计算方法第二章习题

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3x1x2x351.应用简单迭代法求解方程组：2x16x2x39分别取初始向量x(0)(0,0,0)Txx4x6231与x(0)(1,1,1)T，并各迭代五次，求近似解向量x(5)的相对误差,［提示：本方程组的准确解为x*(1,1,1)T］

4.试证：如果A是非奇异的，那么在适当的行交换之后可以使得新的矩阵的所有对角元素皆不为零（这表示在简单迭代法中关于A的所有主对角元素不为零的假定不是基本的）.

x12x22x317.考虑三元线性方程组：x1x2x32选取初始向量x(0)(0,0,0)T，连续

2x2xx3231迭代五次，分析一下，简单迭代法与赛德尔迭代法的计算结果，对比，你能有什么估计？［提示：本方程组的准确解为x*(1,0,1)T］ P114

3.应用本节中的哪一个定理或推论可以推断下列问题的整体收敛性（即对任何初始向量x(0)，相应的迭代向量序列x(k)都收敛于方程组的准确解x*） （3）应用简单迭代法与赛德尔迭代法求解方程组：

2x1x20x12x21（a）x12x2x31 （b）x1x2x30

x2x02xx133224x14x2x312x1x20（c）x18x2x30 （c）x12x2x350

x3x1x2x2533227.如果n阶实对称矩阵A是严格对角占优的，且所有对角元素aij大于零，试证A一定是对称正定矩阵。

10.设A是非奇异的n阶矩阵，它的所有主对角元素皆不为零。试证：如果逐个超松弛迭代法(2.3)整体收敛，则有02。