天津市和平区2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含解析

高二数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．（4分）一个空间集合体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积（单位：m）为（）

3

A． 4

B．

C． 3

D．

2．（4分）过点（﹣2，0），且与直线3x﹣y+1=0平行的直线方程式（） A． y=3x﹣6 B． y=3x+6 C． y=3x﹣2 D． y=﹣3x﹣6 3．（4分）直线3x﹣2y﹣6=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（） A． a=2，b=3 B． a=﹣2，b=﹣3 C． a=﹣2，b=3 D． a=2，b=﹣3 4．（4分）直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，则（） A． l⊂α B． l⊄α C． l∩α=M D． l∩α=N 5．（4分）已知过点A（a，4）和B（﹣2，a）的直线与直线2x+y﹣1=0垂直，则a的值为（） A． 0 B． ﹣8 C． 2 D． 10 6．（4分）已知四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为（） A． 75° B． 60° C． 45° D． 30° 7．（4分）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（） A． 3个 B． 4个 C． 6个 D． 7个

8．（4分）由直线y=x+1上的点向圆（x﹣3）+（y+2）=1引切线，则切线长的最小值为（） A． B． C． D．

9．（4分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）

2

2

A．

10．（4分）若圆O1：x+y﹣2mx+m﹣4=0与圆O2：x+y+2x﹣4my+4m﹣8=0相切，则实数m的取值集合是（） A． {﹣

，2}

B． {﹣，0}

C． {﹣

，﹣，2} D． {﹣

，﹣，0，2}

2

2

2

2

2

2

B． C． D．

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．（4分）已知空间直角坐标系中，A（1，3，﹣5），B（4，﹣2，3），则|AB|=． 12．（4分）已知A（﹣5，6）关于直线l的对称点为B（7，﹣4），则直线l的方程是． 13．（4分）设P是60°的二面角α﹣l﹣β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长为．

14．（4分）圆x+y﹣2x+2y=0上的动点P到直线y=x+2的距离的最小值为．

15．（4分）如图，正三棱锥S﹣ABC的高SO=2，侧棱与底面成45°角，则点C到侧面SAB的距离

2

2

是．

三、解答题（共5小题，满分40分）

16．（6分）如图，已知一个正三棱锥P﹣ABC的底面棱长AB=3，高PO=，求这个正三棱锥的表面

积．

17．（8分）根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式． （1）经过点P（﹣，2）且倾斜角α=120°； （2）经过点A（﹣1，0）和B（2，﹣3）．

18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不在BC的端点处），且AD⊥DE，F为B1C1的中点． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）求证：A1F∥平面ADE．

19．（8分）已知点P（﹣4，0）及圆C：x+y+6x﹣4y+4=0．

（Ⅰ）当直线l过点P且与圆心C的距离为l时，求直线l的方程；

（Ⅱ）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|取得最小值时，求以线段AB为直径的圆的方程． 20．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC． （Ⅰ）求证：PA⊥BC； （Ⅱ）求PC的长度；

（Ⅲ）求二面角P﹣AC﹣B的大小．

2

2

天津市和平区2018-2019学年高二上学期期中考试

数学试卷参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．（4分）一个空间集合体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积（单位：m）为（）

3

A． 4

B．

C． 3

D．

考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 由三视图可知：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，求出底面面积和高，进而可得该几何体的体积．

解答： 解：由三视图可知：该几何体是一个以主视图为底面的棱柱，

底面面积S=1×1+×（1+3）×1=3，

棱柱的高h=1，

故棱柱的体积V=Sh=3， 故选：C

点评： 本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键． 2．（4分）过点（﹣2，0），且与直线3x﹣y+1=0平行的直线方程式（） A． y=3x﹣6 B． y=3x+6 C． y=3x﹣2 D． y=﹣3x﹣6

考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题： 直线与圆．

分析： 首先根据所求直线与已知直线平行可得所求直线的斜率，再根据所求直线经过点（﹣2，0），进而利用直线的点斜式方程可得答案．

解答： 解：∵直线3x﹣y+1=0的斜率为3，并且所求直线与直线3x﹣y+1=0平行， ∴所求直线斜率为3．

又因为所求直线过点（﹣2，0）， 所以所求直线的方程为y﹣0=3（x+2），即3x﹣y+6=0． 故选：B．

点评： 本题注意考查直线平行与直线斜率的关系，以及直线的点斜式方程，是基础题． 3．（4分）直线3x﹣2y﹣6=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）

A． a=2，b=3 B． a=﹣2，b=﹣3 C． a=﹣2，b=3 D． a=2，b=﹣3

考点： 直线的一般式方程． 专题： 直线与圆．

分析： 分别令x=0和y=0代入直线方程求出对应的截距即可． 解答： 解：由题意得，直线方程为：3x﹣2y﹣6=0， 令x=0代入得，y=﹣3， 令y=0代入得，x=2， 所a=2，b=﹣3， 故选：D．

点评： 本题考查由直线方程的一般式求截距问题，属于基础题． 4．（4分）直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，则（） A． l⊂α B． l⊄α C． l∩α=M D． l∩α=N

考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 直线与圆．

分析： 由已知得M∈平面α，N∈平面α，由M∈l，N∈l，利用公理二得l⊂α． 解答： 解：∵直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b， ∴M∈平面α，N∈平面α， ∵M∈l，N∈l， ∴l⊂α． 故选：A．

点评： 本题考查点、直线、平面间的位置关系的判断与应用，是基础题，解题时要注意公理二的合理运用． 5．（4分）已知过点A（a，4）和B（﹣2，a）的直线与直线2x+y﹣1=0垂直，则a的值为（） A． 0 B． ﹣8 C． 2 D． 10

考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 直线与圆．

分析： 由两点式求出直线AB的斜率，然后由直线垂直斜率的关系列式求得a的值． 解答： 解：∵A（a，4），B（﹣2，a），

∴，

又直线2x+y﹣1=0的斜率为﹣2， ∴

，

解得：a=2． 故选：C．

点评： 本题考查了直线的一般方程和直线垂直的关系，是基础题． 6．（4分）已知四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为（）

A． 75° B． 60° C． 45° D． 30°

考点： 棱锥的结构特征． 专题： 空间角．

分析： 由题意可知，∠SAO即为侧棱与底面所成的角，然后直接由已知条件解直角三角形得答案． 解答： 解：如图，

∵SO⊥平面ABCD，O为底面的中心， ∴∠SAO即为侧棱与底面所成的角，

∵四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都是2， ∴AO=，

在Rt△SOA中，∴∠SAO=45°． 故选：C．

，

点评： 本题考查了棱锥的结构特征，考查了直线和平面所成角的求法，是基础题． 7．（4分）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（） A． 3个 B． 4个 C． 6个 D． 7个

考点： 平面的基本性质及推论．

专题： 压轴题；数形结合；分类讨论．

分析： 根据题意画出构成的几何体，根据平面两侧的点的个数进行分类，利用三棱锥的结构特征进行求解．

解答： 解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥D﹣ABC，

①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，

②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个， 所以满足条件的平面共有7个， 故选D．

点评： 本题考查了三棱锥的结构特征的应用，根据题意画出对应的几何体，再由题意和结构特征进行求解，考查了空间想象能力．

8．（4分）由直线y=x+1上的点向圆（x﹣3）+（y+2）=1引切线，则切线长的最小值为（） A． B． C． D．

考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 计算题．

分析： 要使切线长最小，需直线y=x+1上的点和圆心之间的距离最短，求出圆心到直线y=x+1的距离d，

22

切线长的最小值为．

解答： 解：要使切线长最小，需直线y=x+1上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心（3，﹣2）到直线y=x+1的距离d， d=

=3

，故切线长的最小值为

=

=

，

故选 A．

点评： 本题考查点到直线的距离公式的应用以及直线和圆的位置关系，求切线长的方法．

9．（4分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）

A．

B．

C．

D．

考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 计算题．

分析： 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．

解答： 解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．

在△OEH中，OE=，HE=，OH=

．

．

由余弦定理，可得cos∠OEH=

故选B．

点评： 本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．

10．（4分）若圆O1：x+y﹣2mx+m﹣4=0与圆O2：x+y+2x﹣4my+4m﹣8=0相切，则实数m的取值集合是（） A． {﹣

，2}

B． {﹣，0}

C． {﹣

，﹣，2} D． {﹣

，﹣，0，2}

2

2

2

2

2

2

考点： 圆与圆的位置关系及其判定． 专题： 直线与圆．

分析： 求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径和与差相等求出m的值即可．

解答： 解：圆O1：x+y﹣2mx+m﹣4=0的圆心（m，0），半径为：2．

222

与圆O2：x+y+2x﹣4my+4m﹣8=0的圆心（﹣1，2m），半径为：3． 圆心距为：两个圆相外切：两个圆相内切：解得m=﹣

，﹣，0，2．

，﹣，0，2}．

，

=5， =1，

222

实数m的取值集合是{﹣

故选：D．

点评： 本题考查两个圆的位置关系的应用，圆的一般方程的应用，考查计算能力．

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

11．（4分）已知空间直角坐标系中，A（1，3，﹣5），B（4，﹣2，3），则|AB|=

考点： 空间向量的数量积运算． 专题： 空间向量及应用．

分析： 利用向量的坐标运算、向量的模的计算公式即可得出．

．

解答： 解：∵∴

=

=（3，﹣5，8），

=

．

故答案为：．

点评： 本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式，属于基础题． 12．（4分）已知A（﹣5，6）关于直线l的对称点为B（7，﹣4），则直线l的方程是6x﹣5y﹣1=0．

考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 直线与圆．

分析： 由题意可得直线l为线段AB的中垂线，求得AB的中点为（1，1），求出AB的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．

解答： 解：∵已知A（﹣5，6）关于直线l的对称点为B（7，﹣4），故直线l为线段AB的中垂线．

求得AB的中点为（1，1），AB的斜率为 =﹣，故直线l的斜率为 ，

故直线l的方程为 y﹣1=（x﹣1 ），化简可得 6x﹣5y﹣1=0．

故答案为：6x﹣5y﹣1=0．

点评： 本题主要考查两条直线垂直的性质，斜率公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于中档题． 13．（4分）设P是60°的二面角α﹣l﹣β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长为．

考点： 与二面角有关的立体几何综合题． 专题： 空间角．

分析： 设平面PAB与二面角的棱l交于点Q，连结AQ、BQ得直线l⊥平面PAQB，由题意知∠AQB是二面角α﹣l﹣β的平面角，由此利用余弦定理能求出AB． 解答： 解：设平面PAB与二面角的棱l交于点Q， 连结AQ、BQ得直线l⊥平面PAQB，

∵P是60°的二面角α﹣l﹣β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β， ∴∠AQB是二面角α﹣l﹣β的平面角，∴∠AQB=60°， ∴△PAB中，∠APB=180°﹣60°=120°，PA=4，PB=2， 由余弦定理得：

AB=PA+PB﹣2PA•PAcos120° =4+2﹣2×4×2×（﹣）=28， ∴AB==2故答案为：

． ．

2

2

222

点评： 本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的概念，是中档题，解题时要注意利用正、余弦定理解三角形的灵活运用．

14．（4分）圆x+y﹣2x+2y=0上的动点P到直线y=x+2的距离的最小值为3﹣

2

2

．

考点： 点到直线的距离公式． 专题： 直线与圆．

分析： 由圆的一般方程求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，则答案可求．

解答： 解：由x+y﹣2x+2y=0，得（x﹣1）+（y+1）=2，

22

∴圆x+y﹣2x+2y=0的圆心为（1，﹣1），半径为． 由y=x+2，得3x﹣4y+8=0，

2222

点（1，﹣1）到直线3x﹣4y+8=0的距离为=3．

∴圆x+y﹣2x+2y=0上的动点P到直线y=x+2的距离的最小值为3﹣

22

．

故答案为：．

点评： 本题考查了圆的一般方程，考查了点到直线的距离公式，是基础题． 15．（4分）如图，正三棱锥S﹣ABC的高SO=2，侧棱与底面成45°角，则点C到侧面SAB的距离是

．

考点： 点、线、面间的距离计算． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．

分析： 由题意底面高为3，底面边长为2，面积为3，侧棱长为2，侧面积为，由体积计算公式求出点C到侧面SAB的距离．

解答： 解：由题意底面高为3，底面边长为2，面积为3，侧棱长为2，侧面积为，

由体积计算公式得×3故答案为：

．

×2=××h，得h=．

点评： 本题考查点、线、面间的距离计算，考查体积公式的运用，属于中档题．

三、解答题（共5小题，满分40分）

16．（6分）如图，已知一个正三棱锥P﹣ABC的底面棱长AB=3，高PO=，求这个正三棱锥的表面

积．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 连接AO，确定正三棱锥P﹣ABC的四个面是全等的等边三角形，即可求这个正三棱锥的表面积．

解答： 解：连接AO，在等边三角形ABC中，由AB=3，可得AO=在Rt△AOP中，AP==3，

∴正三棱锥P﹣ABC的四个面是全等的等边三角形， ∴S表面积=4×

=9

．

=，

点评： 本题主要考查基本运算，考查三棱锥的全面积，属于中档题． 17．（8分）根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式． （1）经过点P（﹣，2）且倾斜角α=120°； （2）经过点A（﹣1，0）和B（2，﹣3）．

考点： 直线的一般式方程． 专题： 直线与圆．

分析： （1）先求出直线的斜率，代入点斜式化简为一般式方程即可； （2）根据题意代入两点式化简为一般式方程． 解答： 解：（1）由题意得，直线倾斜角α=120°，则斜率k=tan120°=﹣

，

又经过点P（﹣，2），代入点斜式得，y﹣2=（x+）， 即，

所以直线的一般式方程是； （2）因为经过点A（﹣1，0）和B（2，﹣3），代入两点式得，

，即x+y+1=0，

所以直线的一般式方程是x+y+1=0．

点评： 本题考查直线方程的点斜式、两点式、一般式方程的应用，注意根据条件选择恰当的直线方程．

18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不在BC的端点处），且AD⊥DE，F为B1C1的中点． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）求证：A1F∥平面ADE．

考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： （Ⅰ）先证明AD⊥平面B1BCC1，然后，得到平面和平面垂直；（Ⅱ）首先，根据（Ⅰ）得AD⊥平面B1BCC1，连接DF，得DF∥AA1，且DF=AA1，即可得到相应的结论． 解答： 解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥CC1，∵AD⊥DE，且DE∩CC1=D，

∴AD⊥平面B1BCC1，

∵AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面B1BCC1，

（Ⅱ）根据（Ⅰ）得AD⊥平面B1BCC1，∵BC⊂平面B1BCC1， ∴AD⊥BC，

在△ABC中，AB=AC，∴D为BC的中点，

连接DF，得DF∥AA1，且DF=AA1，即四边形AA1FD为平行四边形，∴A1F∥AD， ∵AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE， A1F∥平面ADE．

点评： 本题重点考查了空间中直线与平面平行、垂直，直线与直线平行的判定等知识，属于中档题，难度中等，解题关键是准确判断平行和垂直的判定和性质．

19．（8分）已知点P（﹣4，0）及圆C：x+y+6x﹣4y+4=0．

（Ⅰ）当直线l过点P且与圆心C的距离为l时，求直线l的方程；

（Ⅱ）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|取得最小值时，求以线段AB为直径的圆的方程．

考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 综合题．

分析： （Ⅰ）把圆的方程变为标准方程后，分两种情况①斜率k存在时，因为直线经过点P，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k的值和P的坐标写出直线l的方程即可；②当斜率不存在时显然得到直线l的方程为x=﹣4；

（Ⅱ）点P（﹣4，0）为AB的中点时，|AB|取得最小值，从而写出所求圆的标准方程即可．

22

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，圆的标准方程为：（x﹣3）+（y+2）=9， ①设直线l的斜率为k（k存在）

22

则方程为y﹣0=k（x+4）即kx﹣y+4k=0 又⊙C的圆心为（3，﹣2），r=3， 由

=1，得k=

所以直线方程为3x﹣4y+12=0；

②当k不存在时，直线l的方程为x=﹣4． 综上，直线l的方程为3x﹣4y+6=0或x=﹣4；

（Ⅱ）点P（﹣4，0）为AB的中点时，|AB|取得最小值， ∵|PC|=，r=3， ∴|AB|min=2

=4，

2

2

∴以线段AB为直径的圆的方程为：（x+4）+y=4．

点评： 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，灵活运用垂径定理及韦达定理化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道中档题． 20．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC． （Ⅰ）求证：PA⊥BC； （Ⅱ）求PC的长度；

（Ⅲ）求二面角P﹣AC﹣B的大小．

考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 专题： 计算题；证明题．

分析： （1）证明由面面垂直的性质BC⊥PA，又AB⊥BC，得到BC⊥平面PAB，进而证明PA⊥BC； （2）先求AB，再求BC，用勾股定理计算PC的长度；

（3）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，证明，∠PMO是二面角P﹣AC﹣B的平面角，在Rt△AMO中，求出 PO 和OM，可求∠PMO的正切值． 解答： 解：（Ⅰ）证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB， 且BC⊥AB，

∴BC⊥平面PAB．（3分） ∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC．（4分） （Ⅱ）∵，PA⊥PB，∴． ∵AB⊥BC，∠BAC=30°，∴BC=AB•tan30°=2．（7分） ∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴

．（9分）

（Ⅲ）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM．∵平面PAB⊥平面ABC，

∴PO⊥平面ABC，根据三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P﹣AC﹣B的平面角．（12分） 在Rt△AMO中，易知AO=PO， ∴

，（13分）

，

即二面角P﹣AC﹣B的大小是arctan2（14分）

点评： 本题考查空间2条直线的位置关系，二面角的平面角的求法．