八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解(含答案)

运用公式法 进行因式分解【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式a2b2(ab)(ab)a22abb2(ab)2a3b3(ab)(a2abb2) 补充：欧拉公式：a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca) 1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2]2333特别地：（1）当abc0时，有abc3abc（2）当c0时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】 1. 把a2ab2b分解因式的结果是（ A. (ab)(a2)(b2)C. (ab)(ab)222222）B. (ab)(ab2)D. (a2b)(b2a)22222分析：a2ab2ba2a1b2b1(a1)(b1)。再利用平方差公式进行分解，最后得到(ab)(ab2)，故选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式2xxm有一个因式是2x1，求m的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即32可求出m的值。 解：根据已知条件，设2xxm(2x1)(xaxb)则2xxm2x(2a1)x(a2b)xb32323222a11 由此可得a2b0mb 由（1）得a1(1)(2)(3)1211 把b代入（3），得m22把a1代入（2），得b 3. 在几何题中的应用。 例：已知a、b、c是ABC的三条边，且满足abcabbcac0，试222判断ABC的形状。 分析：因为题中有a、b、ab，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成222ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 解：abcabbcac02222a22b22c22ab2bc2ac0(a22abb2)(b22bcc2)(c22aca2)0(ab)2(bc)2(ca)20(ab)20，(bc)20，(ca)20ab0，bc0，ca0abc ABC为等边三角形。 4. 在代数证明题中应用 例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2n1，2n3（n为整数）则(2n3)(2n1)22(2n32n1)(2n32n1) 2(4n4)8(n1) 由此可见，(2n3)(2n1)一定是8的倍数。225、中考点拨： 例1：因式分解：x4xy________。解：x4xyx(x4y)x(x2y)(x2y)说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解322232彻底。 例2：分解因式：2xy8xy8xy_________。解：2xy8xy8xy2xy(x4xy4y)2xy(x2y)说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。32232223223题型展示： 例1. 已知：a 2111m1，bm2，cm3，22222求a2abb2acc2bc的值。解：a2abb2acc2bc222 (ab)22c(ab)c2(abc)2a111m1，bm2，cm3222原式(abc)2111(m1)(m2)(m3)22212m42 说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。 例2. 已知abc0，abc0， 求证：abc0证明：abc3abc(abc)(abcabbcca)333222333555把abc0，a3b3c30代入上式，可得abc0，即a0或b0或c0若a0，则bc，a5b5c50若b0或c0，同理也有abc0说明：利用补充公式确定a，b，c的值，命题得证。555 例3. 若xy27，xxyy9，求xy的值。 解：xy(xy)(xxyy)27且xxyy922223322332222 xy3，x2xyy9(1) 又xxyy9两式相减得xy0所以xy92222(2)说明：按常规需求出x，y的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。【实战模拟】 1. 分解因式：（1）(a2)(3a1) 22（2）x(x2y)x(2yx)52（3）a(xy)2a(xy)(xy)22342. 已知：x113，求x44的值。xx3. 若a，b，c是三角形的三条边，求证：abc2bc02224. 已知：10，求22001的值。 5. 已知a，b，c是不全相等的实数，且abc0，abc3abc，试求 （1）abc的值；（2）a()b(3331b1c1c111)c()的值。aab【试题答案】 1. （1）解：原式[(a2)(3a1)][(a2)(3a1)] (4a1)(2a3)(4a1)(2a3)说明：把a2，3a1看成整体，利用平方差公式分解。（2）解：原式x(x2y)x(x2y)52 x2(x2y)(x31)x2(x2y)(x1)(x2x1)222（3）解：原式(xy)[a2a(xy)(xy)] (xy)2(axy)2121)x222xx11222 x2(x)2(3)27xx1211244 (x2)49，x4249 x447xxx 2. 解：(x 3. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。 证明：abc2bc222a2(b22bcc2) a2(bc)2(abc)(abc) a，b，c是三角形三边abc0且abc(abc)(abc)0即abc2bc02222 4. 解10 (1)(21)0，即310312001(3)6671 5. 分析与解答：（1）由因式分解可知 a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)222 故需考虑abcabbcca值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。 解：（1）abc3abc333a3b3c33abc0又abc3abc333(abc)(a2b2c2abbcca)(abc)(a2b2c2abbcca)0而abcabbcca2221[(ab)2(bc)2(ca)2]2a，b，c不全相等a2b2c2abbcca0abc0（2）abc0原式1[a2(bc)b2(ca)c2(ab)]abc而abc0，即a(bc)原式 1[(bc)3b3c3]abc1[3bc(bc)]abc1(3abc)abc 3 说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。