高中函数值域的求法

高中函数值域的求法

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域。 1观察法

利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，如正比例函数、反比例函数、一次函数、指数函数、对数函数等。

1例：求函数y的值域

2x2解：x20 2x22 0y1 故值域为0，21 22换元法

运用换元，将已知函数转化为值域容易确定的另一个函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxd(a,b,c,d为常数，ac0) 例：求函数y2x34x13的值域

t213解：令4x13t,t0得x,则4t2131y23t(t1)2342

7t0 (t1)21 y27故值域为，+25练：求f(x)x1x的值域。答案-，

43配方法

二次函数或可转化为yax2bxc(a0)型的函数，可通过配方后结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法。

例：求yx22x5,x1,2的值域 解：yx22x5(x1)24 x1,2 由函数的性质可知：当x1时，ymin4 当x1时，ymax8，故值域为4,8

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也可以用图象法，由于该二次函数的对称轴xb1，画出图像，可知函数在2a在1,2单调递增，且f18,f14,f25，故值域为4,8 1,1单调递减，

练：求yx22x3的值域。答案-4，+

4判别式法

ax2bxc形如y2常利用去分母的形式，把函数(a,b,c,d,e,f不同时为0)，

dxexf转化成关于x的二次方程，通过方程有实数根，判别式0求出y的取值范围，对二次函数或分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用。

1xx2例：求y的值域1x2 解：原函数化为(y1)x2xy10 (1)当y1时,xR,(1)24(y1)(y1)013 解得y2213 (2)当y1时,x0,而1,2213 故函数的值域为,22

注意：使用此法须在xR或仅有个别值（个别值时指使分母为0的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的y值，若在求出的值域中则应除去此y值）不能

1xx2,x2,3的值域，则不能使用此取的情况下，否则不能使用。如求y1x2法。

2x2x2练：求y2的值域，答案1,5

xx15分离常数法

分子、分母同次的分式形式的函数求值域，可采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域。

注意:ycxd形式的值域为yR|yaxbc a 2

例：求y2x1的值域x12x1（2x+1）-333 解：y=2，且0

x1x1x1x1 y0,故函数的值域为y|yR,且y2变式：求y

解：y2x1,x1,2的值域 x12x132,x1,2x1x1 2x13 133x12

11 y1,即值域为，1226反表示法

如求函数yxx1x1(x1)的值域，由y(x1)解出x，得x2x22y12y1y2(y1)，而x1，故0，所以2y1，值域1，即1yy11y为2,1。 7中间变量值域法

y4x24x24(y1)，而x20，如求函数y2的值域，由y2得x2y1x1x1所以

y4-41，+ 0，所以y1或y4，值域为-，y18均值不等式法

利用基本函数f(x)0，两个正数的均值不等式ab2ab，在应用时要注意“一正二定三相等”，利用基本不等式ab2ab，

abc33abc(a,b,cR)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积

2为定值，解析式是积式时要求和为定值，不过有时需用到拆项、添项和两边平方等技巧。

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x22x2例：求y(x1)的值域x1(x1)211解:yx12x1x1 x1 当且仅当x0时取等号 故值域为2，+

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