2020年全国III卷文科数学高考试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. 若z(1i)1i，则z A. 1i B. 1i C.i D.i

3．设一组样本数据x1,x2,...,xn的方差为0.01，则数据10x1,10x2,...,10xn的方差为 A．0.01 B．0.1 C．1 D．10

4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数It（t的单位：天）的Logistic模型：It

K1e0.23t53A1,2,3,5,7,11，

Bx|3x15，则AB中元素的个数为

，其中K为最大确诊病例数.当It0.95K时，标志

着已初步遏制疫情，则t约为（In193） A.60 B.63 C.66 D.69

5.已知sinsin()1，则sin()

36

1A.

2B. C. D.

3 32 3

2 2



6.在平面内，A,B是两个定点，C是动点，若ACBC1，则点C的轨迹为 A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线

7.设O为坐标原点，直线x2与抛物线C:y22px(p0)交于D,E两点，若

ODOE，则C的焦点坐标为

1

A．(,0)

41

B．(,0)

2

C．(1,0) D．(2,0)

8.点(0,1)到直线yk(x1)距离的最大值为

A．1 B．2 C．3 D．2 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 10.设alog32，blog53，cA．acb B. abc C. bca D. cab 11. 在ABC中，cosCA. 5 B.25 C.45 D.85 2，AC4,BC3，则tanB 32，则 312. 已知函数f(x)sinxA. f(x)的最小值为2

1

，则 sinx

B. f(x)的图像关于y轴对称 C. f(x)的图像关于直线x对称 D. f(x)的图像关于直线x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

xy0

13. 若x，y满足约束条件2xy0，则z=3x+2y的最大值为_____.

x1

2

对称

x2y2

14.设双曲线C:221a0,b0的一条渐近线为y2x,则C的离心率

ab为______.

exe

15. 设函数fx，若f1，则a=____.

4xa

16. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：供60分。 17.（12分） 设等比数列

an满足a1+a2=4，a3-a1=8

（1） 求an的通项公式；

（2） 记sn为数列log3an的前n项和. 若sm+sm+1=sm+3，求m.

18.（12分)

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园

锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2（良） 3（轻度污染） 4（中度污染） 2 5 6 7 [0,200] （200,400] 16 10 7 2 25 12 8 0 （400,600] （1） 分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率； （2） 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3） 若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 空气质量好 空气质量不好 人次400 人次>400 附：， 19.（12分） ， 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，在E,F分别在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1，证明： （1） 当ABBC时，EFAC; （2） 点C1在平面AEF内. 20.（12分） 已知函数fxx3kxk2. （1） 讨论fx的单调性； （2） 若fx有三个零点，求k的取值范围. 21.（12分） x2y215,A,B分别为C的左、已知椭圆C:21(0m5)的离心率为右顶425m点. （1） 求C的方程： （2） 若点P在C上，点Q在直线x6上，且BPBQ，BPBQ，求APQ的面积. （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4: 坐标系与参数方程] （10分）

在直角坐标系

xOy中，曲线C的参数方程为

2

x2tt

），C与坐标轴交于A，B两点. (t为参数且t12

y23tt

（1） 求AB：

（2） 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极

坐标方程.

23. [选修4-5: 不等式选讲] （10分） 设a,b,cR,abc0,abc1. （1） 证明：abbcca0；

（2） 用maxa,b,c表示a,b,c中的最大值，证明：maxa,b,c34.