初中数学突破中考压轴题几何模型之中点模型 教案

中点模型 授课日期 主 题 时 间 中点模型 教学内容 学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？ 直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？ 1. 直角三角形斜边中线定理： 如图，在RtABC中，ACB90，D为AB中点，则有：CDADBDC1AB。 2BDA 2. 三线合一： 在ABC中:（1）ACBC；（2）CD平分ACB；（3）ADBD，（4）CDAB. “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出余下两条。 CADB 3. 中位线定理：如图，在ABC中，若ADBD，AECE，则DE//BC且DEA1BC。 2DEBC 4. 中线倍长(倍长中线)： 如图（左图），在ABC中，D为BC中点，延长AD到E使DEAD，联结BE，则有：ADC≌EDB。 作用：转移线段和角。 AABMBDEC CD 例1： 如图所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且ABCE，求证：BADCED. EABDC 提示：用倍长中线法，借助等腰三角形和全等三角形证明 试一试：如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF。 AFEBDC 证明：延长DE至点G，使得ED=DG，联结CG 类比倍长中线易得：△BDE≌△CDG 所以∠BED=∠DGC，BE=CG 因为BE=AC，所以AC=GC 所以∠EAC=∠DGC， 因为∠BED=AEF AFEBGDC所以∠AEF=∠FAE 所以AF=EF 例2：如图,已知ABC中，BD,CE为高线，点M是BC的中点，点N是DE的中点..求证： MNDE。 AENDB证明：联结EM、DM MC 11BC，在Rt△BDC中DMBC 22所以EM=DM，又因为EN=ND，所以MNDE 在Rt△BEC中EM 例3：如图，在ABC中，AD为A的平分线，M为BC的中点，AD//ME， 求证：BECF1ABAC。 2EAFB证明：延长FM至点G，使得FM=MG，联结BG 类比倍长中线易得：△BMG≌△CMF 所以∠G=∠CFM，BG=CF 因为AD∥EM，所以∠BAD=∠E，∠DAF=∠EFA 因为∠BAD=∠DAC，∠AFE=∠CFM 所以∠E=∠AFE=∠CFM=∠G DMC 所以BE=BG=CF，AE=AF 因为AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+BE=BE+BE=2BE 所以BECF1ABAC 2EAFBDMCG 试一试：如图所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证：MF 1(ACAB)。 2ABF提示：延长AB，CF交于点E，证明出BE=AC-AB，再根据中位线的性质就可得证 DMC ABEFDMC 1. 在梯形ABCD中，AD//BC，ABADBC，E为CD的中点，求证：AEBE ADEB提示：延长AE、BC交于点F， 易证△ADE≌△FCE，得AD=CF，AE=EF。 因为ABADBC，所以AB=BF， 所以AE⊥BE C 2222. 如图，已知：ABC中，A90,D是BC的中点，DEDF。求证：BECFEF AFEBDC 证明：延长ED至点G，使得ED=DG，联结CG、FG BDDC因为EDBCDG ，所以△BDE≌△CDG EDDG所以∠B=∠DCG，BE=CG 因为A90，所以∠B+∠ACB=∠DCG+∠ACB=90° oAFEB所以CGCFBECFFG 因为DEDF，ED=DG，所以EF=FG 22222DGC所以BECFEF 3. 如图，在正方形ABCD中，F是AB中点，联结CF，作DECF交BC于点E，交CF于点M， 求证：AMAD。 222ADFMB EC GADFMB提示：延长DA、CF交于点G 易证：△AFG≌△BFC，所以AG=BC=AD 因为DECF，所以AMEC 1GDAD 2E,F分别是BC,AD的中点，4. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G,H。 求证：BGECHE. GHAFGHDAFDBEC BM证明：联结BD，取BD的中点M，再分别联结ME、MF， ∵E、F分别是DC、AB边的中点， EC∴ME∥CD， EM=11CD， MF∥BA，MF=BA． 22∵AB=CD，∴EM=MF， ∴∠MEF=∠MFE． ∵EM∥CH，∴∠MEF=∠CHE ∵FM∥BG，∴∠MFE=∠BGE ∴∠CHF=∠BGE； 【巩固练习】 1. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD2AD，E、F、G分别是OC、（1）BEAC（2）EGEF. OD、AB 的中点。求证： AFGOEB提示：（1）等腰三角形三线合一可得 （2）中位线性质和直角三角形斜边中线性质可得 DC 2. 已知：ABD和ACE都是直角三角形，点C在AB上，且ABDACE90，如图，联结DE，设M为DE的中点，联结MB,MC。求证：MBMC。 ACMD证明：延长CM、DB交于点F 因为ABDACE90，所以ABDECB 所以CE∥DB，所以BDECED，FECF 因为DM=ME，所以△DMF≌△EMC，所以CM=MF 因为CBF90，所以BM=CM 【预习思考】 1. 角平分线的性质定理： 2. 角平分线的性质定理逆定理： 3. 还有哪些性质或定理与角平分线有关？ 学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？ EB ACMDBFE直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？