高中数学必修3-考试题

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．下面的问题中必须用条件结构才能实现的个数是( ) ①已知三角形三边长，求三角形的面积； ②求方程ax＋b＝0(a，b为常数)的根； ③求三个实数a，b，c中的最大者； ④求1＋2＋3＋…＋100的值．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

[答案] C

[解析] ②③解决时用到条件结构，①用到顺序结构，④可用公100×1＋100

式Sn＝直接求得．

2

2．一个样本容量为20的样本数据，分组后，组距和频数如下：(10,20]，2；(20,30]，3；(30,40]，4；(40,50]，5；(50,60]，4；(60,70]，2，则样本在区间(8,50]上的频率是( )

A．0.5 B．0.25

C．0.05

[答案] D

2＋3＋4＋5

[解析] ＝0.7.

20

D．0.7

3．从2 008名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 008人中剔除8人，剩下的2 000人中再按分层抽样的方法抽取50人，则在2 008人中，每人入选的概率( )

A．不全相等 C．都相等，且为

[答案] C

4．下列有四种说法： ①概率就是频率；

2 00850

B．均不相等 D．都相等，且为

401

②“我国乒乓健儿将在2012年的伦敦奥运会上囊括四枚金牌”是必然事件；

③某厂产品的次品率为3%，是指“从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有3件次品”；

④从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测，其中

1只是次品，说明这批灯泡中次品的概率为1

15

.

其中正确说法的个数是( )

A．0 B．1 C．2

D．3

[答案] A

5．若程序框图如图所示，则循环体执行的次数是(

A．99 B．100 C．101 D．102

[答案] C

)

有 [解析] 主要分析最后一项i＝0时，仍然循环，所以循环101次．

6．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数．设事件A为“出现奇数点”，11B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”

26的概率为( )

A.

12

1

1B. 3

2C. 3[答案] C

D.

12

7

112

[解析] A与B为互斥事件，P＝P(A)＋P(B)＝＋＝.

2637．把十进制数15化为二进制数为( )

A．1 011 C．1 111(2)

[答案] C

B．1 001(2) D．1 101

[解析] 由除k取余法可得15＝1 111(2)．

8．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件

个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．( )

A．21.5.23 C．24,23

[答案] C

B．20,24 D．23,24

9．如图，在地面上放置一个塑料圆盘，且盘上A区域所对应弧长是B区域弧长的一半，甲将一个玻璃球随意丢到该圆盘中，则玻璃球落在A区域的概率应为( )

1

A. 2

1B. 8

1C. 3[答案] C

D．1

[解析] 因A区域所对弧长为B区域弧长的一半，则A区域的1

面积是B区域面积的一半，所以玻璃球落在A区域的概率为.

3

10．在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( )

A.

20

1

B.

1

15

1C. 5[答案] C

1D. 6

[解析] 如图，在三棱锥S－ABC中，任选两条棱，所有选法有：(SA，SB)，(SA，SC)，(SA，AC)，(SA，AB)，(SA，BC)，(SB，SC)，(SB，AC)，(SB，AB)，(SB，BC)，(SC，AC)，(SC，AB)，(SC，BC)，(AB，AC)，(AB，BC)，(AC，BC)共15种．

其中异面直线的有：(SA，BC)，(SC，AB)，(SB，AC)共3种． 1

∴P＝＝. 15511．已知样本：

10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 那么频率为0.3的范围是( )

3

A．5.5～7.5 C．9.5～11.5

[答案] B

B．7.5～9.5 D．11.5～13.5

[解析] 在7.5～9.5内的值为8、9，频率为6，所以频率为＝

200.3

12．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女生育两胎均是女孩的概率是( )

6

1A. 21C. 4[答案] C

1B. 31D. 5

[解析] 事件“该育龄妇女连生两胎”包含4个基本事件，即(男，1男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)；故两胎均为女孩的概率为.

4

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．如下图，为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下图所示．据图可得这100名学生中体重在[58.5,74.5)的学生人数是________．

[答案] 89

[解析] 体重在[58.5,74.5)的学生概率为P＝1－(0.01＋0.015＋0.03)×2＝0.89. 0.89×100＝89.

14．某校共有2 500名学生，其中男生1 300名，女生1 200名，用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，则男生应抽取________名．

[答案] 104

1 300

[解析] 200×＝104(名)．

2 500

15．某人午睡觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不多于6分钟的概率是________．

[答案]

110

[解析] 整点报时的间隔为60分钟，等待的时间不多于6分钟，应当在第54分钟后醒来，即P＝＝. 6010

16．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示： 年降水量/mm 6

1

[100,150) [150,200) [200,250) [250,300) 概率 0.21 0.16 0.13 0.12 则年降水量在[200,300](mm)范围内的概率是________． [答案] 0.25

[解析] 设年降水量在[200,300]、[200,250)、[250,300]的事件分别为A、B、C，则A＝B∪C，且B、C为互斥事件，

∴P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.13＋0.12＝0.25.

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1个球，有放回地抽取3次．求

(1)所取3个球全是红球的概率； (2)所取3个球颜色全相同的概率； (3)所取3个球颜色不全相同的概率．

[解析] 基本事件有：(红，红，红)，(红，红，黄)，(红，黄，黄)，(红，黄，红)，(黄，红，红)，(黄，红，黄)，(黄，黄，黄)，(黄，黄，红)共8个．

每个基本事件的发生都是等可能的．

(1)3个球全是红球只有(红，红，红)1个基本事件，故所求概率

1P(A)＝.

8

(2)3个球颜色全相同包含(红，红，红)，(黄，黄，黄)2个基本事件，

21

故所求概率P(B)＝＝.

84

(3)3个球颜色不全相同和3个球颜色全相同为对立事件， 13

故所求概率P(C)＝1－P(B)＝1－＝(也可用直接法求解)．

4418．(本小题满分12分)如图，在边长为25 cm的正方形中挖去边长为23 cm的两个等腰直角三角形．现有均匀的粒子散落在正方形中．问粒子落在中间带形区域的概率是多少？

[解析] 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的， 所以符合几何概型的条件．

设A＝“粒子落在中间带形区域”，则依题意，得

正方形的面积为25×25＝625，

1

两个等腰直角三角形的面积为2××23×23＝529，

2带形区域的面积为625－529＝96，∴P(A)＝.

625

19．(本小题满分12分)为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：

甲 乙 27 33 38 29 30 38 37 34 35 28 31 36 96

(1)求甲、乙二人这6次测试最大速度的平均数；

(2)求甲、乙二人这6次测试最大速度的标准差，并说明谁参加这项重大比赛更合适．

27＋38＋30＋37＋35＋31

[解析] (1)X甲＝＝33，

633＋29＋38＋34＋28＋36X乙＝＝33.

6(2)s甲＝

47＝3

1413

，s乙＝

38＝3

114

， 3

X甲＝X乙，s甲>s乙．

所以乙的成绩更稳定，乙参加更合适．

20．(2012·广东高考卷)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]． (1)求图中a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.

分数段 xy [50,60) 11 [60,70) 21 [70,80) 34 [80,90) 45 [解析](1)(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1⇔a＝0.005. (2)平均分为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.

(3)数学成绩在[50,90)内的人数为(0.005＋×0.04＋×0.03＋

235

×0.02)×10×100＝90人， 4

数学成绩在[50,90)外的人数为100－90＝10人．

21．(本小题满分12分)某学校在2010年的招聘教师考试合格的成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185] 合计 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00 1

4

(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再完成下列频率分布直方图；

(2)为了能选拔出最优秀的老师，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名考生进入第二轮面试？

(3)在(2)的前提下，学校决定在6名考生中随机抽取2名考生接受校长面试，求：第4组至少有一名考生被校长面试的概率？

[解析] (1)由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，第3组的频率为＝0.300，频率分布直方图如下：

100

30

(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：

30

第3组：×6＝3人，

6020

第4组：×6＝2人，

6010

第5组：×6＝1人．

60

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．

(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1.

则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：

(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，其中第4组的2位同学为B1，B2至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，9种可能．

3∴P＝. 5

22．(本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

20至40岁 大于40岁 总计 文艺节目 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100 (1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？

(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？

(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄

为20至40岁的概率．

[解析] (1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．

273

(2)应抽取大于40岁的观众人数为×5＝×5＝3(名)．

455(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁有3名(记为A1，A2，A3)，5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.

设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”．

则A中的基本事件有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3.

3

故所求概率为P(A)＝＝. 105

6