2021年高考天津卷数学真题含答案解析

一、选择题（共9题） 1、 设集合

，则

（ ）

A ． B ． C ． D ．

2、 已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ）

A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不允分也不必要条件

3、 函数 的图像大致为（ ）

A ． B ．

C ． D ．

4、 从某网络平台推荐的影视作品中抽取 分为 组： 在区间

、

、

、

部，统计其评分数据，将所得 个评分数据

，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分

内的影视作品数量是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5、 设 A ．

B ．

C ．

，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ）

D ．

6、 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

，两个圆锥

7、 若 A ．

B ．

，则 （ ）

C ． 1 D ．

8、 已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准

．则双曲线

线交双曲线于 A ， B 两点，交双曲线的渐近线于 C 、 D 两点，若 的离心率为（ ） A ．

B ．

C ． 2 D ． 3

9、 设 ，函数 ，若 在区间 内恰有 6 个零

点，则 a 的取值范围是（ ）

A ． B ．

C ． D ．

二、填空题（共6题）

1、 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ____________ ， 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为 ______________ ． 2、 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， D 为线段 BC 上的动点，

且交 AB 于点

的最小值

E ． 且交 AC 于点 F , 则 的值为 ____________ ；

为 ____________ ．

3、 是虚数单位，复数 _____________ ．

4、 在 的展开式中， 的系数是 __________ ．

5、 若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则

____________ ．

6、 若 ，则 的最小值为 ____________ ．

三、解答题（共5题） 1、 在

，角

所对的边分别为

，已知

，

．

（ I ）求 a 的值； （ II ）求

的值；

（ III ）求 的值．

2、 如图，在棱长为 2 的正方体 点．

中， E 为棱 BC 的中点， F 为棱 CD 的中

（ I ）求证：

平面

；

（ II ）求直线 与平面 所成角的正弦值．

（ III ）求二面角 的正弦值．

3、 已知椭圆

（ 1 ）求椭圆的方程；

的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为 ，且 ．

（ 2 ）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程． 4、 已知 列，

是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64 ．

．

，过 与 垂直的

是公比大于 0 的等比数

（ I ）求 和 的通项公式；

（ II ）记 （ i ）证明

， 是等比数列；

（ ii ）证明

5、 已知 ，函数 ．

（ I ）求曲线 在点 处的切线方程：

（ II ）证明 存在唯一的极值点

（ III ）若存在 a ，使得

对任意 成立，求实数 b 的取值范围．

============参考答案============ 一、选择题 1、 C 【分析】

根据交集并集的定义即可求出 . 【详解】

，

，

故选： C. 2、 A 【分析】

.

由充分条件、必要条件的定义判断即可得解 . 【详解】 由题意，若

，则

，故充分性成立；

若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立；

所以 “ 故选： A. 3、 B 【分析】

” 是 “ ” 的充分不必要条件 .

由函数为偶函数可排除 AC ，再由当 【详解】

时， ，排除 D ，即可得解 .

设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，

又 ，所以函数 为偶函数，排除 AC ；

当 时， ，所以 ，排除 D.

故选： B. 4、 D 【分析】

利用频率分布直方图可计算出评分在区间 【详解】

由频率分布直方图可知，评分在区间

内的影视作品数量为

.

内的影视作品数量 .

故选： D. 5、 D 【分析】

根据指数函数和对数函数的性质求出 【详解】

，

，

的范围即可求解 .

， ，

，

.

故选： D. 6、 B 【分析】

，

作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果 . 【详解】

如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点 ， 设圆锥

和圆锥

的高之比为

，即

，

设球的半径为 ，则 所以，

， ，则

又因为

，所以， ，

，可得 ，所以， ，

，所以， ，

，

所以， ， ，

因此，这两个圆锥的体积之和为 故选： B. 7、 C 【分析】 由已知表示出 【详解】

，

，

，再由换底公式可求 .

.

.

故选： C.

8、 A 【分析】 设公共焦点为 可得 【详解】

，进而可得准线为

，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值

，再由双曲线离心率公式即可得解 .

设双曲线 则抛物线

与抛物线 的准线为

，

的公共焦点为 ，

令 ，则 ，解得 ，所以 ,

又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，

所以 ，即 ，所以 ，

所以双曲线的离心率 故选： A. 9、 A 【分析】 由

和 【详解】

.

最多有 2 个根，可得 至少有 4 个根，分别讨论当

时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出 .

最多有 2 个根，所以 至少有 4 个根，

由 可得 ，

由 可得 ，

（ 1 ） 时，当 时， 有 4 个零点，即 ；

当 ， 有 5 个零点，即 ；

当 （ 2 ）当

， 时，

有 6 个零点，即

，

；

，

当 时， ， 无零点；

当 时， ， 有 1 个零点；

当 时，令 ，则 ，此时 有 2 个零点；

所以若 综上，要使

时， 有 1 个零点 .

内恰有 6 个零点，则应满足

在区间

或 或 ，

则可解得 a 的取值范围是 【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是分成 况 . 二、填空题

.

和 两种情况分别讨论两个函数的零点个数情

1、

【分析】

根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在 3 次活动中，甲至少获胜 2 次分为甲获胜 2 次和 3 次都获胜求解 . 【详解】

由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 ；

则在 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为 .

故答案为： ； .

2、 1

【分析】 设

，由

可求出；将

化为关于 的关系

式即可求出最值 . 【详解】

设 ， ， 为边长为 1 的等边三角形， ，

，

， 为边长为 的等边三角形， ，

，

，

，

所以当 时， 的最小值为 .

故答案为： 1 ； .

3、

【分析】

利用复数的除法化简可得结果 . 【详解】

.

故答案为： 4、 160 【分析】

求出二项式的展开式通项，令 的指数为 6 即可求出 . 【详解】

.

的展开式的通项为 ，

令 所以

，解得 的系数是

， .

故答案为： 160. 5、

【分析】 设直线 值，求出 【详解】 设直线

的方程为

，则点

，

的方程为

，则点

，利用直线 .

与圆

相切求出 的

，利用勾股定理可求得

由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，

则 ，解得 或 ，所以 ，

因为 ，故 .

.

故答案为：

6、

【分析】

两次利用基本不等式即可求出 . 【详解】

，

，

当且仅当 且 ，即 时等号成立，

所以 故答案为： 三、解答题

的最小值为 .

.

1、 （ I ） 【分析】

；（ II ） ；（ III ）

（ I ）由正弦定理可得

（ II ）由余弦定理即可计算； （ III ）利用二倍角公式求出 【详解】 （ I ）因为

，即可求出；

的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出 .

，由正弦定理可得 ，

， ；

（ II ）由余弦定理可得 ；

（ III ） ， ，

， ，

所以 .

2、 （ I ）证明见解析；（ II ） 【分析】

（ I ）建立空间直角坐标系，求出 可得证；

；（ III ） .

及平面 的一个法向量 ，证明 ，即

（ II ）求出 ，由 运算即可得解；

（ III ）求得平面 方关系即可得解 . 【详解】

（ I ）以 为原点，

的一个法向量 ，由 结合同角三角函数的平

分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，

则 , , , , , , ，

因为 E 为棱 BC 的中点， F 为棱 CD 的中点，所以 ， ，

所以 , , ,

设平面 的一个法向量为 ，

则 ，令 ，则 ，

因为 ，所以 ，

因为 平面 ，所以 平面 ；

（ II ）由（ 1 ）得， ，

设直线 与平面 所成角为 ，

则

（ III ）由正方体的特征可得，平面

；

的一个法向量为

，

则 ，

所以二面角 的正弦值为 .

3、 （ 1 ） 【分析】

；（ 2 ） .

（ 1 ）求出 的值，结合 的值可得出 的值，进而可得出椭圆的方程；

（ 2 ）设点 可得出 【详解】

，分析出直线 的方程为 ，求出 、

，求出点 的坐标，根据

的值，即可得出直线 的方程 .

（ 1 ）易知点 、 ，故 ，

因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，

因此，椭圆的方程为 ；

（ 2 ）设点 为椭圆 上一点，

先证明直线 的方程为 ，

联立 ，消去 并整理得 ， ，

因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .

在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，

直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，

在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，

因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，

所以， ，因为 ， ，故 ， ，

所以，直线 的方程为 【点睛】

，即 .

结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （ 1 ）设切线方程为

与椭圆方程联立，由

进行求解；

（ 2 ）椭圆 在其上一点 的切线方程为 ，再应用此方程时，首

先应证明直线 与椭圆 相切 .

4、 （ I ） 析 . 【分析】

， ；（ II ）（ i ）证明见解析；（ ii ）证明见解

（ I ）由等差数列的求和公式运算可得 通项公式；

（ II ）（ i ）运算可得

的通项，由等比数列的通项公式运算可得 的

，结合等比数列的定义即可得证；

（ ii ）放缩得 ，进而可得 ，结合错位相减法即可得证 .

【详解】 （ I ）因为

是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64 ．

所以 所以

，所以 ；

，

设等比数列 的公比为 ，

所以 ，解得 （负值舍去），

所以 ；

（ II ）（ i ）由题意， ，

所以 ，

所以 ，且 ，

所以数列 是等比数列；

（ ii ）由题意知， ，

所以 ，

所以 ，

设 ，

则 ，

两式相减得 ，

所以 ，

所以 【点睛】 关键点点睛：

.

最后一问考查数列不等式的证明，因为 位相减法即可得证 . 5、 （ I ） 【分析】 （ I ）求出

在

无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错

；（ II ）证明见解析；（ III ）

处的导数，即切线斜率，求出 ，即可求出切线方程；

（ II ）令 导数求出

，可得 ，则可化为证明 与 仅有一个交点，利用

的变化情况，数形结合即可求解；

（ III ）令

，利用导数即可求出

【详解】 （ I ）

，则

，题目等价于存在 的最小值 .

，使得 ，即

，

又 ，则切线方程为 ；

（ II ）令 ，则 ，

令 ，则 ，

当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，

当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：

所以当

时，

，

与

仅有一个交点，令

，则

，且

当 时， ，则 ， 单调递增，

当 时， ，则 ， 单调递减，

为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；

（ III ）由（ II ）知 ，此时 ，

所以 ，

令 ，

若存在 a ，使得

，

对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即

， ，

当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，

所以 ，故 ，

所以实数 b 的取值范围 【点睛】

.

关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明 键是转化为存在

与 仅有一个交点；第三问解题的关.

，使得 ，即