灵台县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（ A．1

2）C．i

D．﹣i

B．﹣1

2． 已知抛物线C：x8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若

PF2FQ，则QF（ ）

A．6

B．3

C．

83D．

43第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

f(x5)x2x2x2，则f(2016)（ ）3． 已知函数f(x)ef(x)x2A．e

2B．e

C．1 D．

1e）

【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．

4． 直线l将圆x2+y2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是（ A．x﹣y+1=0，2x﹣y=0

B．x﹣y﹣1=0，x﹣2y=0

C．x+y+1=0，2x+y=0D．x﹣y+1=0，x+2y=05． 已知A．0

B．2

C．4

，则f{f[f（﹣2）]}的值为（ D．8

）

3xy30y16． 若x,y满足约束条件3xy30，则当取最大值时，xy的值为（ ）

x3y0A．1 B． C．3 D．3

7． 若实数x，y满足不等式组A．6

B．﹣6

C．4）

D．2

则2x+4y的最小值是（

）

8． 由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于﹣1，则样本1，x1，﹣x2，x3，﹣x4，x5的中位数为（

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A．B．

）

C．D．

9． 下列说法正确的是（ B．命题“∃x0∈R，x

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”

+x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”

C．命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题D．若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题

10．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞）+∞）

C．（﹣1，0）∪（0，1）

）

D．（﹣1，0）∪（1，

12i(i是虚数单位）的虚部为（ ）iA．-1 B．i C．2i D．211．复数z【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．12．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，则（

﹣）•（

+

）=（

）

A．﹣6　

B．﹣2C．2D．6

二、填空题

13．设α为锐角，若sin（α﹣

）=，则cos2α=　　　　　　．14．若x，y满足约束条件2x－y－1≥0，若z＝2x＋by（b＞0）的最小值为3，则b＝________．

x－2y＋1≤015．直线x2yt0与抛物线y216x交于A，B两点，且与x轴负半轴相交，若O为坐标原点，则

{x＋y－5≤0

)OAB面积的最大值为 问题的能力.

.

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决16．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且满足对任意的实数x都有f[f（x）﹣2x]=6，则f（x）+f（﹣x）的最小值等于　　　　　　．　

17．下列命题：

①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数；

②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点；

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③数列{an}为等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，S10＞0，S11＜0，Sn最大值为S5；④在△ABC中，A＞B的充要条件是cos2A＜cos2B；

⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强．

其中正确命题的序号是　　　　　　（把所有正确命题的序号都写上）．　　

18．函数f(x)（xR）满足f(1)2且f(x)在R上的导数f'(x)满足f'(x)30，则不等式

f(log3x)3log3x1的解集为 要求，难度大.

.【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高

三、解答题

19．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且（I）求C的值；（Ⅱ）若c=2a，b=2

，求△ABC的面积．

csinA=acosC．

20．设函数f（x）=x2ex．（1）求f（x）的单调区间；

（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

21．（本小题满分10分）

已知函数fxxax2．

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（1）若a4求不等式fx6的解集；

（2）若fxx3的解集包含0,1，求实数的取值范围．

22．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且ABC120．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB//EF；

（2）若PAPDAD2，且平面PAD平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．

PFDAECB【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线垂直的判定，二面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想.

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23．已知数列{an}共有2k（k≥2，k∈Z）项，a1=1，前n项和为Sn，前n项乘积为Tn，且an+1=（a﹣1）Sn+2（n=1，2，…，2k﹣1），其中a=2（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）若|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤，求k的值．

，数列{bn}满足bn=log2

，

24．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

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灵台县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1，故选A．

【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．　

2． 【答案】A

解析：抛物线C：x8y的焦点为F（0，2），准线为l：y=﹣2，

2设P（a，﹣2），B（m，∵

，∴2m=﹣a，4=

），则=（﹣a，4），=（m，﹣2），

+2=4+2=6．故选A．

﹣4，∴m2=32，由抛物线的定义可得|QF|=

3． 【答案】B

【解析】f(2016)f(2016)f(54031)f(1)e，故选B．4． 【答案】C

【解析】解：圆x2+y2﹣2x+4y=0化为：圆（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为将圆

x2+y2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，

∴直线l的方程是：y+2=﹣（x﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．故选：C．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．　

5． 【答案】C【解析】解：∵﹣2＜0∴f（﹣2）=0

∴f（f（﹣2））=f（0）∵0=0

∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2∵2＞0∴f（2）=22=4

即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4

，直线l

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故选C．　

6． 【答案】D【

解

析

】

考

点：简单线性规划．7． 【答案】B

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+4y得y=﹣平移直线y=﹣直线y=﹣由

x+

x+，

x+经过点C时，

x+，由图象可知当直线y=﹣的截距最小，此时z最小，

，

，解得

即C（3，﹣3），

此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6．故选：B

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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．　

8． 【答案】C

【解析】解：因为x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜﹣1，题目中数据共有六个，排序后为x1＜x3＜x5＜1＜﹣x4＜﹣x2，故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数，故这组数据的中位数是（x5+1）．故选：C．

【点评】注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．　

9． 【答案】D

【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．命题“∃x0∈R，x

+x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，因此不正确；

C．命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；D．命题“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确．故选：D．　

10．【答案】A

【解析】解：根据题意，可作出函数图象：∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）故选A．

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11．【答案】A【解析】z12．【答案】D

【解析】解：根据正六边形的边的关系及内角的大小便得：

=

．故选：D．

【点评】考查正六边形的内角大小，以及对边的关系，相等向量，以及数量积的运算公式．　

=

=2+4﹣2+2=6

12i12i(i)2i，所以虚部为-1，故选A.ii(i)二、填空题

13．【答案】　﹣

【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣∴cos（α﹣∴sin

∴cos2α=1﹣2sin2α=﹣故答案为：﹣

．

．

）=

，

=

[sin（α﹣

）+cos（α﹣

）]=

，

）=，

　．

【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．

14．【答案】【解析】

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约束条件表示的区域如图，

当直线l：z＝2x＋by（b＞0）经过直线2x－y－1＝0与x－2y＋1＝0的交点A（1，1）时，zmin＝2＋b，∴2＋b＝3，∴b＝1.答案：115．【答案】【

51239解

析

】

16．【答案】　6　．

【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，∴f（x）﹣2x=a，即f（x）=a+2x，∴当x=a时，又∵a+2a=6，∴a=2，∴f（x）=2+2x，

∴f（x）+f（﹣x）=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4≥2

+4=6，当且仅当x=0时成立，

∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6，

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故答案为：6．

【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．　

17．【答案】　②③④⑤　

【解析】解：①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数，不正确，取x=

，

，

，但是

，因此不是单调递增函数；

②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确；③数列{an}为等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，S10＞0，S11＜0，∴

=11a6＜0，

∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此Sn最大值为S5，正确；

④在△ABC中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin（A+B）sin（B﹣A）＜0⇔A＞B，因此正确；⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确．其中正确命题的序号是 ②③④⑤．

【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　

18．【答案】(0,3)【解析】构造函数F(x)f(x)3x，则F'(x)f'(x)30，说明F(x)在R上是增函数，且

=5（a6+a5）＞0，

F(1)f(1)31.又不等式f(log3x)3log3x1可化为f(log3x)3log3x1，即F(log3x)F(1)，

∴log3x1，解得0x3.∴不等式f(log3x)3log3x1的解集为(0,3).

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（I）∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且∴∴

sinCsinA=sinAcosC，∴sinC=cosC，∴tanC=

sinCsinA﹣sinAcosC=0，=；，

，

csinA=acosC，

由三角形内角的范围可得C=（Ⅱ）∵c=2a，b=2

，C=

∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4a2=a2+12﹣4

a•

，解得a=﹣1+

，或a=﹣1﹣

（舍去）

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∴△ABC的面积S=absinC=　

20．【答案】 【解析】解：（1）令

∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；单减区间为（﹣2，0）．…（2）令∴x=0和x=﹣2，…∴

∴f（x）∈[0，2e2]…

∴m＜0…　

21．【答案】（1）,06,；（2）1,0.【解析】

=

…

试题分析：（1）当a4时，fx6，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得恒成立，即1a0.试题解析：

（1）当a4时，fx6，即解集为,06,；（2）fxx3等价于xa2x3x，即1xa1x在0,1上

解得x0或x6，不等式的解集为,06,；

x2x42x4或或，

4x2xxx26x4x26考

点：不等式选讲．22．【答案】

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【解析】

∵BG平面PAD，∴GB(0,3,0)是平面PAF的一个法向量，

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23．【答案】

【解析】（本小题满分13分）解：（1）当n=1时，a2=2a，则

；

当2≤n≤2k﹣1时，an+1=（a﹣1）Sn+2，an=（a﹣1）Sn﹣1+2，所以an+1﹣an=（a﹣1）an，故

=a，即数列{an}是等比数列，

，

．…

，

，

∴Tn=a1×a2×…×an=2na1+2+…+（n﹣1）=bn=（2）令当n≥k+1时，

=

，则n≤k+，又n∈N*，故当n≤k时，

．…

|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|

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=

=（k+1+…+b2k）﹣（b1+…+bk）=[=由

+k]﹣[

，

，得2k2﹣6k+3≤0，解得

]

+（）+…+（）…

，…

又k≥2，且k∈N*，所以k=2．…

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．　

24．【答案】

【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1；（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10；因为第3，4，5组共有60名志愿者，

所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组

=3；第4组

=2；第5组

=1；

应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．

（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）；

共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽有9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为

．

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【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．　

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