用三线摆测量物体的转动惯量

三

线

摆

测

量

物

体

的

转

动

惯

量

一、 实验目的与要求

（1） 学习三线摆的构造原理和使用方法；

（2） 学习用三线摆的三线摆或扭摆测物体的转动惯量，并将实验值和理论值进行比较； （3） 验证转动惯量的平行轴定理。 二、 实验仪器：

三线摆实验仪或扭摆，气泡水准器，游标卡尺，米尺，秒表。

刚体附件：圆盘M0，铁圆环Ma，铝圆环Mb，铁（或铝）圆柱体Mc等。 三、 实验原理：

三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO‘轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。设下圆盘质量为，当它绕OO＇扭转的最大角位移为时，圆盘的中心位置升高，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有： （为重力加速度） ，重力势能被全部当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为转变为动能，有： 式中是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO‘轴的转动惯量。 如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得： 设悬线长度为，下圆盘悬线距圆心为R0，当下圆盘转过一角度时，从上圆盘B点作下圆盘垂线，与升高h前、后下圆盘分别交于C和C1，如图3-2-2所示，则：

在扭转角很小，摆长很长时，sinH=，而BC+BC12H，其中 （H为上下两盘之间的垂直距离） 则

由于下盘的扭转角度

很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角

位移与时间的关系是

式中， 是圆盘在时间t时的角位移，相是零，则角速度为：

是角振幅，是振动周期，若认为振动初位

经过平衡位置时t=0 ,的最大角速度为：

将（3-2-2）、（3-2-3）式代入（3-2-1）式可得 实验时，测出

、

及

，由（3-2-4）式求出圆盘的转动惯量

。在下盘上

放上另一个质量为m，转动惯量为（对OO′轴）的物体时，测出周期为T，则有 从（3-2-5）减去（3-2-4）得到被测物体的转动惯量为 在理论上，对于质量为，内、外直径分别为、的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的转动惯量为。而对于质量为、直径为的

圆盘，相对于中心轴的转动惯量为。 四. 实验内容 测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量 1. 调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。 2. 等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间测量5次求平均值，计算出下盘空载时的振动周期T0。 ，重复3. 将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T。 4. 测出圆环质量（）、内外直径（、）及仪器有关参量（等）。

因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3-2-3）。若测得两悬点间的距离为L，则圆盘的有效半径R（圆心到悬点的距离）等于 L/5.将实验数据填入下表中。先由（3-2-4）式推出不确定度、绝对不确定度，并写出五、实验数据记录：

质量与周期的测量

。

的相对

的相对不确定度公式，算出

的测量结果。再由（3-2-6）式算出圆环对中心轴的

转动惯量I，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I的测量结果。

测量项目 测量周期次数 1 2 3 4 5 总时间t(s) 下圆盘m0=1013g 圆环mA=393g 小圆柱mC=138g 50 70.05 70.06 70.10 70.13 70.09 70.086 1.40 D0 50 69.30 69.18 69.26 69.37 69.34 69.290 1.39 Da内 Da外 99.22 99.90 99.80 99.73 a b Dc 2d 50 68.43 68.48 68.55 68.60 68.69 68.550 1.37 平均时间t=50T 平均周期（s） 测量项目 直径与距离的测量 单位：mm 次数 平均值 测量项目 1 200.00 3 199.50 4 199.00 199.90 H 158.50 29.94 126.50 158.00 29.92 125.50 158.50 29.92 125.50 158.50 29.92 125.62 r=a/√3 R=b/√3 50.69 99.02 2 201.00 100.00 159.00 29.90 125.00 三线摆的几何参数 单位：mm 1 468.0 89.0 172.5 2 469.0 86.5 170.5 3 468.5 88.0 171.5 468.5 87.8 171.5 次数平均值 六、数据处理： 求各物体的转动惯量的实验值； 求各物体的转动惯量的理论值； 求相对误差：E=│实验值-理论值│/理论值*100%. 七、实验分析： 1、实验时，转动上圆盘带动下圆盘转动，这样可以避免三线摆在做扭摆运动时发生晃动 。扭摆转角最好控制在5°之内。仪器在静止时启动； 2、实验时，下圆盘扭动时，其质心只能上下移动，如果质心有左右摆动，则必须重新启动扭摆； 3、为了测量周期T的准确性，应尽可能地取多次周期，计算其平均值； 4、进行实验前，先用气泡水准器调整下圆盘面水平。 思考题与思维拓展：

1、 实验中误差来源有哪些？

米尺测量H、a、b等引起的误差，游标卡尺测量引起的误差。 2、 圆盘在运动时，其振幅的变化情况：

圆盘在运动时，其振幅逐渐变小。原因是圆盘克服空气阻力做功，其机械能减少，振幅变小。

3、 加上待测物体后，三线摆的周期是否比空盘的周期大？

不一定。因为质量分布越偏离转轴，系统的转动惯量就越大，转动周期也越大。