB两项任务，甲独做A工程需9天，B工程需12天，乙独做A工程需3天，B工程需15天。至少几天能完成任务？
边讲边练：有甲乙两个工程，张三单独做完甲工程需要12天，单独做完乙工程需要15天，李四单独做完甲工程需要8天，单独做完乙工程需要20天。张三李四二人共同完成这两个工程最少需要多少天？
例3：一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天。如果两人合作，由于相互干扰，工作效率就
49会降低，甲只能完成原来的5，乙只能完成原来的10。现在要8天完成这项工程，两人合作天数尽可
能少，那么两人合作要多少天？
六、工程问题的知识迁移与综合
打扫卫生，整理图书馆，手机充电，蜡烛燃烧……都可以看作工程问题处理
例题1、（一中）小明的妈妈给小明买了一个智能手机，这个手机插上充电器从没有电到充满电需2个小时，在非充电状态下持续玩游戏，该充满电的手机可以工作6个小时。有一天小明打开手机准备玩游戏，发现手机提示仅剩10%的电了。于是小明插上充电器开始一边玩一边充电，玩了1个小时后，小明关上手机去学习了，问继续充电多少分钟才能将手机充满电？
例题2：（2015西分）一批零件，甲单独做24小时完成，乙单独做30小时完成。现在两人合
11作，为了提高工作进度，两人的工作效率各提高3。当完成任务的5时，因为其他工作的影响，使得
每小时少做21个零件，结果共用了12小时完成。则整个任务共有零件多少个？
边讲边练：1、甲乙两辆清洁车执行东西两成之间的公路清扫任务。甲车单独清扫要10小时，乙车单独清扫要15小时，两车同时从东西两城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东西两城相距多少千米？
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