高考必做20道几何证明答案

几何证明专题

一、解答题

1 ．如图,∠BAC的平分线与BC和外接圆分别相交于D和E,延长AC交过D、E、C三点的圆

于点F.

(Ⅰ)求证:EF2EDEA;

(Ⅱ)若AE6,EF3,求AFAC的值.

2

3 ．如图,已知0和M相交于A、B两点,AD为M的直径,直线BD交O于点C,点G为弧BD中点,连结 AG

分别交0、BD于点E、F,连结CE.

GFEF2(I)求证:AG·EF=CE·GD;(II)求证: 2AGCE

4．如图,已知C、F是以AB为直径的半圆O上的两点,且CF=CB,过C作CDAF交AF的延长

线与点D.

(1)证明:CD为圆O的切线; (2)若AD=3,AB=4,求AC的长.

5．如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P.E为⊙O上一点,ACAE,

DE交AB于点F.

(I)证明:DF·EF=OF·FP; (II)当AB=2BP时,证明:OF=BF.

6．如图,⊙O1与⊙O2相交于点A,B,⊙O1的切线AC交⊙O2于另一点C,⊙O2的切线AD交⊙O1

于另一点D,DB的延长线交⊙O2于点E.

2

(Ⅰ)求证:AB=BC·BD;

(Ⅱ)若AB =1,AC =2,AD=2,求BE.

7．已知PA与圆O相切于点A,经过点O的割线PBC交圆O于点B、C,APC的平分线

分别交AB、AC于点D、E.

(1)证明:ADEAED; (2)若ACAP,求

PC的值. PA

8．如图,半圆O的直径AB的长为4,点C平分弧AE,过C作AB的垂线交AB于D,交AE于F.

(1)求证:CE2AEAF;

(2)若AE是CAB的角平分线,求CD的长.

C E F A D O B

9．如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点,过点P的割线交圆于B、C两点,弦CD∥AP,AD、

BC相交于点E,F为CE上一点,且DE2 = EF·EC. (1)求证:CE·EB = EF·EP;

(2)若CE:BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求PA的长.

10．如图,已知⊙O的半径为1,MN是⊙O的直径,过M点作⊙O的切线AM,C是AM的中点,AN

交⊙O于B点,若四边形BCON是平行四边形; (Ⅰ)求AM的长; (Ⅱ)求sin∠ANC.

11．如图,A,B,C,D四点在同一圆O上,BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上.

(Ⅰ)若

=,

=

,求

的值;

(Ⅱ)若EF2=FA·FB,证明:EF∥CD.

12．如图, AB 是圆 O 的直径,以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P .过点 A 作直

线交圆 O 于点 Q ,交圆 B 干点 M , N . (1)求证: QM= QN ;

(2)设圆O的半径为 2 ,圆 B 的半径为 1 ,当 AM10时,求 MN 的长. 3

13．如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是⊙O的直径.

(Ⅰ)求证:AC·BC=AD·AE;

(Ⅱ)过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F,若AF=4,CF=6,求AC的长.

14．如图,在△ABC中,∠C为钝角,点E、H是边AB上的点,点K、M分别是边AC和BC上的点,

且AH =AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM. (I)求证:E、H、M、K四点共圆;

(Ⅱ)若KE - EH,CE=3,求线段KM的长.

15．在△ABC中,BC边上的点D满足BD=2DC,以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A,过点B

作BE⊥CA于点E,BE交圆D于点F. (1)求∠ABC的度数; (2)求证:BD=4EF

16．在ABC的边AB,BC,CA上分别取D,E,F.使得DE=BE,FE=CE,又点O是△ADF的外心.

(Ⅰ)证明:D,E,F,O四点共圆; (Ⅱ)证明:O在∠DEF的平分线上.

17． 如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B和两

圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P. (1)求证:AD∥EC;

(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.

18．如图,直线MN交圆O于A,B两点,AC是直径,AD平分CAMM,交圆0于点D, 过D作

DE上MN于E.

(I)求证: DE是圆O的切线:

(II)若 DE=6,AE=3,求ΔABC 的面积

19．如图所示,AC为

O的直径,D为BC的中点,E为BC的中点.

(Ⅰ)求证:DE//AB;

(Ⅱ)求证:ACBC2ADCD.

20． 如图,过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD,分别交圆 O于点A,B,C,D弦AD和BC交

于Q点,割线PEF经过Q点交圆 O于点E、F,点M在EF上,且BADBMF: (I)求证:PA·PB=PM·PQ (II)求证:BMDBOD

参考答案

一、解答题

1.

解:(Ⅰ)如图,连接CE,DF. ∵AE平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC 在圆内又知∠DCE=∠EFD,∠BCE=∠BAE. ∴∠EAF=∠EFD

EFAE又∠AEF=∠FED, ∴ΔAEF∽ΔFED, ∴, EDEF∴EFEDEA

要证明角度相等,找中间角度作为桥梁.

2EFEAEFED,于是或者EDEFEAEFEFAEFD或者得到“分子三角形和分母三角形”:.这样就转化为三角形的相似,

EFDEFA要证明EFEDEA,可以把乘法变为除法,变为:

2帮助找相似三角形.这样就可以做出辅助线,构造相似三角形.

另外,做题要先度量,后计算,把图形画准确.从求证出发,向已知进行靠拢. (Ⅱ)由(Ⅰ)知EFEDEA∵EF=3,AE=6, ∴ED=3/2,AD=9/2 ∴ACAF=ADAE=692=27 2.

2

3. 证明:(Ⅰ)连结AB、AC,∵AD为⊙M的直径,

∴∠ABD=90°,∴AC为⊙O的直径, ∴∠CEF=∠AGD=90°. ――――2分

∵G为弧BD中点,∴∠DAG=∠GAB=∠ECF. ――――4分

CEAG, ∴AG·EF = CE·GD ――――6分 EFGD(Ⅱ)由⑴知∠DAG=∠GAB=∠FDG,∠G=∠G,

2

∴△DFG∽△AGD, ∴DG=AG·GF. ――――8分

GFEF2EF2GD2由⑴知,∴ ――――10分 AGCE2CE2AG2∴△CEF∽△AGD ∴

4. (Ⅰ)证明:∵CFCB,CAFCAB.

∵OAOC,CAOACO, 则CAFACO,AF∥OC. ∵CDAF,CDOC.则CD为圆O的切线. DFC (Ⅱ)解:连接BC,由(Ⅰ)知CADCAB. 又CDAACB90,ADC∽ACB. AOB5. ADAC.则AC2ADAB12,所以AC23 ACAB

6.

7. (1)∵ PA是切线,AB是弦,∴ ∠BAP=∠C,

又 ∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED.

(2)由(1)知∠BAP=∠C,又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴

PCCA, PAAB∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°,

∵ BC是圆O的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°, ∴ ∠C=∠APC=∠BAP=

8.

1CAPCCA×90°=30°. 在Rt△ABC中,=3, ∴ =3. 3ABPAAB

9. (I)∵DEEFEC,∴EDFC,

2又∵PC,∴EDFP,∴EDF∽PAE

∴EAEDEFEP又∵EAEDCEEB,∴CEEBEFEP···5分 (II)BE3,CE915,BP 24153 4PA是⊙O的切线,PA2PBPC,PA10.解:(Ⅰ)连接BM,则MBN90,

因为四边形BCON是平行四边形,所以BC∥MN,

因为AM是O的切线,所以MNAM,可得BCAM, 又因为C是AM的中点,所以BMBA, 得NAM45,故AM2. (Ⅱ)作CEAN于E点,则CE2,由(Ⅰ)可知CN5, 2故sinANC11.

CE10. NC10

12.

13.

14.

15.

16.证明:(Ⅰ) 如图,∠DEF=180°-(180°-2∠B)-(180°-2∠C)=180°-2∠A.

因此∠A是锐角,

A 从而ADF的外心与顶点A在DF的同侧,

∠DOF=2∠A=180°-∠DEF. F O 因此D,E,F,O四点共圆 D (Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO, 即O在∠DEF的平分线上 C E B 17.证明:解:(I)∵AC是⊙O1的切线,∴∠BAC=∠D,

又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC. 5 (II)设BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2, ∴xy=12 ①

∵AD∥EC,∴=,∴

x＝3

由①、②解得

y＝4

PDAPPEPC9＋x6

= ② y2

O1AO2PCE

(∵x>0,y>0)

BD∴DE=9+x+y=16,

2

∵AD是⊙O2的切线,∴AD=DB·DE=9×16,∴AD=12.

18.解:(Ⅰ)连结OD,则OA=OD,所以∠OAD=∠ODA.

10

图6

因为∠EAD=∠OAD,所以∠ODA=∠EAD

因为∠EAD+∠EDA=90,所以∠EDA+∠ODA=90,即DE⊥OD. 所以DE是圆O的切线

C

D O

B N

M E A (Ⅱ)因为DE是圆O的切线,所以DE2=EA·EB, 即62=3(3+AB),所以AB=9 因为OD∥MN, 所以O到MN的距离等于D到MN的距离,即为6 又因为

O为AC的中点,C到MN的距离等于12 故△ABC的面积S= 1

2

AB·BC=54

19.证明:

(Ⅰ)连接BD,因为D为︵

BC的中点,所以BD=DC. 因为E为BC的中点,所以DE⊥BC. 因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90, 所以AB∥DE

(Ⅱ)因为D为︵

BC的中点,所以∠BAD=∠DAC, 又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB.

又因为AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.

所以AC=ADCDCE,AD·CD=AC·CE,2AD·CD=AC·2CE, 因此2AD·CD=AC·BC 20.证明:(Ⅰ)∵∠BAD=∠BMF,

所以A,Q,M,B四点共圆, 所以PAPBPMPQ (Ⅱ)∵PAPBPCPD , ∴PCPDPMPQ ,

又 CPQMPD , 所以CPQ~MPD, ∴PCQPMD ,则DCBFMD,

∵BADBCD,

∴BMDBMFDMF2BAD, BOD2BAD, 所以BMDBOD 21.选修4-1几何证明选讲

证明:(Ⅰ)由弦切角定理知DBEDAB 由DBCDAC,DABDAC

所以DBEDBC, 即BD平分CBE. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知BEBH.

B D E A O

C

所以AHBHAHBE,

因为DABDAC,ACBABE, 所以AHC∽AEB,

AHHC,即AHBEAEHC AEBE即:AHBHAEHC.

所以

22.

A O · C

E B M

· F G

D

证明:(1)连结AB,AC,

∵AD为圆M的直径,∴ABD90, ∴AC为圆O的直径, ∴CEFAGD, ∵DFGCFE,∴ECFGDF, ∵G为弧BD中点,∴DAGGDF, ∵ECBBAG,∴DAGECF, ∴CEF∽AGD,∴

0CEAG, EFGDAGEFCEGD

(2)由(1)知DAGGDF,GG,

∴DFG∽AGD,∴DGAGGF,

2EF2GD2GFEF2由(1)知,∴ CE2AG2AGCE223.

解:(Ⅰ)∵PA为⊙O的切线,∴PABACP, 又PP∴PAB∽PCA.∴

ABPA ACPC2(Ⅱ)∵PA为⊙O的切线,PBC是过点O的割线,∴PAPBPC.

又∵PA10,PB5,∴PC20,BC15 由(Ⅰ)知,

ABPA1,∵BC是⊙O的直径, ACPC2222∴CAB90.∴ACABBC225, ∴AC=65

24.