2021-2022学年重庆一中八年级(上)第一次月考数学试卷(10月份)(解析版)

（10月份）

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）. 1．9的相反数是（ ） A．

B．﹣

C．9

D．﹣9

2．下列电视台标志中是轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

3．估计（2A．7和8

+）÷的值应在（ ）之间．

C．9和10

D．10和11

B．8和9

4．下列事件中确定事件是（ ） A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B．买一注福利彩票一定会中奖

C．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球

D．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上

5．下列计算正确的是（ ） A．C．

＝3

＝8a3b3

B．D．

×

＝

6．下列几组数据中不能作为直角三角形三边长的是（ ） A．0.5、1.2、1.3 C．9、40、41

B．

、3、2

D．32、42、52

7．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2

斛米，依据该条件，若设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则可列方程组为（ ） A．C．

B．D．

8．下列说法中正确的有（ ）个． ①（﹣1，﹣x2）位于第三象限；②

的平方根是3；③若x+y＝0，则点P（x，y）在

第二、四象限角平分线上；④点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5；⑤点N（1，n）到x轴的距离为n． A．1

B．2

C．3

D．4

9．如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是（ ）

A．（100，50） B．（50，50） C．（25，50） D．（26，50）

10．如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处，若A′D＝2，则B′E的长度为（ ）

A． B． C． D．2

11．某客运公司的特快巴士与普通巴士同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，普通巴士到达乙地后停止行驶，特快巴士到达乙地后，停留30分钟，然后按原路以另一速度匀速返回甲地，已知两辆巴士分别距乙地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．普通巴士的速度是60km/h

B．特快巴士返回甲地时的速度为80km/h

C．行驶过程中，特快巴士与普通巴士的相遇时间为4小时 D．普通巴士到达乙地时，特快巴士与甲地之间的距离为185千米

12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°且CA＝CB，D为△ABC外一点，连接AD，过D作DE⊥DA交BC于点E，F为DE上一点且DF＝DA，连接BF，CD．将线段CD绕点C逆时针旋转90°到线段CG，连接DG分别交BF、BA于点M、N，连接BG、CF．下列结论：①BM＝FM；②CG＝BC＝

，CF＝

DM；③∠BCG＞AND；④CF+AD＞

DG；⑤若BG＝2，

，则S四边形ADFC＝2+．其中正确的个数为（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上.

13．（﹣1）2021+（3﹣π）0＝ ．

14．新冠疫情爆发至今全球各个国家受到不同程度的影响，印度作为受疫情影响较严重的国 家，已有累计确诊病例约3300万，数据3300万用科学记数法可表示为 ．15．若代数式16．已知

有意义，则x的取值范围是 ． 是关于x，y的二元一次方程组

的解，则m+2n的值为 ．

17．在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为，则放入的黄球总数n＝ ．

18．如图，长方体中，AB＝6m，BC＝4m，BE＝2m，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点F，至少需要爬行 米．

19．国庆期间，小艾同学和小一同学相约在某小区门口一同出发，各自骑自行车前往距离2000米的欢乐谷游玩，出发后不久，小艾突感身体不适，于是在路旁休息了4分钟后再次出发，以1.2倍之前的速度冲向终点，小一同学则在到达终点之后立即原路原速返回迎接小艾同学，最终陪同小艾同学骑完了全程．在整个骑行过程中，变速前后小艾同学、

小一同学两人均保持匀速，且途中掉头时间忽略不计，小艾同学、小一同学两人相距的路程y（米）与出发的时间x（秒）之间的关系如图所示．则第二次相遇时，小艾、小一两位同学距离终点 米．

20．开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内站成行距、列距均为1m的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离边缘都是1m．但后来发现这样安排只能刚好站下参加汇演的所有女性，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置．汇演时男生挥舞彩旗，女性摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍．如果场地面积不超过60m2．那么场地的面积为 ．

三、解答题：（本大题共7个小题，其中22、24题各8分，21、23、25-27题各10分，共66分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 21．（1）

（2）解方程组：

﹣（

）（2+．

）；

22．已知：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D．

（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交BD于O，交BC于E，连接CO； （2）若∠BAC＝56°，求∠DOC的度数．

23．先化简，再求值：[（3a+2b）（a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）]÷（a），其中

+b2+2b+1＝0．

24．为选拔同学参加全市组织的青少年科学知识竞赛，重庆一中在全校进行了“请党放心，强国有我”科学知识竞赛，并对八年级（3）班全体同学本次知识竞赛成绩进行了统计，B、C、D、E五类，我们将成绩分为A、制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．

请你根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）八年级（3）班学生总人数是 人；在扇形统计图中，a的值是 ； （2）若八年级（3）班得C等级的同学人数是得E等级的同学人数的4倍，请将条形统计图补充完整；

（3）若等级为A表示优秀，等级为B表示良好，等级为C表示合格，等级为D表示不合格，等级为E表示差，根据本次统计结果，估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有多少人？

25．体育与健康是学校素质教育的重要组成部分，为了活跃校园气氛，增强学生的集体观念，培养学生团队合作的精神．某学校将于11月份举办学生趣味运动会，计划用7380元购买足球和篮球共43个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球的单价为180元，篮球的单价为160元．

（1）学校计划购买足球和篮球各多少个？（列二元一次方程组解决该问题）

（2）某老师按计划到商场购买足球和篮球时，正好赶上商场对商品价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了a%，最终经费比计划节省了774元，求a的值． 26．如图，在平面直角坐标系内，点B是x轴上的点，点A是y轴上的点，将△AOB沿直线AB翻折使点O落在C点处，过C点作CD⊥y轴交y轴于点D，已知C（4，8）． （1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）若在x轴上存在某点N，使得以A、B、C．N四点为顶点的四边形面积为40，求N点的坐标；

（3）若P点是y轴上一动点，当△PAB为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．

27．任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和是7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453 的千位数字与百位数字的和为：3+4＝7，十位数字与个位数字的和为：5+3＝8，所以3453是一个七上八下数”：3452的十位数字与个位数字的和为：5+2≠8，所以3452不是一个“七上八下数”． （1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；

（2）若对于一个七上八下数 m，交换其百位数字和十位数字得到新数m'，并且定义F（m）＝

，若F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求

出满足条件的所有“七上八下数”m，并说明理由．

四、解答题：（本题共12分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 28．如图，在△ABC中，∠A＝45°．

（1）如图1，若AC＝6，BC＝2，求△ABC的面积；

（2）如图2，D为△ABC外的一点，连接CD，BD且CD＝CB，∠ABD＝∠BCD．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E．求证：BD+2AB＝

AC；

（3）如图3，在（2）的条件下，作AP平分∠CAE交CE于点P，过E点作EM⊥AP交AP的延长线于点M，点K为直线AC上的一个动点，连接MK，过M点作MK'⊥MK，且始终满足MK'＝MK，连接AK'，若AC＝4，请直接写出AK'+MK'取得最小值时（AK'+MK′）2的值．

参考答案

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑. 1．9的相反数是（ ） A．

B．﹣

C．9

D．﹣9

【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案． 解：9的相反数是﹣9， 故选：D．

2．下列电视台标志中是轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 解：A、是轴对称图形，本选项符合题意； B、不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，本选项不符合题意； 故选：A． 3．估计（2A．7和8

+

）÷

的值应在（ ）之间．

C．9和10

的范围，再求出2

D．10和11

+2的范围，即可得出选项．

B．8和9

【分析】先化简原式，估算出解：原式＝2∵9＜15＜16，

+2，

∴3＜＜4，

∵3.82＝14.44，3.92＝15.21， ∴3.8＜∴7.6＜2∴9.6＜2∴（2

+＜4， ＜8， +2＜10， ）÷

的值应在9和10之间．

故选：C．

4．下列事件中确定事件是（ ） A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B．买一注福利彩票一定会中奖

C．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球

D．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上

【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件． 必然事件指在一定条件下，一定发生的事件； 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；

不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 解：A、掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件； B、买一注福利彩票一定会中奖是随机事件；

C、把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，即确定事件； D、掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上是随机事件． 故选：C．

5．下列计算正确的是（ ） A．C．

＝3

＝8a3b3

B．D．

×

＝

【分析】直接利用二次根式的性质以及积的乘方运算法则和二次根式的加减运算法则分别化简得出答案． 解：A．

无法化简，故此选项不合题意；

B．C．（D．

×＝＝，故此选项符合题意； a3b3，故此选项不合题意；

ab）3＝2+

无法计算，故此选项不合题意；

故选：B．

6．下列几组数据中不能作为直角三角形三边长的是（ ） A．0.5、1.2、1.3 C．9、40、41

B．

、3、2

D．32、42、52

【分析】根据如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．

解：A、0.52+1.22＝1.32，能组成直角三角形，故此选项不合题意； B、22+32＝（

）2，能组成直角三角形，故此选项不合题意；

C、92+402＝412，能组成直角三角形，故此选项不合题意；

D、∵32＝9，42＝16，52＝25，9+16＝25，不能组成三角形，更不能组成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D．

7．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，若设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则可列方程组为（ ） A．C．

B．D．

1个大桶加上5个小桶可以盛米【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．

解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛， 则故选：A．

8．下列说法中正确的有（ ）个． ①（﹣1，﹣x2）位于第三象限；②

的平方根是3；③若x+y＝0，则点P（x，y）在

，

第二、四象限角平分线上；④点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5；⑤点N（1，n）到x轴的距离为n． A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】①根据平面直角坐标系中的点的坐标特点判断即可； ②根据平方根的定义判断即可；

③根据第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标的和等于0判断即可；

④直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案；

⑤根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值判断即可． 解：当x＝0时，（﹣1，﹣x2）位于x轴上，故①说法错误；

的平方根是±3，故②说法错误；

若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上，故③说法正确； ∵点A（2，a）与点B（b，﹣3）关于x轴对称， ∴a＝3，b＝2，

∴a+b的值是：3+2＝5．故④说法正确；

⑤点N（1，n）到x轴的距离为|n|．故⑤说法错误； 说法中正确的有②，共2个． 故选：B．

9．如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是（ ）

A．（100，50） B．（50，50） C．（25，50） D．（26，50）

【分析】根据题意，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动

后，纵坐标为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P100的横坐标．

解：经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P99和P100的纵坐标均为100÷2＝50；

P1其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）．

故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）． 故选：D．

10．如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处，若A′D＝2，则B′E的长度为（ ）

A． B． C． D．2

【分析】由正方形的性质和折叠的性质可得AB＝BC＝CD＝7，∠B＝∠C＝90°，A'C＝CD﹣A'D＝5，AE＝AE'，BE＝B'E，由勾股定理可求B'E的长度． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝7，∠B＝∠C＝90°， ∴A'C＝CD﹣A'D＝5，

∵△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处， ∴AE＝A'E，BE＝B'E，

在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，

在Rt△A'CE中，A'E2＝A'C2+EC2， ∴49+BE2＝25+（7﹣BE）2， ∴BE＝

＝B'E，

故选：C．

11．某客运公司的特快巴士与普通巴士同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，普通巴士到达乙地后停止行驶，特快巴士到达乙地后，停留30分钟，然后按原路以另一速度匀速返回甲地，已知两辆巴士分别距乙地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．普通巴士的速度是60km/h

B．特快巴士返回甲地时的速度为80km/h

C．行驶过程中，特快巴士与普通巴士的相遇时间为4小时 D．普通巴士到达乙地时，特快巴士与甲地之间的距离为185千米

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先计算出普通巴士的速度，从而可以判断A；再计算出特快巴士的速度，从而判断B；然后根据图象中的时间，可以计算出行驶过程中，特快巴士与普通巴士的相遇时间，从而可以判断C，再计算出普通巴士到达乙地时，特快巴士与甲地之间的距离，即可判断D． 解：由图象可得，

普通巴士的速度是：（300﹣120）÷3＝60（km/h），故选项A不符合题意； 特快巴士返回甲地时的速度为：300÷（7﹣3﹣题意；

设行驶过程中，特快巴士与普通巴士的相遇时间为a小时，

）＝80（km/h），故选项B不符合

60a+80（a﹣3﹣）＝300，

解得a＝4，故选项C不符合题意；

普通巴士到达乙地时用的时间为：300÷60＝5（小时），

∴普通巴士到达乙地时，特快巴士与甲地之间的距离为：80×（7﹣5）＝180（千米），故选项D符合题意； 故选：D．

12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°且CA＝CB，D为△ABC外一点，连接AD，过D作DE⊥DA交BC于点E，F为DE上一点且DF＝DA，连接BF，CD．将线段CD绕点C逆时针旋转90°到线段CG，连接DG分别交BF、BA于点M、N，连接BG、CF．下列结论：①BM＝FM；②CG＝BC＝

，CF＝

DM；③∠BCG＞AND；④CF+AD＞

DG；⑤若BG＝2，

，则S四边形ADFC＝2+．其中正确的个数为（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】先证明△BCG≌△ACD，得到对应边，对应角相等，依次得出①正确和③错误，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出②正确，由三角形的三边关系得出④正确，利用勾股定理逆定理和三角形的面积计算公式即可判定⑤正确，从而得出结论． 解：连接AF，

∵∠ACB＝90°，∠GCD＝90°， ∴∠7＝∠5，

又∵CA＝CB且CD＝CG， ∴△BCG≌△ACD（SAS）， ∴BG＝AD，∠2＝∠CAD， ∴BG＝AD＝DF， ∵∠ADE＝90°，

∴∠CAD+∠CED＝360°﹣∠ACB﹣∠ADE＝180°， ∴∠CAD＝∠1， ∴∠1＝∠2，

∴∠3＝∠1+∠4＝∠2+∠4＝∠GBM， 又∵∠DMF＝∠GMB，BG＝DF， ∴△DMF≌△GMB（AAS）， ∴GM＝DM，BM＝FM， 故①正确； ∵CD2+CG2＝DG2， ∴2CG2＝（2DM）2，CD＝∴

故②正确；

∵CF+AD＝CF+DF＞CD， 即CF+AD＞故④正确；

， ，

，

∵∠CAN＝∠CDN＝45°，∠8＝∠NDC+∠6，∠8＝∠NAC+∠5， ∴∠5＝∠6， ∴∠7＝∠6， 故③错误； 如图，连接AF， 若BG＝2，BC＝

，CF＝

，

∴BG＝AD＝DF＝2， ∴AF2＝AD2+DF2＝8， 即AF＝2

，

∴AF2+CF2＝BC2＝AC2， ∴AF⊥CF，

∴S四边形ADFC＝S△ADF+S△AFC＝故⑤正确，

∴正确的个数为4个， 故选：C．

二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上.

13．（﹣1）2021+（3﹣π）0＝ 0 ．

【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 解：原式＝﹣1+1 ＝0． 故答案为：0．

14．新冠疫情爆发至今全球各个国家受到不同程度的影响，印度作为受疫情影响较严重的国家，已有累计确诊病例约3300万，数据3300万用科学记数法可表示为 3.3×107 ． 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 解：3300万＝33000000＝3.3×107． 故答案为：3.3×107．

＝2+

，

15．若代数式有意义，则x的取值范围是 x＞﹣4 ．

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．

解：由题意得：x+4＞0， 解得：x＞﹣4， 故答案为：x＞﹣4． 16．已知

是关于x，y的二元一次方程组

的解，则m+2n的值为 7 ．

【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题． 解：由题得：﹣3+2n＝8，﹣m﹣2＝2． ∴m＝﹣4，n＝∴m+2n＝﹣4+2×故答案为：7．

17．在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为，则放入的黄球总数n＝ 5 ．

【分析】根据口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，故球的总个数为6+4+n，再根据黄球的概率公式列式解答即可．

解：∵口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，∴球的总个数为6+4+n， ∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ∴

＝，

，

．

＝﹣4+11＝7．

解得，n＝5．

经检验，n＝5是分式方程的解． 故答案为：5．

18．如图，长方体中，AB＝6m，BC＝4m，BE＝2m，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点F，至少需要爬行 6

米．

【分析】蚂蚁经过两个面有三种爬行路线，分别将其展开成长方形，利用勾股定理求其对角线即可．

解：如图，若从前面再到上面可得：AF＝

＝6

，

如图，若从前面再到右面可得：AF＝＝4，

如图，若从左面再到上面可得：AF＝＝2，

∵6＜4，

米，

∴蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点F，至少需要爬行6故答案为：6

．

19．国庆期间，小艾同学和小一同学相约在某小区门口一同出发，各自骑自行车前往距离2000米的欢乐谷游玩，出发后不久，小艾突感身体不适，于是在路旁休息了4分钟后再

次出发，以1.2倍之前的速度冲向终点，小一同学则在到达终点之后立即原路原速返回迎接小艾同学，最终陪同小艾同学骑完了全程．在整个骑行过程中，变速前后小艾同学、小一同学两人均保持匀速，且途中掉头时间忽略不计，小艾同学、小一同学两人相距的路程y（米）与出发的时间x（秒）之间的关系如图所示．则第二次相遇时，小艾、小一两位同学距离终点 204 米．

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先计算出小一的速度，然后即可计算出小艾开始的速度和后来的速度，再根据小艾突感身体不适，于是在路旁休息了4分钟后再次出发，可以求得当小一到达终点时小艾走的路程，然后即可求得他们第二次相遇时，小一从终点到他们相遇的时间，此时小一从终点到他们相遇走的路程就是小艾、小一两位同学距离终点的距离． 解：由图象可得，

小一在第500秒到达终点，故小一的速度为：2000÷500＝4（米/秒），

前70秒，小艾比小一多走70米，故小艾开始的速度为：4+70÷70＝4+1＝5（米/秒），后来的速度为：5×1.2＝6（米/秒），

当小一到达终点时，小艾走的路程为：70×5+（500﹣70﹣4×60）×6＝1490（米）， 小一从终点返回到与小艾相遇用的时间为：（2000﹣1490）÷（4+6）＝51（秒）， 故第二次相遇时，小艾、小一两位同学距离终点：4×51＝204（米）， 故答案为：204．

20．开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内站成行距、列距均为1m的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离

边缘都是1m．但后来发现这样安排只能刚好站下参加汇演的所有女性，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置．汇演时男生挥舞彩旗，女性摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍．如果场地面积不超过60m2．那么场地的面积为 33m2或50m2 ．

【分析】先设出相应未知数，再根据题意列出方程，利用实际问题的限制要求，得到a和＞的取值范围，在范围内判断求解即可．

解：设长方形地块的长为am，宽为bm，彩旗的单价为x元/个； 由题意可知女生占地的长为（a﹣2）m，宽为（b﹣2）m，

由间隔均为1m，可得女生人数为（a﹣2+1）（b﹣2+1），即为（ab﹣a﹣b+1）人， 由于男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置，

所以男生人数为2（a+I）+2（b﹣1），即为（2a+2b） 人；

∵采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍，

∴4.8（2a+2b）x＝4（ab﹣a﹣b+1）x， 化简得：ab+1＝

（a+b），

∵长方形地块学生横纵间距都是1m，且刚好站满， a和b都是正整数，且a≥3，b≥3， ∴ab≤60且（a+b）为5的整数倍， ∴a+b＝10或a+b＝15， ∴ab＝33或ab＝50． 故答案为：33m2或50m2．

三、解答题：（本大题共7个小题，其中22、24题各8分，21、23、25-27题各10分，共66分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 21．（1）

（2）解方程组：

﹣（

）（2+．

）；

【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；

（2）利用加减消元法解方程组． 解：（1）原式＝18﹣6＝19﹣6＝19﹣6＝19﹣5（2）

﹣+；

，

+1﹣

×（

﹣

）（

+

）

×（2﹣3）

①×5+②得15x+2x＝25+26， 解得x＝3，

把x＝3代入①得9﹣y＝5， 解得y＝4， ∴方程组的解为

．

22．已知：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D．

（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交BD于O，交BC于E，连接CO； （2）若∠BAC＝56°，求∠DOC的度数．

【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线；

（2）根据线段垂直平分线的性质得到点A、O、E共线，OB＝OC，再利用等腰三角形的性质和等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝62°，接着利用互余计算出∠DBC＝28°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠DOC的度数． 解：（1）如图，点O、E为所作；

（2）∵AB＝AC，OE垂直平分BC， ∴点A、O、E共线，OB＝OC， ∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣56°）＝62°， ∵BD⊥AC， ∴∠ODC＝90°，

∴∠DBC＝90°﹣62°＝28°， ∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝28°， ∴∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝56°．

23．先化简，再求值：[（3a+2b）（a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）]÷（a），其中

+b2+2b+1＝0．

【分析】直接利用乘法公式以及多项式乘多项式、单项式乘多项式运算法则分别化简，b的值， 再利用整式的除法运算法则计算，结合非负数的性质得出a，代入计算得出答案．解：原式＝[（3a2﹣3ab+2ab﹣2b2）﹣（4a2﹣b2）+2ab+b2]÷（a） ＝（3a2﹣3ab+2ab﹣2b2﹣4a2+b2+2ab+b2]÷（a） ＝（﹣a2+ab）÷（a） ＝﹣a2÷（a）+ab÷（a） ＝﹣3a+3b， ∵∴

+b2+2b+1＝0， +（b+1）2＝0，

∴a﹣2＝0，b+1＝0，

解得：a＝2，b＝﹣1， ∴原式＝﹣3×2+3×（﹣1） ＝﹣6﹣3 ＝﹣9．

24．为选拔同学参加全市组织的青少年科学知识竞赛，重庆一中在全校进行了“请党放心，强国有我”科学知识竞赛，并对八年级（3）班全体同学本次知识竞赛成绩进行了统计，B、C、D、E五类，我们将成绩分为A、制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．

请你根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）八年级（3）班学生总人数是 50 人；在扇形统计图中，a的值是 20 ； （2）若八年级（3）班得C等级的同学人数是得E等级的同学人数的4倍，请将条形统计图补充完整；

（3）若等级为A表示优秀，等级为B表示良好，等级为C表示合格，等级为D表示不合格，等级为E表示差，根据本次统计结果，估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有多少人？

【分析】（1）用B等级的人数除以所占的百分比求出八年级（3）班学生总人数，用D等级的人数除以总人数，即可得出a；

（2）设E等级的同学有x人，则C等级的同学人数有4x，根据总人数是50，列出方程，求出x的值，从而补全统计图；

（3）用全校的总人数乘以知识竞赛成绩在合格及以上的学生所占的百分比即可． 解：（1）八年级（3）班学生总人数是：12÷24%＝50（人）， a%＝

×100%＝20%，即a＝20；

故答案为：50，20；

（2）设E等级的同学有x人，则C等级的同学人数有4x，根据题意得： 8+12+4x+10+x＝50， 解得：x＝4， 则4x＝4×4＝16，

则E等级的同学有4人，则C等级的同学人数有16人， 补全统计图如下：

（3）2000×

＝1440（人），

答：估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有1440人． 25．体育与健康是学校素质教育的重要组成部分，为了活跃校园气氛，增强学生的集体观念，培养学生团队合作的精神．某学校将于11月份举办学生趣味运动会，计划用7380元购买足球和篮球共43个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球的单价为180元，篮球的单价为160元．

（1）学校计划购买足球和篮球各多少个？（列二元一次方程组解决该问题）

（2）某老师按计划到商场购买足球和篮球时，正好赶上商场对商品价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了a%，最终经费比计划节省了774元，求a的值． 【分析】（1）设学校计划购买足球x个，篮球y个，利用总价＝单价×数量，结合用7380元购买足球和篮球共43个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出学校计划购买足球和篮球的数量；

（2）利用总价＝单价×数量，结合商场对商品价格进行调整后可节省774元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．

解：（1）设学校计划购买足球x个，篮球y个， 依题意得：解得：

．

，

答：学校计划购买足球25个，篮球18个．

（2）依题意得：180（1﹣a%）×25+160（1+a%）×18＝7380﹣774， 解得：a＝30． 答：a的值为30．

26．如图，在平面直角坐标系内，点B是x轴上的点，点A是y轴上的点，将△AOB沿直线AB翻折使点O落在C点处，过C点作CD⊥y轴交y轴于点D，已知C（4，8）． （1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）若在x轴上存在某点N，使得以A、B、C．N四点为顶点的四边形面积为40，求N点的坐标；

（3）若P点是y轴上一动点，当△PAB为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）作CF⊥OB于点F，连接OC，由轴对称的性质和勾股定理求出OA、OB的长，即可得到点A、B的坐标；

（2）以A、B、C、N四点为顶点的四边形面积为40分两种情况，即点N在点B的左侧和点N在点B的右侧，△ACB的面积为常数，根据面积为40列方程求出点N的坐标即可；

（3）△PAB为等腰三角形分为点P在点A的下方及点P在点A的上方两种情况，而点P在点A的下方又分为三种情况，分类讨论求出点P的坐标． 解：（1）如图1，作CF⊥OB于点F，连接OC， ∵C（4，8），CD⊥y轴于点D，

∴D（0，8），F（4，0）， ∴CD＝OF＝4，OD＝CF＝8， 由折叠得CA＝OA， ∴AD＝8﹣OA＝8﹣CA， ∵∠ADC＝90°， ∴CA2＝AD2+CD2， ∴OA2＝（8﹣OA）2+42， 解得OA＝5， ∴A（0，5）， ∵∠CFB＝90°， ∴CB2＝BF2+CF2，

∵CB＝OB，BF＝OB﹣4，CF＝8， ∴OB2＝（OB﹣4）2+82， 解得OB＝10， ∴B（10，0）．

（2）设点N的坐标为（m，0）， ∵∠AOB＝90°，OA＝5，OB＝10， ∴S△ACB＝S△AOB＝×5×10＝25，

如图1，点N在点B的左侧，则BN＝10﹣m， ∵S四边形ANBC＝40，

∴×5（10﹣m）+25＝40， 解得m＝4， ∴N（4，0）；

如图2，点N在点B的右侧，则BN＝m﹣10， ∵S四边形ABNC＝40，

∴×8（m﹣10）+25＝40， 解得，m＝∴N（

，

，0），

综上所述，点N的坐标为（4，0）或（（3）如图3，点P在点A的下方，

，0）．

∵∠AOB＝90°，A（0，5），B（10，0）， ∴AB＝当AP＝AB＝∴P（0，

＝

，

，

时，则yp＝）；

当PB＝AB时，则OP＝OA＝5， ∴P（0，﹣5）；

当AP＝BP时，则BP＝5+OP， ∵∠POB＝90°， ∴BP2＝OP2+OB2， ∴（5+OP）2＝OP2+102， 解得OP＝∴P（0，

， ）；

，

如图4，点P在点A的上方，则AP＝AB＝∴yp＝∴P（0，

， ），

综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，﹣5）或（0，）或（0， ）．

27．任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和是7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453 的千位数字与百位数字的和为：3+4＝7，十位数字与个位数字的和为：5+3＝8，所以3453是一个七上八下数”：3452的十位数字与个位数字的和为：5+2≠8，所以3452不是一个“七上八下数”． （1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；

（2）若对于一个七上八下数 m，交换其百位数字和十位数字得到新数m'，并且定义F

（m）＝，若F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求

出满足条件的所有“七上八下数”m，并说明理由．

【分析】（1）读懂“七上八下数”的意思，再根据定义代入2571和4425进行验证即可；（2）先表示出F（m）＝

的一般代数式，再根据F（m）与m个位数字的135倍

的和刚好为一个正整数的平方，探究出符合要求的“七上八下数”． 解：（1）2571是“七上八下数”，4425是“七上八下数”，理由如下：

∵2571 的千位数字与百位数字的和为：2+5＝7，十位数字与个位数字的和为：7+1＝8，∴2571是一个“七上八下数”，

∵4425 的千位数字与百位数字的和为：4+4＝8≠7，十位数字与个位数字的和为：2+5＝7≠8，

∴4425不是一个“七上八下数”；

（2）设“七上八下数”m＝1000a+100b+10c+d，其中a+b＝7，c+d＝8， 1≤a≤7，0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a，b，c，d为整数，则： 交换其百位数字和十位数字得到新数m'＝1000a+100c+10b+d， ∴F（m）＝＝＝＝＝

＝45（b﹣c），

∵F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方， ∴设F（m）+135d＝n2，n为正整数， ∴45（b﹣c）+135d＝n2， ∴b﹣c+3d＝

，

∵0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且b，c，d为整数， ∴

是正整数，

∴n能被3×5整除，

∵c+d＝8， ∴c＝8﹣d， ∴b﹣（8﹣d）+3d＝即b+4d＝∴b＝

+8，

，

+8﹣4d，

+8＞8，不合题意，舍去； +4，

当d＝0时，b＝当d＝1时，b＝∵0≤b≤6， ∴

＝0或1或2，

∵n为正整数， ∴没有符合条件的n； 当d＝2时，b＝∵0≤b≤6， ∴

＝0或1或2或3或4或5或6，

，

∵n为正整数， ∴只有

＝5满足条件，

此时，b＝5，d＝2，a＝7﹣b＝2，c＝8﹣d＝6， ∴m＝2562； 当d＝3时，b＝∵0≤b≤6， ∴

＝4或5或6或7或8或9或10，

﹣4，

∵n为正整数， ∴只有

＝5满足条件，

此时，b＝1，d＝3，a＝7﹣b＝6，c＝8﹣d＝5， ∴m＝6153；

当d＝4时，b＝∵0≤b≤6， ∴

﹣8，

＝8或9或10或11或12或13或14，

∵n为正整数，

∴此时没有满足条件的n； 当d＝5时，b＝∵0≤b≤6， ∴

＝12或13或14或15或16或17或18，

﹣12，

∵n为正整数，

∴此时没有满足条件的n； 当d＝6时，b＝∵0≤b≤6， ∴

＝16或17或18或19或20或21或22，

﹣16，

∵n为正整数， ∴只有

＝20满足条件，

此时，b＝4，d＝6，a＝7﹣b＝3，c＝8﹣d＝2， ∴m＝3426； 当d＝7时，b＝∵0≤b≤6， ∴

＝20或21或22或23或24或25或26，

﹣20，

∵n为正整数， ∴只有

＝20满足条件，

此时，b＝0，d＝7，a＝7﹣b＝7，c＝8﹣d＝1， ∴m＝7017； 当d＝8时，b＝∵0≤b≤6，

﹣24，

∴＝24或25或26或27或28或29或30，

∵n为正整数，

∴此时没有满足条件的n；

综上所述，满足条件的所有“七上八下数”m为2562、6153、3426、7017．

四、解答题：（本题共12分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 28．如图，在△ABC中，∠A＝45°．

（1）如图1，若AC＝6，BC＝2，求△ABC的面积；

（2）如图2，D为△ABC外的一点，连接CD，BD且CD＝CB，∠ABD＝∠BCD．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E．求证：BD+2AB＝

AC；

（3）如图3，在（2）的条件下，作AP平分∠CAE交CE于点P，过E点作EM⊥AP交AP的延长线于点M，点K为直线AC上的一个动点，连接MK，过M点作MK'⊥MK，且始终满足MK'＝MK，连接AK'，若AC＝4，请直接写出AK'+MK'取得最小值时（AK'+MK′）2的值．

【分析】（1）通过构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB边上的高和AB，再利用三角形面积公式即可求解；

（2）通过在BE上截取BF＝BD，构造出两组全等三角形，即可证明结论；

（3）先通过延长ME，构造全等三角形，得出AK′+MK′＝FK+MK，利用轴对称，得出AK′+MK′的最小值等于FM′，最后利用直角三角形的性质与勾股定理进行计算，即可求解．

解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于点D，

∵∠A＝45°， ∴∠A＝∠ACD＝45°， ∴AD＝CD， ∵AC＝6

，AC2＝AD2+CD2，

∴AD＝CD＝6， ∵BC＝2∴BD＝

，

＝

＝4，

∴AB＝AD﹣BD＝6﹣4＝2， ∴S△ABC＝•AB•CD＝×2×6＝6；

（2）如图2，在BE上截取BF＝BD，连接CF，

∵∠D+∠DCB+∠DBC＝180°，∠ABD+∠DBC+∠CBE＝180°，∠ABD＝∠BCD， ∴∠D＝∠CBE， ∵CD＝CB，DB＝BF， ∴△CDB≌△CBF（SAS）， ∴CB＝CF， ∴∠CBF＝∠CFB， ∴∠ABC＝∠EFC， ∵∠A＝45°，AC⊥EC， ∴∠E＝45°， ∴∠A＝∠E，

∴△ABC≌△EFC（AAS）， ∴AB＝EF，AC＝EC， ∴AE＝AB+BF+EF＝2AB+BD， ∵AE2＝AC2+CE2， ∴AE＝

AC，

AC；

∴BD+2AB＝

（3）如图3，延长ME到F，使MF＝MA，连接KF，

∵∠KMK′＝∠AMF＝90°， ∴∠AMK′＝∠FMK， ∵MK′＝MK，

∴△AMK′≌△FMK（SAS）， ∴AK′＝FK，

∴AK′+MK′＝FK+MK，

作M点关于AC的对称点M′，则MK′＝MK， ∴AK′+MK′＝FK+MK＝FK+MK′， 连接M′K，则M′K+FK≥M′F，

∴当M′、K、F共线时，FK+M′K的值最小，等于M′F， ∴AK'+MK'取得最小值时（AK'+MK′）2的值即为M′F2的值， 连接M′A、AF，

由轴对称的性质可得：∠M′AC＝∠MAC，AM′＝AM， ∵∠CAE＝45°，AM平分∠CAE， ∴∠CAM＝22.5°，

∴∠M′AC＝∠CAM＝22.5°，

∴∠M′AM＝45°， ∵MA＝MF，∠AMF＝90°， ∴∠MAF＝45°， ∴∠M′AF＝90°， ∴M′F2＝AM′2+AF2， ∵AM2+MF2＝2AM2，

∴M′F2＝AM′2+AF2＝AM2+2AM2＝3AM2，

如图4，取AE的中点O，连接OC、OM，作MH⊥AE于H，

∵AC＝4， ∴AC＝CE＝4， ∴AE＝

＝

＝4，

，

∴OA＝OC＝OE＝OM＝2

∴∠AMO＝∠MAO＝22.5°， ∴∠MOH＝∠AMO+∠MAO＝45°， ∴∠MOH＝∠OMH＝45°， ∴OH＝MH，

∵OH2+MH2＝OM2＝（2∴OH＝MH＝2， ∴AH＝2

+2，

，

．

）2＝8，

∴AM2＝AH2+MH2＝16+8

∴（AK'+MK′）2＝3AM2＝48+24