第2章 金融波动模型分析与应用

第二章 金融波动模型分析与应用

在金融计量经济学和金融时间序列研究中，对金融资产的波动进行研究与建摸是非常重要的一个领域。特别是近二十多年以来，以ARCH模型族和随机波动模型族为代表的金融波动模型发展迅速，已成为金融计量经济学和金融时间序列研究的重要分支和前沿领域之一。这是因为：（1）对变量条件均值的有效统计推断需要对条件方差的变化进行精确研究；（2）在实践中，金融资产的波动往往表现出非常复杂、丰富的统计特征，如波动的聚集现象、尖峰厚尾、条件方差时变性、长期记忆性、非对称性和状态转换等特征，这对金融资产的定价与风险管理具有十分重要的意义。2003年，纽约大学的Robert Engle教授正是凭借在金融波动模型领域做出的开创性贡献（ARCH模型）而获得了诺贝尔经济学奖。在本博士论文中，我们尝试将金融波动模型与Copula函数有效的结合在一起以更准确地描述多维金融资产之间的相依关系和波动特征。因此在本章中我们将对主要的金融波动模型进行研究与比较，这将为我们在以后几章中联合金融波动模型与Copula函数建模奠定基础。

根据金融波动模型的设定与特点，我们可以对金融波动模型进行如下分类：按照对波动运动过程假定的不同，我们可以将金融波动模型分为ARCH族模型和随机波动族模型，两者的主要区别在于前者假设波动服从一个确定性的变化过程，而随机波动模型假设金融资产的波动服从某个不可观测的随机过程。按照模型描述金融资产维数的不同，可以将金融波动模型分为一元金融波动模型（含一元ARCH族模型和一元随机波动族模型）和多元金融波动模型（含多元ARCH族模型和多元随机波动族模型）。按照金融资产的波动是否具有状态相依的特征，可以将金融波动模型分为不包含状态转换的金融波动模型和包含状态转移的金融波动模型（包含马尔可夫转换GARCH模型 (MSGARCH)族和马尔可夫转换随机波动族模型（MSSV）族）。在本章中我们将结合中国金融市场的实际数据，分析与比较各金融波动模型的特点与绩效。

2.1 金融波动的统计特征分析

近年来，随着金融资产之间联系的不断加深和金融衍生产品的不断创新，金融资产的波动日益加剧，波动特征也日趋复杂化与多样化。而在现代金融理论中，

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波动始终是重要研究内容。这是因为现代金融理论的核心便是不确定性，而波动则是衡量这种不确定性的重要指标。目前现代金融理论比较核心的理论主要包括：有效市场理论、投资组合理论、资本资产定价模型、期权定价理论、套利理论、行为金融理论和资产结构理论等。而除了有效市场理论和资产结构理论与波动值关系不大外，其余理论均同波动有不可分割的联系。例如，在Markowitz的投资组合理论中，最优投资组合的确定依赖于金融资产的方差和协方差，而投资组合风险值（Value at Risk）的计算也与金融资产的波动密切相关。投资组合的优化问题实质上也是对投资组合的收益――方差优化。在资本资产定价模型（CAPM）中，资产的期望收益率取决于该资产与市场组合的协方差与市场组合方差的比值。其核心是建立了证券收益与风险的关系，揭示了证券风险报酬的内部结构，即风险报酬是影响证券收益的各相关因素的风险溢价的线性组合。同时将风险划分为系统风险和非系统风险两大类，而非系统风险可以通过投资组合的优化有效地进行分散。在Blach-Scholes期权定价公式中，期权的价格同标的金融资产的波动值密切相关，同时我们也可以通过期权的市场价格推算出标的金融资产的隐含波动率。要想准确对期权进行定价，必须首先准确了解金融资产的波动特征与规律。在套利理论中，需要计算i种证券与第j种影响因素的方差－－协方差矩阵，这也同波动建立了直接联系。在近年来兴起的行为金融理论中，资产价格的过度波动原因和投资者心理与投资行为对金融资产波动的影响也成为研究的热点领域。因此，如何准确地描述与刻画金融资产的波动特征，并探寻金融波动背后的内在机制与经济含义，已成为现代金融学和统计学学研究的一个重要议题。

在对金融波动进行建模前，我们需要了解金融资产波动的主要统计特征，这是我们对金融波动进行统计建模的基础。Bollerslev, Engle and Nelson(1994)，Rama Cont（2001）和苏卫东（2002）等对此进行了总结和归纳。就一般而言，金融资产的波动具有如下重要统计特征：

（1）过度波动（excess volatility）：也就是说金融资产的波动往往超过了经济基本面因素所能引起的波动。特别的，金融资产收益率较大幅度的变化（包括正向和负向）并不能完全由市场上所有新的信息所解释。

（2）厚尾（heavy tail）：金融资产的收益率往往具有“尖峰厚尾”的统计特征，其无条件峰度指标和尾部指标(tail index)往往较标准的正态分布更高，这意味着用具有厚尾特征的统计分布如t分布、Pareto（帕累托）分布或者GED分布（广义误差分布）等能较正态分布更好的刻画金融资产波动的这种尖峰厚尾特征。

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（3）波动具有时变和聚集（volatility clustering）特征：经典金融理论在描述金融资产波动变化时，往往假设波动值在一定期限内保持不变。然而实践却通常表明这种假设不甚合理。金融资产的波动往往具有随时间变化而变化的动态时变特征，有时候这种变化甚至会相当剧烈，而有时则会保持相对稳定。更为重要的是，金融资产的波动往往还存在着聚集现象，这种现象首先由

Mandelbrot(1963)发现，指大的金融波动后面往往紧跟着大的波动，而小的金融波动后面往往紧跟着小的波动。很明显的例证是：金融资产收益率的自相关系数往往较小，但是收益率的绝对值和平方却通常具有显著的、呈现缓慢衰减的正向自相关性。Bollerslev, Engle and Nelson（1994）指出波动的聚集现象可能是导致金融资产尾部较厚的重要原因。

（4）杠杆效应(leverage effect)：杠杆效应首先由Black（1976）发现，指金融资产收益率的波动往往体现出一种非对称性，波动率对金融资产收益率下跌时的反应往往比对收益率上升时的反应更加迅速和剧烈。Christie(1982)利用Modigliani-Miller原理对此问题进行了解释：坏消息的出现会降低公司的股价，这样就会导致负债/资产比（也就是金融杠杆比）上升，这显然会增加公司的财务风险从而加大了持有股票的风险，从而使得未来的期望波动值上升。

（5）波动具有连动性（co-movements in volatility）：这种现象也首先由Black（1976）发现，他总结到：“不同股票的波动变化具有很多相同的特征，股市1％的波动变化意味着所有股票的波动可能也有1％的变化。只是某些高风险的股票对于股市变化的敏感度较低风险的股票高，但就总体而言，当波动变化时，大多数的股票倾向于同方向变化。”这种波动的连动性不仅存在于同一金融市场，跨金融市场也同时存在着这种现象。Diebold and Nerlove (1989)和 Harvey et al. (1991)探讨了影响金融资产连动性的主要因素，如果这些影响因素的确存在，那么就意味着我们可以用较少的因素去解释金融资产方差和协方差的变化。正是基于此学者提出了因素ARCH模型（Engle（1987），Diebold and Nerlove (1989)）来解释金融波动的这种连动性。

（6）波动同宏观计量变量和成交量密切相关：金融资产的价格同宏观经济运行质量密切相关，那么宏观经济指标，如利率、货币供应量、GDP增长、外贸等都有可能对股票市场的波动产生实质性影响。就中国股市而言，政府的股市调控政策对股市波动的影响也非常巨大。另一方面从金融市场本身的运行规律来看，金融资产的成交量与波动也往往存在着显著的正向关系。

(7)波动的隐含微笑曲线(implied volatility smile)与期限结构(term

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structure)：隐含微笑曲线是指在其它条件相同的情况下，对相同标的资产但执行价不同的期权市场价格所反映出来的隐含波动度往往呈现出近似微笑形态的曲线，到期期限越远，这种微笑的幅度会越发趋缓。一般而言，隐含波动微笑曲线的存在意味着平价期权的隐含波动率会比较接近于真实现货的波动值，而价外与价内期权的隐含波动率往往偏高，且微笑曲线形态往往具有一定的非对称性。通常认为波动的隐含微笑曲线和波动的随机特征密切相关。而波动的期限结构则是指在其它条件不变的情况下，对相同标的资产但不同到期日的期权市场价格，通过Black-Scholes公式所反推算出来的隐含波动率所呈现的形态。Xu and Taylor(1994)发现期权的期限结构是不规则的，呈现出多种形态。一般认为，金融资产的随机波动特征是造成隐含微笑曲线和期限结构最重要的原因之一。

正是金融波动存在的上述复杂的统计特征促进了金融波动模型研究的深入发展。在本章余下内容我们将分析与比较主要的金融波动模型，并利用中国金融市场的数据进行实证研究。

2.2 一元ARCH模型族分析

金融波动模型在近二十多年来发展迅速，学科体系已经渐趋成熟，这使得准确地刻画金融资产波动的统计特征成为可能。金融波动模型按照波动函数建模的性质可以大致分为两类：第一类是用确定的函数来刻画t时刻的波动率，这方面主要的模型包括自回归条件异方差（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, ARCH）模型和在其基础之上衍生出来的广义自回归条件异方差（GARCH）模型族。另一类是用随机方程来刻画波动率的变化，这方面的主要模型是随机波动（stochastic volatility）模型族。一元金融波动模型只针对一维金融资产的波动特征进行建模,主要包括一元ARCH模型族和一元随机波动模型族，本小节将探讨一元ARCH模型族的特点与性质，最早出现的金融波动模型便是Engle(1982)提出的一元ARCH模型。

2.2.1 一元ARCH模型分析

ARCH模型的是自回归条件异方差模型的英文简称，其中的异质变异（heteroskedasticity）代表时变方差(time varying variance)，条件的(conditional)代表相依于过去的观察值的信息，而自回归（autoregressive）则代表描述一个自回

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归机制，将自身过去的观察值作为影响现在波动的因素。ARCH模型族的发展是时间序列研究领域的一个重要创新，其将对金融波动的研究带入了一个新的阶段。

在以往的计量经济与时间序列模型中，通常会假设条件方差保持固定不变，这虽然给建模带来了便利，但往往与实际情况并不相符。金融资产变量（如股价收益率、汇率和利率等）的条件方差往往体现出随时间变化而变化的统计特征。因此，在条件同方差的假设下，传统的计量经济学和时间序列模型往往无法准确刻画金融资产波动的这种动态时变统计特征。事实上，金融资产收益率的波动往往存在着波动聚集（volatility clustering）现象，即如果本期价格有较大幅度的变化，那么紧接下来的交易日往往也会出现较大幅度的波动。这意味着残差项的平方会存在着显著的自相关及异方差问题。这个问题直到Engle(1982)提出ARCH模型后才得到了有效解决。其主要思路是将条件方差随时间变化而变化的特征纳入考虑。假设本期收益率的条件方差受上期残差项的影响，并且这种变化具有时间依赖性。那么基于正态分布假设的ARCH(q)-Normal模型可表达为：

rtxttxtttq22htt0itii1t~i..idN(0,1)rt|t1~N(xt,ht)q0,00,i0,i1,i1,2,,qi1q （公式2－1）

这其中rt代表t时期金融资产的收益率，xt代表解释收益率变量的线性组合，t是t时刻的残差项，t是标准化的残差，一般我们假设t服从某一特定的参数分布（在上式中我们假设其服从一元标准正态分布N(0,1)），t1代表从时刻1到时刻t-1时期全部的信息集，ht代表受过去q期残差影响的条件异方差，q是ARCH模型中自回归的阶数。从上述公式中可以看出，在ARCH(q)模型中，收益率rt的条件方差t2受两个因素的影响，一是常数项0，另一个则是前q个时刻关于变化量的信息，用前q时期的残差平方项的线性组合来表示。为了保证条件方差为正，我们需要对限制参数i0。而为了保证模型的残差为一平稳过程,我们还需限制参数i1。如果需保证残差的高阶矩存在，我们还需对参数进行

i1q更严格的限制，相关内容可参看Engle(1982)。

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在ARCH模型中，t的无条件期望和方差分别为：

E(t)0var(t)01a1aq （公式2－2）

ARCH模型另一个重要的特点便是其峰度指标较正态分布高。例如对于

E(t4)(1a12)ARCH(1)模型，其无条件峰度kt33，其中：3a121。这22[var(t)]13a1意味着ARCH(1)-Normal模型的分布尾部比正态分布更厚，从而可以更好地刻画金融时间序列尖峰厚尾的统计特征。

在使用ARCH模型等金融波动模型前必须首先检验时间序列是否存在ARCH效应，这方面常用的有Engle(1982)提出的的拉格朗日乘数（Lagrange Multiplier, LM）检验法和似然比（likelihood ratio, LR）检验法两种方法，其中最常用的是LM检验，其假设为：

原假设H0： 12q0 备择假设H1：i中至少有一个不为0； 为检验原假设，需要进行如下回归：

ˆ0(ieˆt2i)ut e2ti1qˆi是残差，上式表示残差和平方eˆt2对截矩项和q阶滞后的残差平方和式中的e进行回归，由上式计算TR2（T为样本数）即可得到LM值Q2，其服从2(q)的渐进分布，若Q22(q)，则拒绝原假设，说明时间序列存在显著的ARCH效应。ARCH-Normal模型一般可以通过拟极大似然函数方法（QML）进行估计，对于上面讨论的ARCH模型，其对数似然函数可表达为下式：

T1T1T222lnL()ln(2)lntt/t （公式2－3）

22t12t1其中htt0it2i，T为样本长度。

2i1q虽然ARCH模型较以往的模型有了显著改进，但其也存在着一定的缺陷：（1）ARCH模型虽然简单，但为了充分地描述金融资产收益率的波动过程，往往需要对残差项t滞后多期，这需要估计较多参数，从而增加模型估计成本；（2）ARCH

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模型假定正负波动对波动率具有相同的影响，这意味着其无法捕捉到金融资产收益率的杠杆效应；（3）ARCH模型有时对于参数的限制过于严格；（4）ARCH-Normal模型是基于正态分布假设基础之上的，而实证经验表明正态分布对金融资产收益率的尖峰厚尾特征的刻画能力往往是较差的。

2.2.2 一元GARCH模型分析

为了减少模型的参数以及放宽对参数的限制，Bollerslev（1986）提出了GARCH模型，其核心思想是用一个或两个t2的滞后值来替代许多t2的滞后值，这样不仅可以精简模型参数的个数，而且可以使得条件方差的结构更具一般性，。GARCH模型的一般形式是GARCH(p,q)，其中p是自回归项（GARCH项），q是ARCH项，假设标准化残差服从正态分布，那么GARCH-Normal模型可表述如下：

rtxttxtttqp22htt0itqjhtpi1j1t~i..idN(0,1)rt|t1~N(xt,ht)p0,q0,00,i0,j0,ij1i1i1pq （公式2－4）

同ARCH模型类似，对参数进行上述限制也是为了保证估计得到的方差非负和模型的平稳性。与ARCH模型类似，GARCH模型一般也可使用拟极大似然函数方法进行估计，那么GARCH-Normal模型的对数似然函数可以用下式表示：

T1T1T222lnL()ln(2)lntt/t （公式2－5）

22t12t1其中：htt02i1q2itqjhtp

j1p由上式可以看出，GARCH模型与ARCH模型最大的区别在于本期的条件方差除了受到前q期残差平方和的影响外，还会受到前p期条件方差的影响。相比较而言，GARCH模型较ARCH更具一般性。在GARCH模型中，条件方差为过去残差项平方和滞后期条件异方差的线性组合，这不仅使得条件异方差的设定更具弹性，同时也使得模型的参数估计更为简便，因为一个高阶的ARCH模型可由

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一个低阶的GARCH模型来描述，从而达到了简化模型参数的目的。当p=0时，GARCH模型就变为ARCH模型，因此可以将ARCH模型看作是GARCH模型的特例。而当p=q=0时，GARCH模型就恢复成为白噪音(white noise)过程。

而从经济学意义上来看，GARCH模型意味着投资者可以通过观察前p期的预测方差（GARCH）项和前q期中观测到的收益率变动信息（ARCH）来预测本期的方差。如果投资者观测到前期条件方差变大，或者收益率也发生较大变化，那么投资者会预期下期的条件方差也可能变大。GARCH模型的自身滞后期参数

值越大，说明冲击对条件方差的影响需花费更长时间才会消失，波动具有一定的持续性。而误差项系数越大说明波动对市场异动的反应越强烈。一般而言，如果GARH模型的系数相对较大而系数相对较小，则波动倾向于更加尖锐（spiky）。反之，波动具有更长时间记忆性特征。经验研究表明，对于一般的金融时间序列，GARCH(1,1)模型就能够较好的刻画其统计特征。÷

GARCH（1，1）-Normal模型的无条件峰度指标kt为：

E(t4)[1(a11)2]kt33

[var(t)]21(a11)22a12这里需限制GARCH(1,1)模型的参数满足：1(a11)22a120。无条件峰度值大于3意味着GARCH(1,1)-Normal模型的峰度厚度比正态分布更厚，可以更好的刻画金融时间序列的尖峰厚尾特征。对于GARCH模型峰度更深入的讨论可参看Bai, Rusell & Tiao(2004)和Carnero et al(2004)。 2.2.3一元GARCH模型的扩展

对于GARCH模型的扩展主要包括两个方向，第一个方向是将具有厚尾特征的统计分布如t分布、广义误差分布（GED）等引入到模型中，即不再假设标准化残差t服从标准化的一元正态分布而是假设其服从一元标准t分布或者一元标准GED分布。例如假设标准差化残差t,服从自由度为v的一元标准t分布，则有：

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rtxttxtttqp22htt0itijhtji1i1t~i..idt(0,1,v)p0,q0,00,i0,j0,(ij)1i1i1qp （公式2－6）

这里标准化的残差t服从自由度为v，期望值为0，方差为1的标准化t分布，为了更清楚的说明t分布与服从正态分布的差别，我们可以将t改写为：

ttt,t~i.i.dN(0,1),t~p(tv| )其中t服从一元标准正态分布，t服从逆伽玛（Inverse Gamma）分布，即

v/t~2(v)，那么t就服从自由度为v的t分布。t的引入能够更好的刻画金融资产的尖峰厚尾特征。在GARCH-t模型里，金融资产收益率异常值（大的|rt|）的出现即可能是由于波动值t2增加造成的，也有可能是由于大的t所造成。这样模型就更能够更好的拟合金融资产的厚尾分布特征和异常值的分布，同时估计出的GARCH-t模型的波动值序列一般将较GARCH-Normal模型更为平缓，这对波动的估计与预测具有十分重要的意义（Bollerslev, T (1987)， Jacquier,et al(2004)）。

那么，GARCH-t模型的对数似然函数1就可以表示为：

T(v2)(v/2)21T(v1)Tt22lnL()ln()lntln[12] 22[(v1)/2]2t12t1t(v2)为了保证模型的似然函数和二阶矩存在，我们需要限制t分布的自由度大于2。这样，对GARCH-t模型的估计就变成了在v>2的条件下对模型参数的优化问题。

实践中GARCH模型残差分布的另一个常见假设便是广义误差分布（GED）。

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假设ut服从自由度为v、规模参数为Mt的t分布，那么ut的密度函数可表示为：

[(v1)/2]ut2(v1)/21/2f(ut)Mt[1]， 1/2(v)(v/2)Mvt那么E(ut)0,var(ut)Mtv/(v2)，取规模参数Mt(v2)/v，则我们就可以得到均值为0，

方差为1的标准化t变量，其密度函数可表示为：

[(v1)/2]ut2(v1)/21/2f(ut)(v2)[1]。 1/2()(v/2)(v2)

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此时GARCH模型的对数似然函数可表示为：

TT(1/d)31T(3/d)t2d/22L()ln()lnt(2)

2(3/d)(d/2)22t1t(1/d)t1这里的参数d0，当d2时，GED分布就变成了正态分布。当d2时，模型就具有厚尾分布特征。

GARCH模型另一个主要的扩展方向便是考虑杠杆效应。传统的GARCH模型假定金融资产收益率下跌或者上升对波动率的影响是相同的，然而实证研究往往表明，金融资产收益率的波动往往具有杠杆效应，即金融波动对收益率下跌时的反应会比对收益率上升时的反应更加迅速和剧烈。GARCH模型族中包括若干种可以描述这种杠杆效应的模型，主要包括Nelson(1991)提出的指数GARCH(Exponential GARCH,EGARCH)模型和Zakoian et al(1993)提出的门限ARCH（Threshold ARCH，TARCH）模型等。EGARCH(1,1)-Normal模型可表示如下：

rtxttxttt lnt201ln(t21)1|t12|t1 （公式2－7）

t1t1t~i..idN(0,1)杠杆效应的存在性可以系数值进行判断。如果0，就说明存在杠杆效应，下跌时的波动率高于上升时的波动率。此外，从EGARCH模型表达式中可以看出，其是对条件方差的对数而非直接对条件方差本身进行建模，所以本身就暗含着条件方差为正的限制，这样就可以减少传统GARCH模型对参数的限制，从而使得EGARCH模型更具灵活性与简便性。

另一种常用的描述杠杆效应的GARCH模型便是TARCH模型，TARCH(1，1)-Normal模型可表述如下：

rtxttxttt222htt01t11ht1*t1*It100,10,10,(11)1 （公式2－8）

t~i..idN(0,1)其中It1是一个虚拟变量，当t10时，It11，否则It10。这样只要杠杆系数0就存在着杠杆效应。在TARCH模型中，对于利好消息，t21对于波动只有1倍的冲击，而对于利空消息，则有(1)倍的冲击。如果0则说明

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存在着杠杆效应。

我们还可以将厚尾分布与杠杆效应组合在一起形成EGARCH-t模型和TARCH-t模型及EGARCH-GED模型和TARCH-GED模型等，这样就可以同时刻画金融资产收益率的厚尾分布特征和杠杆效应。

EGARCH(1,1)-t模型可表达如下：

rtxttxtttt12t1 22lnt01ln()1||t1t1t1t~i..idt(0,1,v)TARCH(1,1)-t模型可表达如下：

rtxttxttt222htt011ht1*t1t1*It100,10,10,(11)1

t~i..idt(0,1,v)本章附录的附表2-1总结了一元ARCH模型族的主要特点。下面我们分析另一种常见的金融波动模型――一元随机波动模型族。

2.3一元随机波动模型族分析

2.3.1 一元随机波动基本模型分析

GARCH模型由于估计相对较为简便，因此在实证研究中得到了广泛应用，然而其却很难嵌入到传统的经济学和金融学理论中。这是因为：在GARCH模型中隐含着资产收益率和波动过程具有确定性的联系，而这很难从理论上得到严格的证实（Durham(2006,2007)），特别是随着对金融风险管理要求的提高，以及以金融资产波动率基础的金融衍生品的层出不穷，对准确刻画金融资产的波动过程提出了更高的要求。正是在这种背景下，随机波动（SV, stochastic volaility）模型被引入到金融统计和金融计量经济学领域。

随机波动模型最早由Taylor(1982)和Tauchen & Pitt(1983)提出，近年来，随机波动模型的研究与应用已成为金融计量经济学的热点与难点问题之一。与ARCH模型族相比，随机波动模型中包含了两个随机过程来描述金融资产，一个用来描述收益率的变化，一个用来描述波动的变化。也就是说在随机波动模型中，条件方差是一个不可观测的随机过程，这就为描述金融资产的统计特征提供了一个相

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对更加复杂但又更合理的建模思路。

一元随机波动的基本模型SV-Normal模型可表达为：

rtxttxttut2 （公式2－9） htlnt0ht1vvtut~i..idN(0,1),vt~i..idN(0,1),cov(ut,vt)0其中0是一个反映波动平均水平的常数，是波动的持续性参数，反映了过去滞后一期波动对当前波动的影响，为了保证模型平稳我们需要限制||1。随机波动模型假设波动方程中的随机变量vt服从标准化正态分布N(0,1)，且满足

cov(ut,vt)0。而参数v则反映了波动对数值的标准差。

比较公式2－4和公式2－9，我们可以看出随机波动模型与GARCH模型主要的差异在于其波动方程中引入了一个随机变量vt，这样模型就可以更好的刻画金融波动的随机特征，也可以更好的与传统经济学和金融学理论相匹配。但从公式中我们也可以看出，对于SV-Normal模型而言，可观测量为已知的日收益率序列rt，不可观测变量为参数0、和v以及潜在的对数波动序列ht，且ht服从一个一阶的自回归过程，参数的联合分布形式非常复杂。因此随机波动模型的似然函数很难精确地表达，传统的极大似然函数法在这里不再有效，这使得随机波动模型的估计较为困难。在下面小节中我们将专门探讨随机波动模型的估计方法。

下面简要推导一下SV-Normal的矩特征。由于ht0ht1vv，那么ht的无条件期望和方差分别为：

E(ht)muvar(ht)012v

12因为vt服从独立同分布的N(0,1)，所以ht无条件服从均值为mu，方差为

v2v2) 的一元正态分布，即：ht~N(mu,1212那么t2（exp(ht)）服从对数正态(logNormal)分布，其无条件期望

v2。E()expm(u)

2(12)2t

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那么残差项t的无条件期望和方差为：

E(t)E(utt)0v2var(t)var(utt)E(u)exp(mu)22(1)

2t2t对于随机波动模型的峰度值指标，可参看Bai, Russell & Tiao(2004)和Carnero et

al(2004)等。

2.3.2 一元随机波动模型的扩展

与GARCH模型类似，标准的SV模型也可以向两个方向进行扩展：第一个方向是在均值方程中，假设标准化残差ut不再服从一元标准正态分布，而是服从某些具有厚尾特征的统计分布如一元标准t分布等，如Geweke(1994)、Gallante et al(1997)等。通过假设标准化残差ut服从厚尾的一元标准t分布，模型就能更准确的刻画金融资产的尖峰厚尾特征。当然也可以在波动方程中假设随机变量vt服从厚尾的t分布，但为了保证rt的矩存在，一般不采用这种方法（当vt服从t分布时，exp(vt)的矩不存在（Jacquier.et al(2004））。那么SV-t模型可表述如下：

rtxttut2 （公式2－10） htlnt0ht1vvtut~i..idt(0,1,v),vt~i..idN(0,1),cov(ut,vt)0另一个方向则是考虑杠杆效应，也就是说均值方程中的标准化残差ut和波动方程中的标准化残差vt是相关的。按照模型假定的不同可以其可以分为两大类：一类是Harvey A.C, Shephard N（1996）提出的模型（简称SV-HS-Normal模型），其可表达如下：

rtxttut2 （公式2－11） htlnt0ht1vvtu~i..idN(0,1),v~i..idN(0,1),cov(ut,vt1)杠杆效应体现在参数上，当0时存在着杠杆效应。

另一类方程由Jacquier.et al(2004）提出（简称SV-JPR-Normal模型），其表达式为：

rtxttut2 （公式2－12） htlnt0ht1vvtu~i..idN(0,1),v~i..idN(0,1),cov(ut,vt)

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第二章 金融波动模型分析与应用

从这两个模型的表达式来看，其主要区别在于对残差项(ut,vt)相关关系假设的不同。HS模型假设cov(ut,vt1)，而JPE模型假设cov(ut,vt)，这样直接导致的后果是：JPE模型不是鞅差（martingale difference）序列，HS则是鞅差序列2（Jun Yu(2005), Durham(2006)）。从这个意义上说，HS模型较JPE模型更符合有效市场理论。而从两个模型的绩效比较来看， Jun Yu(2005) 利用S&P500指数数据（从1980年1月至1987年12月）和CRSP数据（从1986年1月至1995年12月）研究发现，SV-HS模型绩效优于SV-JPE模型，而Durham(2006)利用S&P500指数数据、DJIA指数数据和NASDAQ指数数据研究时发现，SV-HS模型绩效劣于SV-JPE模型。据笔者所知国内尚缺乏对考虑杠杆效应随机波动模型的比较研究，本文拟实证比较SV-HS模型和SV-JPE模型的绩效。同时，我们可以将厚尾分布和杠杆效应结合在一起，构建基于厚尾t分布假设基础之上的SV-HS-t模型和SV-JPE-t模型。SV-HS-t模型可表述如下：

rtxttut2 (公式2－13) htlnt0ht1vvtut~i..idt(0,1,v),vt~i..idN(0,1),cov(ut,vt1)同理，SV-JPE-t也可表述如下：

rtxttut2 （公式2－14） htlntht1vvtut~i..idt(0,1),vt~i..idN(0,1),cov(ut,vt)2.3.3 马尔可夫转换随机波动模型

尽管一元金融波动模型在刻画一元金融资产的波动特征方面取得了重要的进展，但是在以往的研究中学者一般均假定金融资产的波动是一个连续的单一状态，也就是说假定波动的统计特征在研究样本期内不发生结构性变化。基于这种假设基础之上的模型估计出的金融资产的波动往往具有较高的持续性。Diebold（1986）、Lamoureux & ,Lastrapes (1990)认为这种波动的高持续性可能是因为忽略了在样本期限波动结构发生了某种变化。条件波动的高持续性意味着外界对波动的

2

20lntvvt1这是因为对于HS模型而言，E(Xt1|Xt,t)exp()E(exp())E(ut1|Xt,t)0，而对

22于JPE模型而言，E(Xt1|Xt,t)exp()exp(0lnt22)E(exp(vvt12))E(ut1|Xt,t)

0.5*vexp(0lnt22v22)0，故JPE模型不是鞅差序列。从这个意义上说，HS模型

较JPE模型更符合金融理论。

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第二章 金融波动模型分析与应用

冲击不会很快消失，当前的信息对未来一段时间内的条件波动率仍具有显著的影响。而波动持续性的高低对研究金融资产的波动特征和定价具有十分重要的作用。因此有必要在建模时将波动可能存在的结构性变化纳入考量范围。特别是类似中国大陆这样的具有浓厚的“新兴加转轨”特征的股票市场，由于受到宏观经济运行、政策面、资金面和一些突发事件的影响，其波动起伏往往非常剧烈，其景气状况周期性地在高风险状态和低风险状态之间相互转换，考虑波动的状态转换特征可以更好地刻画中国股市的这中波动特征。

一个很自然的选择便是将马尔可夫转换（Markov Switching）模型和金融波动模型相结合，利用金融波动模型刻画金融资产波动的时变和聚集等特征，利用马尔可夫转换模型刻画金融波动的状态转换特征。马尔可夫转换模型最早由Hamilton（1988）提出，又被称作体制转换（Regime Switching）模型。其基本思路是假设模型参数随从某一无法观测到的状态变量变化而变化，而且该状态变量的变化服从一个一阶的马尔可夫过程。与传统模型相比，这类模型的主要创新之处是在模型中加入了马尔可夫型的概率结构，这样模型参数就具有了随时间和状态变化而变化的特征，从而可以更好地刻画时间序列可能发生的结构性变化。将马尔可夫转换模型和金融波动模型相结合最早可追溯于Cai(1994)和Hamilton & Susmel（1994），他们将马尔可夫转换模型和一元ARCH模型相结合构建了SWARCH模型，其研究均发现加入马尔可夫转换后ARCH模型的持续性有所降低。这是因为马尔可夫转换模型可以有效地将样本期间发生的结构性变化加以提炼，故能有效降低模型中纯ARCH成分的持续性。国内一些学者如蒋祥林、王春峰和吴晓霖（2004）、丁志国、苏治、 杜晓宇（2007）等也利用SWARCH模型对中国金融市场进行了实证研究。但是将马尔可夫转换模型和GARCH模型相结合（MSGARCH）则有可能面临严重的路径依赖问题，Gray(1996) 和Klaassen(2002)提出用滞后方差的条件期望值来代替滞后的波动值，但这有可能会丧失一部分方差的信息。

另一种马尔可夫转换金融波动模型便是将马尔可夫转换模型与随机波动模型相结合构建马尔可夫转换随机波动模型（MSSV），国外这方面的研究包括So,Lam,Li(1998)、Smith(2002)、Kalimipalli（2004）和Hwang(2007)等。但目前国内尚无文献探讨MSSV模型的特征与建模方法，本文拟填补此空白并在国外模型基础上进行适当推广。

MSSV-Normal模型的基本框架是：

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第二章 金融波动模型分析与应用

rtxttut2htlntStht1vvt,其中St1或者2 （公式2-15） ut~i..idN(0,1),vt~i..idN(0,1),cov(ut,vt)0这里的St（St=1或者2）是一个与状态相关的变量，不失一般性，令1a2，

1那么状态1和状态2波动对数值的无条件期望值mu1和mu2分别为：mu1，

12mu2，且满足：mu1mu2。通过上述设定就将波动状态划分为一个低波动

1状态（波动对数值的无条件期望为mu1）和一个高波动状态（波动对数值的无条件期望为mu2），波动按照马尔可夫转换过程在低波动状态和高波动状态之间转换。而马尔可夫转换过程的概率矩阵P可表示为：

p11,1p22P （公式2-16）

1p11,p22其中p11Pr(st11|st1)，p22Pr(st12|st2)。那么则有：

Pr(st11|t)p11*Pr(st1|t)(1p22)*Pr(st2|t) Pr(st12|t)p22*Pr(st2|t)(1p11)*Pr(st1|t)

（公式2－17）

st11|t和)Pr(st12|t)便被称为预测概率（predictive 这其中的Pr(probability），而公式2-17中的Pr(st1|t)和Pr(st2|t)被称为过滤概率（filtered probability），其与预测概率的主要区别就在于所依赖的信息集不同，其计算公式如下：

Pr(Stj|t)Pr(Sj,S1t2t1i|t)

St1Pr(Stj,St1i|t)其中： Pr(Stj,St1i|t1r,t)

f(rt，Stj,St1i|t1)22f(rt|Stj,St1i,t1)Pr(Stj,St1i|t1)St1St11对于起始时刻，我们可以用无条件概率(unconditional probability)进行替代：

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第二章 金融波动模型分析与应用

1p221Pr(S01|0)2p11p22 2Pr(S02|0)1p112p11p22在时刻t1,2,,T不断迭代上述两个步骤直至迭代结果满足收敛标准时就可以得到模型的估计值。这样通过一个马尔可夫转换过程就可以刻画随机波动的状态转换特征。我们也可以将MSSV模型推广到一元t分布下，MSSV-t模型表达式如下：

rtxttut2htlntStht1vvt,其中St1或者2 ut~i..idt(0,1),vt~i..idN(0,1),cov(ut,vt)0与上一节ARCH模型族估计不同的是，本章中随机波动模型的估计采用的均是贝叶斯统计中的MCMC方法。下文将分析贝叶斯统计和MCMC方法。 2.3.4 随机波动模型估计的贝叶斯方法 2.3.4.1 随机波动模型的估计方法综述

随机波动模型在初期的应用范围远没有ARCH模型族宽广，主要原因就在于其似然函数没有公式解析式，经典的极大似然估计方法并不适用于随机波动模型。为此学者们陆续提出了一些替代的估计方法，主要包括广义矩GMM方法（Anderson and Sorensen(1996), Melino and Turnbull(1990)）、有效矩EMM方法（Efficient Moment Methods, Gallant & Tauchen(1997) Ying Gu & Eriz Zivot(2006)）、拟极大似然估计（quasi-maximum likelihood, Harvey, et al,（1994））、模拟极大似然估计方法（simulated maximum likelihood, Danielsson(1994)、Durham（2004,2006,2007））、经验特征函数法(empirical characteristic function, Knight(2002))和贝叶斯MCMC方法（Jacquier，et al.(1994)，Kim & Nelson(1998)）等。而Jacquier et al.(1994) ，Anderson et al,(1999)等的研究均表明：MCMC方法较其它方法效果更佳，相对误差最小，是估计效率最高的方法之一，该结论也被随后的研究陆续证实。这是因为MCMC方法在估计随机波动模型时具有如下优点（Johannes & Polson（2005））：

（1）MCMC方法是建立在条件模拟基础之上的，这样就避免了对目标函数进行优化或者非条件模拟的问题。从实践来看，对于类似SV模型这样似然函数很难精确表达的模型进行估计，MCMC模型的计算速度上要快于传统方法。更为

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第二章 金融波动模型分析与应用

重要的是，MCMC推断是建立在对模型参数和潜在变量的后验分布的精确估计基础之上的，而其它方法往往是建立在近似推断基础之上的，这为我们得到参数的精确估计奠定了良好的基础；

（2）在估计模型参数的同时，MCMC可以很方便的估计潜在的波动率的平滑估计值（smoothed estimated），这是因为MCMC方法在估计模型参数的同时也将潜在变量纳入了参数估计的空间（Jacquier et al,1994），而其它方法往往需要使用其它的过滤准则（filters），这无疑加大了估计的难度；

（3）MCMC方法可以更为方便的评估估计风险和模型风险。估计风险是在估计参数或状态变量是出现的内生不确定性，而模型风险是模型选择和确认时出现的风险，在MCMC框架下这两种风险可以较其它方法更方便的进行评估。

正是基于此，在本文中我们对随机波动模型的估计均是建立在MCMC方法基础之上。在下小节我们将详细介绍随机波动模型估计的MCMC方法与基于此基础之上的DIC准则。

2.3.4.2 随机波动模型估计的MCMC方法与DIC准则

统计学上主要有两大种推断的方法，一种是经典统计推断方法，另一种便是贝叶斯（Bayes）方法，其最早由英国数学家T.Bayes于1763年在《论有关概率问题的求解》中提出。这两种统计推断方法的区别主要体现在两方面：（1）经典统计推断方法视未知参数为真实且固定的值，参数的估计值可以由样本数据构造。我们通常使用极大似然函数估计法，也就是通过最大化目标函数的似然函数值进行估计，并且利用拟合的模型做出统计推断。而贝叶斯方法将参数视为一个随机变量，所有关于参数的推断都是以概率的形式出现，然后利用贝叶斯公式，从先验分布得到后验分布并利用后验分布进行统计推断。该点曾经是经典统计学派和贝叶斯学派争论的主要焦点，但越来越多的经典学派统计学家已开始接受贝叶斯学派的观点，将未知变量看作随机变量；（2）贝叶斯学派认为一个事件的概率可以是人们根据经验对该事件发生可能性做出的个人信念，可以利用先验概率合理地确定先验分布。而经典学派则认为不能轻率地使用先验概率（茆诗松等（1998））。

T贝叶斯学派的基本思路是：假设是模型所需估计的参数， Y{Yt}1是样本

观测值，f()是观测到数据之前关于变量的先验信息，则有：

f(Y,)f(Y|)f() （公式2-20）

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第二章 金融波动模型分析与应用

在观测到Y的数据以后形成的关于的看法则根据的是的后验概率密度：

f(|Y)f(Y,) f(Y)根据全概率公式和公式2-20便可得：f(|Y)f(Y|)f()f(Y|)f()d()

（公式2-21）

上式便被称为贝叶斯定理。这个在给定样本下的条件分布f(|Y)被称为的后验分布，它在样本给定情况下集中了样本与先验分布中关于的一切信息，其比先验分布f()更接近于实际情况，因此使用后验分布f(|Y)可以更好地推断变量的统计性质。

但是，在利用贝叶斯方法进行统计推断时通常需要在高维度的概率分布上计算积分，这往往会遇到较大的计算困难。若使用解析计算或者数值计算方法来求解几乎很难实现，并且估计的精度也难以得到保证。而MCMC（Markov Chain Monte Carlo, 马尔可夫链蒙特卡洛）方法则可以较好的解决这个问题。

MCMC方法是建立在Clifford-Hammersley定理基础之上，该定理认为联合分布可以由参数的完全条件分布所决定。MCMC方法将马尔可夫链和蒙特卡洛积分方法结合在一起，主要特征在于将所希望估计的参数与无法观测到的状态变量设置为随机变量，并假设它们服从某种特定的概率分布。然后利用多次重复的递推抽取样本的方法来构建一长串的马尔可夫链，通过模拟参数与状态变量的样本分布，在大样本条件下将收敛至目标的实际分布。这样，MCMC方法就可以将复杂的联合分布分解为其条件分布的集合，而这些条件分布是低维的并且相对容易抽样，这样就有效解决了高维的积分问题。正是由于MCMC方法的发展和Winbugs软件3的应用，使得原来复杂异常的数值计算问题如今变得相对简单，参数后验分布的模拟也更趋方便，所以贝叶斯统计学派再度得到重视和复兴。

MCMC常见的算法包括吉布斯抽样（Gibbs Sampling）、Metropolis-Hastings算法和这两种方法的综合等。吉布斯抽样是最简单也是最常用的MCMC方法，其要求可以从条件分布的全集中直接抽样。例如给定((0),X(0))，我们可以进行如下抽样：1.抽样

3

(1)~p(|X(0),Y)

Winbugs软件是贝叶斯学派自行开发的一种专门用于Beyes统计推断特别是MCMC估计的统计软件，其可在http://www.mrc-bsu.cam.ac.uk/bugs/下载。

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第二章 金融波动模型分析与应用

2.抽样 X(1)~p(X|(1),Y)

如果很难直接从p(|X,Y)和p(X|,Y)中完全抽样，例如模型中含有p个未知参数时，那我们可以利用Clifford-Hammersley定理按照如下步骤抽样：

1. 抽样 1(1)~p(1|2(0),2(0),,p(0),X(0),Y) 2. 抽样 2(1)~p(2|1(0),3(0),,p(0),X(0),Y) …

p．抽样 p(1)~p(p|1(0),2(0),,p1(0),X(0),Y) p+1. 抽样 X(1)~p(X|1(0),2(0),,p(0),X(0),Y)

如此重复迭代G次，这样就可以产生一个吉布斯样本{(g),X(g)}G如果G 充g1，分大，那么在一定的条件下参数会收敛于其真实分布。一般在实践中，我们会放弃掉一定的样本数m（称为burn-in样本4），然后利用剩下的G－m个样本，就可以对参数的统计性质进行推断。由于吉布斯抽样要求从条件分布的全集中抽样，因此往往需要假设参数服从某些标准的连续分布，如正态分布，t分布，Beta分布、Gamma分布等，或者某些离散分布，如二项（Binomial）分布等。

而当参数具有非线性性质，或者参数的条件分布未知，或者条件分布已知但很难进行抽样时，吉布斯抽样方法往往也存在着一定的困难，此时宜采用Metropolis-Hastings算法。其主要特征在于引入了接受准则(acceptance criterions)来确保算法能够产生正确的条件分布。吉布斯抽样可以看出是Metropolis-Hastings的一个特例，即接受概率始终为1的情况（Johannes and Polson（2005)）。

根据Bayes和MCMC的估计原理，并利用Euler-Maruyama方程，我们可以将随机波动模型重新进行表述。以基于正态分布假设的SV模型为例，SV-Normal模型（公式2－9）、SV-JPE-Normal模型（公式2－11）模型和SV-HS-Normal模型（公式2－12）模型可分别表述如下：

SV-Normal模型：

ht|ht1,0,,v2~N(0ht1,v2)rt|ht,ht1,0,,~N(xt,e)SV-JPE-Normal模型：

4

2vht

放弃掉burn-in样本的主要目的在于确保所抽取的吉布斯样本统计特征与从联合分布

p(,X|Y)中抽取

的样本统计调整足够接近。

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第二章 金融波动模型分析与应用

ht|ht1,0,,v2~N(0ht1,v2) ht1ht22rt|ht,ht1,0,,,~N(xte(ht0ht1),e(1)v2vSV-HS-Normal模型：

ht1|ht,0,,v2~N(0ht,v2) ht1ht22rt|ht1,ht,0,,,~N(xte(ht10ht),e(1)v2v这样表述有利于我们在Winbugs中编程估计。基于一元t分布等厚尾分布的随机波动模型也可按相同方法进行表述5。

随机波动模型估计的另一个难点问题便是各模型绩效比较的准则。对于基于贝叶斯方法的模型选择问题，学者们提出了若干检验准则，其中被公认为的较佳准则是贝叶斯因素（Bayes factor）方法（Kass & Raftery（1995））。然而对于SV模型而言，模型中的未知参数和状态过多，这会导致贝叶斯因素的计算相当困难与复杂，特别是当维数较多与样本数据较长时。对于在模型比较中常用的AIC准则和BIC准则6而言，其对SV模型的估计与比较也不适用。AIC和BIC均需要知道模型中未知参数和状态的个数。然而对于SV模型这样的具有多层模型(hierarchical model)特点的模型，其模型中包含了长度与样本长度相同的未知波动状态，而且些波动状态并不是相互独立的，而是服从一个一阶的马尔可夫过程，因此模型参数的精确个数很难确定。所以，AIC和BIC并不能精确地比较各SV模型的绩效。在评估SV模型绩效方面近年来被广泛使用的方法是DIC准则（Deviance Information Criterion），其由Dempster(1974)首先提出，并由Spiegelhalter, et al(2002)发展成为评估贝叶斯类模型绩效的准则。与AIC和BIC

5

对于一元SV-t模型而言，我们假设标准化的残差ut服从一元标准t分布(0,1,v)，但是在Winbugs中的t

分布程序命令dt(mu,var,v)，其方差与t分布自由度密切相关。因此我们不能直接采用Winbugs中的命令从中抽样。按照前面讨论的一元t分布与一元正态分布的关系，我们可以用一个逆伽玛分布和正态分布的乘积来代替一元t分布，这样进行的MCMC方法抽样结果更加准确可靠。

6

AIC准则和BIC准则是计量经济学中最常用的判断统计模型性质优良与否的指标。假设logL是模型的对

logLT2kT数似然函数值，k是模型参数的个数，t是时间序列长度，那么：AIC2，BIC2logLTklogTT。

从表达式中可以看出，AIC准则和BIC准则都引入了对增加更多参数的惩罚，BIC准则对参数增加的惩罚力度更大。当进行模型绩效比较时，AIC值或者BIC值越小越好。

21

第二章 金融波动模型分析与应用

准则类似，DIC准则由两部分组成，第一部分测量模型的拟合优度，而第二部分则是作为模型复杂程度增加的惩罚系数。用公式可以表达如下：

DICDpDD()2pDDE|y[D()]E|y[2lnf(y|)] （公式2-22） D()lnf(y|),pDDD()这里的代表贝叶斯模型的参数，pD则代表模型有限参数的个数。与AIC值和BIC值类似，DIC值越小说明模型的拟合程度越高。实际上，DIC可以看作

ˆ)2p)/T，是AIC准则的一般化，即AIC(D(这里用极大似然估计得到的参数

值ˆ代替贝叶斯估计得到的的后验估计值。特别的，当先验值的概率分布较为扁平(flat)时，极大似然估计值ˆ和贝叶斯后验估计值是一致统计量，那么此时AIC准则同DIC准则一致（Spiegelhalter，et al,(2002)，Jun Yu et al(2004)）。我们也可以看出DIC准则同BIC准则也有密切的联系。值得关注的是，Winbugs需要使用参数的后验均值计算DIC值，这就需要保证模型迭代结果要达到收敛。关于DIC进一步的研究介绍可参看Spiegelhalter，et al,(2002)和Andreas Berg,et al,(2004)。

2.4一元GARCH模型和一元随机波动模型的实证分析

2.4.1 样本数据

在本小节我将们以上证指数为例实证研究GARCH模型和SV模型。上证指数是上海股市最具代表性的市场指数，其样本包含了A股和B股。由于上海股市发展初期并不规范而且波动相对较为剧烈，因此我们舍弃掉了最初几年的数据，选取1996年1月1日至2006年12月31日上证指数的收盘价，并计算其对数收益率Rt100*(ln(Pt)ln(Pt1))，数据来源于通达信交易软件。上证指数的日对数收益率时序可见图2-1。从图中可以看出，上证指数的波动具有明显的时变和聚集效应特征，而且波动在某些特定时间段相当剧烈。表2-1给出了样本期内收益率的基本统计特征值，在样本期内上证指数收益率的均值大于0，这说明大陆股市目前正处于成长发展期，国民经济的快速增长为股市运行提供了良好的基本面，而且由于股市缺乏做空机制，所以尽管历史上曾经数次出现大的波折，但就总体

22

第二章 金融波动模型分析与应用

而言股市仍出现明显的上升趋势。从偏度指标来看显著小于0，显示指数具有左偏的倾向，这与发达国家市场的实证结果相同。而从峰度指标来看，峰度系数显著高于3，体现出了明显的尖峰厚尾统计特征。而从J-B检验结果7来看，日收益率并不服从正态分布，这从图2-2的收益率分布柱状图中也可以明显看出，上证指数日收益率时间序列体现出明显的尖峰厚尾特征。综合来看，上海股市所表现出的统计特征基本与“新兴加转轨”市场的定位相符，尽管从长期走势来看呈现上升趋势，但波动非常剧烈，特别是在某些特定历史时期。

图2-1 上证指数日收益率时序图 （1996年至2006年） 500Series: SER01Sample 1 3000Observations 2655Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-BeraProbability-10-505 0.059814 0.050939 9.480951-10.44677 1.667167-0.099525 9.221934 4286.949 0.0000004003002001000 图2-2 上证指数日收益率分布的柱状图 7 J-B检验是检验变量是否服从正态分布的常用统计检验方法之一。J-B统计量指标可表述如下： JBT1。在正态分布(S2K2)，其中T为样本长度，S和K分别为偏度和峰度（以正态分布为基准）642原假设下，Jarque & Bera证明上述JB统计量在大样本条件下渐进服从自由度为2的分布。 23 第二章 金融波动模型分析与应用

表2-1 上证指数收益率基本统计特征表 指数 均值 标准差 1.6672 偏度 峰度 JB检验值 4286.9* 上证指数 0.0598 -0.100* 9.222 (0.048) (0.091) 注：1．*代表在5%的水平下显著。

2．括号内数值代表参数的标准差。

接下来考察上证综合指数的自相关结构，通过观测日收益率的自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF），并结合Ljung-Box Q统计量，我们发现上证综合在第3阶、第12阶和第15阶存在着显著的自相关性。自回归系数显著异于0，这说明上证指数的收益率依赖于前期收益率，因此上海股票市场在样本期内尚未达到弱有效8。首先估计如下自回归AR模型：

rt(sh)c0c1*rt3(sh)c2*rt12(sh)c3*rt15(sh)t

用Ljung-Box Q统计量考察经过自回归模型过滤后的残差值，发现残差已经不存在着显著的自相关性，说明用上述模型来刻画收益率的自相关特征是恰当的。这从残差的自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图（图2-3）中也可以清楚的看出。

表2-2 自回归AR模型估计结果

上证指数 C0 0.0534 (0.0322) C1 0.0621* (0.0194) C2 0.0532* (0.0194) C3 0.0622* (0.0622) Q(20)值 23.222* 注：1.*表示在5％的水平下显著；

2.括号内数值代表标准差。

8

按照Fama的有效市场理论，股票市场的效率层次可分为弱有效市场、半强有效市场和强有效市场，其中弱有效市场是指现在的股票市场价格已经充分反映了价格历史收益率数据所包含的一切信息，投资者不可能通过股价的历史信息预测未来股价的变动。

24

第二章 金融波动模型分析与应用

Sample Autocorrelation Function (ACF)0.8Sample Autocorrelation0.60.40.20-0.20246810Lag1214161820

Sample Partial Autocorrelation Function0.8Sample Partial Autocorrelations0.60.40.20-0.20246810Lag1214161820

图2-3上证指数日收益率残差自相关和偏自相关函数图

但是从残差平方的自相关系数图来看，上证指数残差的平方仍然存在着显著的自相关性，其随着滞后阶数的增加而呈现缓慢衰减的趋势。相应的Q统计量也表明残差平方序列存在着显著的自相关性。再从检验ARCH效应的LM检验结果来看，其对应的p值小于0.05，拒绝残差序列不存在ARCH效应的原假设。这说明上证指数收益率存在着显著的ARCH效应，这正是我们需要引入金融波动模型如GARCH模型和SV模型来刻画金融资产波动的原因。

Sample Autocorrelation Function (ACF)0.8Sample Autocorrelation0.60.40.20-0.20246810Lag1214161820

图2-4 上证指数收益率残差平方自相关系数(ACF)图

2.4.2 一元GARCH模型估计结果

25

第二章 金融波动模型分析与应用

由于一般认为GARCH(1,1)模型就可以较好的描述金融资产波动的实际统计特征，因此本文以GARCH(1,1)模型为基准进行估计，各模型波动方程估计结果见表2-3：

表2-3 上证指数一元GARCH(1,1)模型估计结果统计表

模型 GARCH(1,1) 参数 正态 上证指数 EGARCH(1,1) TARCH(1,1) 0 a1 1  0.0616*(0.008) -0.1757*(0.010) 0.0575*(0.007) 分布 0.1283*(0.007) 0.8598*(0.005) 0.2767*(0.013) 0.9671*(0.004) 0.1124*(0.007) 0.8644*(0.005) -4743.6 3.5989 3.6145 0.7462 0.915 -0.0082(0.008) -4730.4 3.5897 3.6075 0.6980 0.964 0.0580 0.000 0.0256*(0.012) -4742.6 3.5989 3.6167 0.5915 0.928 0.0580 0.000 似然函数 AIC BIC LM(3)检验p值 Q(20)检验p值 K-S检验 检验值 0.0527 p值 t分布 0.000 0.0973*(0.022) 0.1275*(0.018) 0.8465*(0.018) 0 a1 1  -0.1595*(0.019) 0.0983*(0.022) 0.2703*(0.029) 0.9571*(0.009) 0.0991*(0.019) 0.8401*(0.018) 4.2351*(0.384) -4597.5 3.4890 3.5068 0.6401 -0.0485*(0.017) 0.0750*(0.029) 4.3041*(0.391) -4585.9 3.4811 3.5011 0.3383 4.2422*(0.381) -4593.8 3.4869 3.5070 0.6855 自由度v 似然函数 AIC BIC LM(3)检验p值 26

第二章 金融波动模型分析与应用

Q(20)检验p值 K-S检验 0.982 0.974 0.0141 0.666 0.991 0.0145 0.6335 检验值 0.0118 p值 0.8536 注：1．*代表在5%的水平下显著。

2．括号内数值代表所估计参数的标准差。

3. 表中K-S检验值是对标准化残差t的拟合优度检验，当t服从一元标准正态分布或者一元标准t分布时，其分布函数服从[0,1]区间上的均匀分布。

765432101996年1月1998年1月2000年1月2002年1月2004年1月2006年1月

图2-5 上证指数条件标准差时序图（GARCH(1,1)-Normal模型）

765432101996年1月1998年1月2000年1月2002年1月2004年1月2006年1月

图2-6 上证指数条件标准差时序图（GARCH(1,1)－t模型）

对各模型标准化残差的ARCH效应检验均发现，LM和F统计量都足够的小，说明模型不再存在着显著的条件异方差性。标准化残差滞后阶的Q统计量也较小，这意味着标准化残差也不再具有显著的序列自相关性。同时对残差平方序列进行自相关性检验也发现其不再存在明显的序列自相关性，这说明各GARCH(1,1)模型较好地刻画了金融资产波动的ARCH效应。

从各GARCH模型的估计结果来看，我们可以发现GARCH模型族具有如下特点：

（1）GARCH(1,1)模型可以较好的描述金融资产收益率的波动随时间变化而变化及波动聚集的统计特征。图2-5和2-6给出了GARCH(1，1)-Normal模型和GARCH(1，1)－t模型估计得到的条件标准差时序图（限于篇幅，其它模型图形

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第二章 金融波动模型分析与应用

略），从中可以看出条件标准差具有随时间变化而变化的动态时变特征。如果我们假定在样本期内金融资产的波动率不变，那么显然会带来较大的模型设定误差，而GARCH模型可以较好的解决这个问题。同时对比上证指数的收益率时间序列图（图2-1）和GARCH模型估计得到的条件标准差时序图，我们也可以发现金融资产的波动具有明显的聚集现象。当收益率在某一样本时间断内波动较大时，这个时间段内的条件标准差也会显著变大。而如果收益率在某一样本时间断内表现较为平稳时，条件标准差也趋向变小。这说明GARCH模型也较好的捕捉到了波动的聚集现象；

（2）上证指数收益率的波动体现出了一定的持续性。以GARCH(1，1)-Normal模型为例，其波动方程系数a1和1分别达到0.1252和0.8633，其合达到了0.9885，体现出了相当强的持续性，其它GARCH（1，1）模型结果也类似。这意味着上海股票市场波动对外部冲击的反应函数是以一个相对较慢的速度递减，外部冲击对上海股票市场波动的影响具有相当大的持续性，波动体现出了较强的长期记忆性。这有可能是没有考虑在样本期内波动状态发生了结构性变化。

（3）GARCH(1,1)-t模型的绩效优于GARCH(1,1)-Normal模型。从表2-3中我们可以看出，无论是从对数似然函数值，还是从AIC指标或者BIC指标来看，GARCH(1,1)-t模型都优于GARCH(1,1)-Norma模型。GARCH(1,1)-t模型估计出的t分布的自由度为4.2463，尾部分布的厚尾特征较强。这意味着使用GARCH(1,1)-t模型可以更好的刻画上证指数尖峰厚尾的统计特征。从标准化残差

t的拟合优度K-S检验结果也可以看出，基于一元正态分布假设的

GARCH(1,1)-Normal模型、EGARCH(1,1)-Normal模型和TARCH(1,1)-Normal模型在5%的显著性水平下均未通过K-S检验，而基于一元t分布假设的各GARCH(1,1)-t各模型的p值均大于0.6，这说明GARCH(1,1)-t模型可以更好地拟合金融资产收益率的分布统计特征。

（4）上证指数的波动体现出了一定的杠杆效应。从表2-3中可以看出，除EGARCH-Normal模型外，TARCH-Normal模型、EGARCH-t模型和TARCH-t模型的杠杆效应参数在5%的显著性水平下都较为显著，体现出了明显的杠杆效应，即上海股市对负冲击的反应大于对正冲击的反应，股市上涨过程较慢而下跌过程相对较快。大陆股市具有明显的杠杆效应，这一方面与大陆证券市场的投资者结构有关。尽管近年来以证券投资基金为代表的机构投资者发展迅速，但散户投资者在证券市场所占比例仍然过高，且部分机构投资者的投资理念与操作“散户化”

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第二章 金融波动模型分析与应用

非常明显。在这种背景下，当股市受到宏观经济或者政策消息面等因素影响下，由于投资者心理不成熟往往会在负面消息出现时出现非理性抛售，从而加剧股市的下跌；另一方面则与大陆证券市场缺乏作空机制有关。由于缺乏作空机制，机构投资者在下跌过程中无法获利，那么其最优的投资策略便是在抛售后在低位买进，因此在下跌过程中机构投资者出现的大量抛售行为会造成下跌过程更加迅速。

综合来看，GARCH(1,1)模型较好地刻画了金融资产收益率的尖峰厚尾、动态时变、波动聚集和杠杆效应等统计特征，同时从AIC、BIC指标和残差拟合优度检验指标来看，基于厚尾分布假设的GARCH(1,1)-t模型较GARCH(1,1)-Normal模型可以更好地拟合金融资产收益率的实际统计特征。

2.4.3 一元随机波动模型估计结果

本文随机波动模型的估计均是在贝叶斯统计专用软件Winbugs中完成的。参考Kim et al(1999)，Chib, Nardarib & Shephard和Jun Yu(2005)等的设定，并结合上证指数收益率的实际统计特征，我们假设随机波动模型的各参数服从如下先验分布：

v2~InverseGamma(2.5,0.025),E(v2)0.167,(v2)0.024*~Beta(20,1.5),E(*)0.93,(*)0.055,*(1)/2

mu~N(0,25),E(mu)0,(mu)5~unif(1,1),v~chisqr(7)I(3,20)其中假设波动对数值的无条件期望mu服从期望值为0，标准差为5的正态分布，对于波动杠杆效应的参数，我们假设其服从(-1,1)上的均匀分布。

表2-4 上证指数一元随机波动模型估计结果

模型 SV 参数 正态 上证指数 SV-HS SV-JPR mu 0.4681*(0.1072) 0.4477*(0.1069) [0.2590,0.6801] [0.2374,0.6593] 0.4705*(0.1109) [0.2473,0.6969] 分布 29

第二章 金融波动模型分析与应用

 0.9302*(0.0153) 0.9319*(0.0133) [0.8971,0.9571] [0.9027,0.9544] 0.9343*(0.0155) [0.8967,0.9565] 0.3538*(0.0400) [0.2911,0.4474] v 0.3545*(0.0387) 0.3582*(0.0318) [0.2816,0.4352] [0.3058,0.4289]  -0.1831*(0.0544) -0.1421*(0.0521) [-0.2856,-0.0740] [-0.2415,-0.0358] logL D -4366.1 8732.2 8448.2 283.9 9016.1 -4313.4 8626.7 8275.7 351.0 8977.7 -4334.5 8669.1 8347.2 321.9 8991.0 0.2675(0.1355) D() pD DIC t分布 mu 0.2508 (0.1450) 0.2631(0.1442) [-0.0365,0.5365] [-0.0046,0.5497] [0.0048,0.5332]  0.9693*(0.0087) 0.9674(0.0078) [0.9527,0.9799] [0.9507,0.9842] 0.9602(0.0097) [0.9394,0.9741] v 0.2088(0.0292) 0.2303(0.0182) 0.2538(0.0237) [0.2206,0.3104] -0.1931(0.0558) [0.1550,0.2682] [0.1946,0.2613]  -0.2103(0.0552) [-0.2991,-0.0782] [-0.3006,-0.0772] 自由度v 7.2710(1.2800) 7.3311(1.4340) 7.4030(1.6030) [5.3460.10.2100] [6.1238,11.4000] [6.0360,11.7710] logL D -4271.1 -4229.8 -4235.3 8542.3 8101.1 8459.7 7998.1 8470.2 7996.9 D()

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第二章 金融波动模型分析与应用

pD 441.2 8983.5 461.6 8921.3 473.5 8943.5 DIC 注： 圆括号内数值代表所估计参数的标准差，方括号内数值为估计参数的95％[2.5%－97.5%]置信区

间。

表2-5 上证指数MSSV模型估计结果

模型 参数 MSSV-Normal 0.0198(0.0143) [-0.0087,0.0476] MSSV-t -0.0279(0.0142) [-0.0552,0.0031] 0.1938(0.1028) [0.0159,0.4032] 0.9477(0.0156) [0.9010,0.9696] 0.1693(0.0382) [0.9505,0.9848] 7.0281(1.0650) [5.4230,9.4660] 0.9504(0.0278) [0.8801,0.9892] 0.8228(0.0976) [0.6494,0.9747] -4258.7 8507.3 8052.1 455.2 8962.5 1 2  0.2480(0.0641) [0.0046,0.3872] 0.8290[0.0357] [0.7496,0.8862] 0.4560(0.0462) [0.3700,0.5462] 0.9959(0.0022) [0.9905,0.9990] 0.9879(0.0058) [0.9740,0.9964] -4327.2 8654.3 8310.3 344.0 8998.3 v 自由度v p11 p22 logL D D () pD DIC 注： 圆括号内数值代表所估计参数的标准差，方括号内数值为估计参数的95％[2.5%－97.5%]置信区

间。

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第二章 金融波动模型分析与应用

mu sample: 40000 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 15.0 10.0 5.0 0.0tau sample: 40000 0.2 0.3 0.4 0.5

phi sample: 40000 30.0 20.0 10.0 0.0 0.8 0.85 0.9 0.95

2-7 SV-Normal模型估计参数后验概率图

df sample: 40000 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 5.0 10.0 15.0 3.0 2.0 1.0 0.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0mu sample: 40000 tau sample: 40000 15.0 10.0 5.0 0.0 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 60.0 40.0 20.0 0.0 0.92 0.94 0.96 0.98phi sample: 40000 图2-8 SV-t模型估计参数的后验概率图

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第二章 金融波动模型分析与应用

765432101996年1月1998年1月2000年1月2002年1月2004年1月2006年1月

图2-9 SV-t模型估计得到的条件标准差时序图

对于每个随机波动模型，我们总共模拟50000次，并舍弃掉前10000次作为burn in样本，表2-4给出了各随机波动模型的估计结果，从中可以看出随机波动模型具有如下特点：

（1）MCMC方法较好的估计了随机波动模型参数。图2-7和图2-8分别给出了SV-Normal模型和SV-t模型估计得到的参数后验概率图，从图中可以看出，各模型参数的后验分布非常接近于正态分布，这意味着模型的参数具有非常良好的统计性质，说明MCMC方法可以较好地估计SV-Normal模型。其它随机波动模型也有相同的结论。

（2）随机波动模型绩效要略好于GARCH模型。图2-9给出了SV-t模型估计得到的条件标准差时序图，从中可以看出随机波动模型估计得到的条件标准差也具有动态时变的统计特征，其趋势和GARCH模型基本相同，但随机波动模型估计的绩效要略好于GARCH模型。对于GARCH模型我们一般使用极大似然估计法进行估计，而在本文中我们使用MCMC方法对随机波动模型进行估计。根据DIC准则提出者Spiegelhalter, Carlin, Linde(2002)的研究，AIC准则是DIC准则的一个特例，当先验值的概率分布较为扁平时，极大似然估计值ˆ和贝叶斯后验估计值是一致

ˆ)2p)/T。从表2－4中可统计量，那么此时AIC同DIC结果一致(AIC(D()

以看出，无论是基于正态分布还是基于t分布，无论考虑杠杆效应与否，随机波动模型的的对数似然函数均值都高于GARCH(1,1)模型，而DIC值则低于GARCH(1,1)模型的AIC*T值。那么根据DIC准则，可以认为一元随机波动模型的绩效较一元GARCH(1,1)模型更佳。同时我们也可以发现，各SV-t模型估计得到的自由度参数v都高于各GARCH(1,1)-t模型估计得到的自由度参数，例如SV-JPR-t模型估计

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第二章 金融波动模型分析与应用

得到自由度参数v为7.2710。这意味着SV-t模型中标准化残差ut的厚尾程度薄于GARCH(1,1)-t模型中标准化残差t，ut的尾部较t更薄。这可能是因为SV-t模型波动方程中随机变量vt的存在使得SV模型较GARCH模型更具弹性，这样SV-t模型就能够更好地拟合金融资产较高波动值的冲击，从而使得标准化残差ut的尾部分布较t更薄9。

(3)上证指数波动体现出了较强的持续性。在随机波动模型中，波动参数的持续性主要体现在AR（1）项参数上，从各模型估计结果来看，的数值均在0.93以上，体现出了相当强的持续性。对比GARCH模型和随机波动模型，我们可以发现随机波动模型的持续性较GARCH模型略弱。同时也可以从随机波动模型估计得到的波动时序图中可以看出，其体现出了一定的周期性，因此我们也可以考虑使用包含了马尔可夫状态转移的模型来刻画波动的这种周期性和状态相依特征，这有望降低波动的持续性。

（4）基于t分布假设的随机波动模型绩效优于基于正态分布假设的模型。从表2－4中可以看出，从DIC指标来看，基于t分布假设的随机波动模型绩效都优于基于正态分布假设的模型。例如对于SV-t模型而言，其DIC值为8981.1，低于SV-Normal模型的DIC值9016.1。分析DIC值的结构，我们可以发现SV-t模型的对数似然函数均值logL高于SV-Normal模型，而D和D()均低于SV-Normal模型，说明与GARCH模型类似，基于厚尾分布的随机波动模型更适合于描述上证指数收益率的尖峰厚尾特征。但SV-t模型的pD值也远高于SV-Normal模型的pD值，说明SV-t模型中的未知参数数目也远多于SV-Normal模型。而从反映条件方差对数值的波动指标v来看，SV-t模型估计得到的v值更低， 这说明SV-t模型估计得到的波动的噪音比SV-Normal更小，这更有利于对波动值的预测。刘凤芹（2005）、

（5）考虑杠杆效应的随机波动模型绩效更加。从表2-4中可以看出，无论是假设标准化残差ut服从一元标准正态分布还是一元标准t分布，考虑杠杆效应的SV-HS模型和SV-JPR模型的DIC值都低于不考虑杠杆效应的随机波动模型，而从杠杆效应参数来看，各模型参数的均值和95％置信范围都小于0，说明均值方

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感谢加拿大Montréal大学HEC商学院Jacquier, E.教授在此问题上与作者多次有益的讨论。

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第二章 金融波动模型分析与应用

程的标准化残差ut和波动方程的标准化残差vt存在着显著的负相关性，上海股市的确存在着明显的杠杆效应。再比较SV-HS模型和SV-JPR模型，无论是假设标准化残差ut服从一元标准正态分布还是一元标准t分布，SV-HS模型DIC值都低于SV-JPR模型，这说明SV-HS模型更适合于描述上证指数波动的杠杆效应特征。同时我们也可以发现，SV-HS模型的杠杆效应参数均略高于SV-JPR模型，幅度大约在10％左右，其杠杆效应更强。

（6）上证指数的波动具有明显的状态转换特征。从各金融波动模型（图2-5、

图2-6和图2-9）估计得到的条件标准差时序图中可以看出，上海股市的波动具有明显的周期特征和状态转换特征。在样本早期，上海股市的波动非常高，在1996年12月政府干预股市前后，股市波动值达到峰值，其后从整体看波动水平逐年降低。这说明随着市场规模的增加，特别是以宝钢股份、中国石化等代表的大型蓝筹股的上市和以证券投资基金为代表的机构投资者的发展壮大，上海股市的总体风险有所降低，异常波动出现的频率有所减少。但是上海股市波动的周期性特征仍然非常明显，在证券市场一些重要转折点，上海股市的波动值均出现了明显异动，并且这种高波动状态均持续了相当长的一段时间，这进一步说明了上海股市的波动具有明显的状态相依的特征。

该结论也可从表2-5中MSSV各模型估计结果中得到验证。从DIC指标来看，MSSV-Normal模型和MSSV-t模型的DIC值均显著低于对应的不考虑波动状态转换特征的SV模型，这说明上海股市的波动的确具有明显的状态转换特征，而MSSV模型可以较好地刻画波动的这种状态转换。以MSSV-Normal模型为例，其DIC值为8998.3，低于SV-Normal模型。从低波动状态和高波动状态估计结果来看，波动方程与状态st有关的截矩项1和2估计值分别为0.0198和0.2480，，高波动状态显著高于低波动状态，而从状态转换概率参数来看，p11和p22的估计值分别为0.9959和0.9879，其波动在低波动状态和高波动状态的平均持续时间（

11和）分别达到了243.90天和82.64天，体现出了较强的持续性，1p111p22并且低波动状态持续的周期远高于高波动状态，这说明上海股市在大部分时间内运行均较为平稳，只有在某些时间段内因为某些特定事件和因素才导致股市的波动值较高，这符合上海股市的波动特征。再从波动持续性参数结果来看，其值0.8290也比SV-Normal模型估计值0.9302出现了一定幅度的下降。图2-10和图2-11分别给出了MSSV-Normal模型估计波动处在低波动状态和高波动状态的概

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第二章 金融波动模型分析与应用

率，从中可以看出上海股市的波动的确体现出了一定的状态转换和周期性变化特征，而MSSV模型可以较好地刻画了这种特征，这为我们分析和预测股市景气状况和波动状况提供了一定的统计依据。

1.000.750.500.250.001月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1996年1997年1998年1999年2000年2001年2002年2003年2004年2005年2006年1月

图2-10 MSSV-Normal模型估计波动处在低波动状态的概率

Pr(St2|T)1.000.750.500.250.001996年1月1997年1月1998年1月1999年1月2000年1月2001年1月2002年1月2003年1月2004年1月2005年1月2006年1月

图2-11 MSSV-Normal模型估计波动处在高波动状态的概率

2.4.4 本小节总结

在本小节中我们利用上证指数数据实证研究与比较了一元GARCH模型和一元随机波动模型的绩效。从实证结果来看，一元GARCH(1,1)模型和一元随机波动模型较好的描述了金融资产波动的动态时变、尖峰厚尾、波动聚集、杠杆效应和状态转换等统计特征，这为我们深入了解与分析金融资产的波动特征进而为Copula函数建模奠定了扎实的基础。从一元随机波动模型和一元GARCH绩效来看，随机波动模型略佳于GARCH模型。但值得指出的是，随机波动模型的估计较为繁琐复杂，以一元SV-t模型为例，上证指数样本进行50000次模拟所需时间大约为60小时左右，这限制了随机波动模型在实践中的应用。在具体应用中，应根据金融资产波动的实际统计特征和研究目的选择适合的金融波动模型进行建模分析。

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第二章 金融波动模型分析与应用

2.5 多元金融波动模型分析

2.5.1 多元金融波动模型建模框架

金融市场和金融资产之间往往存在着相互影响和波动的相关关系。同时，为

了分散与化解系统风险，也需要对多个金融资产进行组合，实现风险对冲或套利，这就需要对多维金融资产的波动特征和相依结构有更深入、全面和准确的了解，因此可以将前面所研究的一元金融波动模型（含一元ARCH模型族和一元随机波动模型族）推广到多变量情形――多元金融波动模型。与一元GARCH模型和一元随机波动模型类似，按照对波动运动过程假设的不同，我们可以将多元金融波动模型分为多元GARCH模型和多元随机波动模型。

多元金融波动模型的一般框架是：假设有维度为k长度为T的时间序列{rt}，其满足如下公式：

rtxttxtHt1/2etE(et|t1)0,var(et|t1)Ik （公式2－23）

t1代表在

其中rt代表t时期金融资产的收益率， t-1时刻的信息集，xt代表

解释收益率变量的线性组合， t是模型的残差项，Ht1/2是k×k维的方差－－协

211,2tt2方差矩阵，以二阶收益率矩阵为例，其可以表述为：Ht，其中21t1,2t2t是第一个时间序列在t时刻的方差，1,2t是t时刻第一个和第二个时间序列的协

2方差，2t是第二个时间序列在t时刻的方差。et则是t时刻被标准化后的残差，

即etHt1/2(rtxt)Ht1/2t，E(et|t1)0，E(etet'|t1)Ik。通常我们假设et服从不相关的多元标准正态分布（或多元t分布），即：

E(et||t1)0，E(etet'||t1)Ik，et~N(0,Ik)或者et~t(0,Ik,v)

那么rt的条件方差var(rt|t1)Ht1/2var(et)(Ht1/2)'Ht。

由统计分布知识可知，如果et服从不相关的多元标准正态分布（或多元t分布）， 那么rt也服从方差－－协方差矩阵为H的多元正态分布（或者多元t分布），比如假设et服从不相关的多元标准正态分布，那么可以知道rt服从如下的多元正态分布：rt～N（xt,Ht）。同理，如果假设et服从不相关的多元t分布，那么

37

第二章 金融波动模型分析与应用

多元GARCH模型就假设rt服从如下的多元t分布：rt~t(xt,Ht,v)。

与一元GARCH模型和一元随机波动模型类似，按照对波动运动过程假设的不同，我们可以将多元金融波动模型分为多元GARCH模型和多元随机波动模型。根据Bauwens, Laurent & Rombouts (2006)等的概括，多元GARCH模型可以大致分为如下几类：第一类是Bollerslev(1986)的单变量GARCH模型的多元直接推广，这类模型包括VEC多元GARCH模型、BEKK多元GARCH模型和因素多元GARCH模型等；第二类是单变量GARCH模型的线性组合，这类模型包括正交（orthogonal）多元GARCH模型和隐含因素(latent factor)多元GARCH模型等；第三类模型则是单变量模型的非线性组合，这类模型主要是指动态协方差模型，比如DCC多元GARCH模型和VC多元GARCH模型等。在实践中使用最广泛的多元GARCH模型中主要包括BEKK多元GARCH模型、DCC多元GARCH模型和VC多元GARCH模型等，

各种多元GARCH模型的主要差别就在于对Ht服从的变化过程假设的不同。以二维情况为例，BEKK多元GARCH模型（Engle & Kroner(1995)）对方差――协方差矩阵的设定如下：

c1c2c1Ht0c3c20a11ac321 11212a121,1,t12,t1a11a12t1'2a221,t12,t12,t1a21a22

12h11,t1h12,t11112'22h12,t1h22,t12122DCC多元GARCH模型（Engle & Sheppard(2002)）对方差――协方差矩阵的设定如下：

1tHtDtRtDt0012ttt1t010 2tRtdiag(Qt)1Qdiagt(Qt)1 Qt(1ab)Qat-1t-1'bQt-1

VC多元GARCH模型（Tse &Tsui（2002））对方差――协方差矩阵的设定如下：

HtDtRtDt1t0012ttt1t010 2t 38

第二章 金融波动模型分析与应用

Rt(1ab)Ra*Rt1b*t1

ij,t1l1Ml1Mi,thj,thM, 1ijk

(i2,tl)(2j,tl)l1关于这几种模型更详细的介绍可参看本文第五章。第五章将这几种传统的多

元GARCH与Copula函数相结合构建了新的多元金融波动模型。

由于多元随机波动模型估计更为复杂且耗时，因此在实践中较少被使用。Asai、Mcaleer &Yu(2006)、Loddo & Sun(2006)研究与比较了多元随机波动模型的特点及其贝叶斯估计方法。本文对此不再赘述。

2.5.2 传统多元金融波动模型的缺陷

尽管多元金融波动模型的研究近年来取得了一定的进展，但与一元金融波动

模型相比，多元金融波动模型建模仍有待继续拓展。究其原因，主要是因为传统多元金融波动模型面临了两个严重的难题：

（1）随着金融资产维数的增加，传统多元金融波动模型有可能面临严重的“维数灾难”问题，所需估计的模型参数往往会以几何倍数增加，模型估计异常复杂和费时。

（2）传统多元金融波动模型通常假设标准化残差et服从不相关的多元标准正态分布（或多元t分布），那么rt也服从方差――协方差矩阵为Ht的多元正态分布（或者多元t分布）。但实证研究往往表明标准化残差et的分布并不符合多元正态和多元t分布假设，这也就意味着建立在其基础之上的多元GARCH模型可能存在着较大的模型设定误差，而这种误差对于精度要求较高的金融风险管理和金融资产定价可能会带来较大的风险：

①在多元正态分布假设下，标准化残差et的不相关与独立等价。也就意味着et之间是相互独立的。但是变量之间的线性不相关（uncorrelated）并不意味着变量之间就是独立的（independent），其可能具有非线性的相依关系（dependent）； ②多元正态分布假设不仅要求标准化残差et服从相关系数矩阵为单位矩阵的

39

第二章 金融波动模型分析与应用

正态Copula函数10，而且要求et的各边缘分布也须服从一元标准正态分布。这实际上意味着rt的各边缘分布也须服从一元正态分布，而本章前面的研究已表明：基于一元正态分布假设的一元金融波动模型对各边缘分布的尖峰厚尾特征的刻画能力是较弱的；

③多元t分布假设不仅要求标准化残差et服从相关系数矩阵为单位矩阵、自由度为v的t Copula函数，而且要求et的各边缘分布也须服从自由度为v的一元标准t分布。这实际上意味着rt的各边缘分布也须服从自由度为v的一元t分布。尽管一般认为一元t分布可以较好地刻画金融资产边缘分布的尖峰厚尾统计特征，但是由于金融资产的尖峰厚尾程度可能存在着一定的差异，因此要求各金融资产边缘的一元t分布的自由度v完全相同并不一定符合其实际统计特征，这无疑极大限制了传统多元金融波动模型的应用。

④多元金融资产的相依结构即有可能是薄尾相依的，也有可能是厚尾相依的，即有可能是对称分布的，也有可能是非对称分布的，即有可能只具备线性相关关系，也有可能具有非线性相依的特征。而多元正态分布和多元t分布在刻画多元变量的相依结构方面仍存在着一定的缺陷。在相关系数1时，多元正态分布和正态Copula函数的尾部相依指标为0，这意味着多元正态分布和正态Copula函数无法刻画多元金融资产的厚尾相依特征。而多元t分布和t Copula函数（1）的尾部相依指标尽管不为0，但是其上尾相依指标和下尾相依指标相等，同时多元t分布假设多元变量的相依结构也须服从自由度为v的t Copula函数，尽管金融资产的边缘分布往往具有厚尾特征，但其相依结构则未必具有厚尾相依特征，因此该假定有可能会影响对金融资产相依结构强度的分析。

“维数灾难”问题及多元正态分布和多元t分布假设的上述缺陷极大阻碍了多元金融波动模型的发展。在本文，作者尝试将金融波动模型与Copula函数相结合构建新的多元金融波动模型以更好地刻画多元金融资产的波动特征。本文总结了两种结合金融波动模型和Copula函数联合建模的方法，第一种是结合一元金融波动模型和Copula函数构建多元金融波动模型，这种建模方法的主要思路是：首先使用一元金融波动模型对各金融时间序列的边缘分布进行建模，然后再选择适当的Copula函数参数，以更好的描述边缘分布之间的相关结构。本文第四章的模型就是基于此种建模思路基础之上的，并探讨了不同的Copula函数建模方式――静态、动态和马尔可夫转换Copula函数的绩效。第二种则是结合传统的多元金融波

10

关于Copula函数的定义和特征可参见第三章。

40

第二章 金融波动模型分析与应用

动模型与Copula函数构建多元金融波动模型，本文的第五章讨论了结合传统多元GARCH模型（SBEKK、DCC和VC多元GARCH模型）与Copula函数的建模方法。上述两种金融波动模型和Copula函数联合建模的思路对于丰富与完善多元金融波动模型、更好地拟合金融资产的波动和相依特征具有一定的积极意义。

2.6 本章小结

为了更完整的构建基于金融波动模型的Copula函数建模框架，本文系统总结和比较了各金融波动模型的建模方法和特点。主要创新点包括：①目前国内对于一元金融波动模型的研究主要集中于对ARCH模型族的研究，对于另一类金融波动模型－－随机波动模型的研究则相对较少，更鲜有文献关注具有厚尾分布特征（SV-t模型）和杠杆效应（SV-JPE和SV-HS模型）的随机波动模型。本文弥补了国内研究在此方面的遗漏，并利用MCMC方法估计了各类随机波动模型；②利用上海股市数据对一元GARCH模型和一元随机波动模型进行了实证研究，均发现：考虑厚尾效应和杠杆效应的金融波动更适合于描述上海股市的波动特征；③估计了考虑状态转换特征马尔可夫转换随机波动模型（MSSV－Normal模型和MSSV-t模型），并据此分析了上海股市的波动转换现象和周期特征。④全面总结了传统的多元金融波动模型的建模框架和缺陷,这为第五章联合传统多元GARCH模型和Copula函数建模奠定了基础。

41

第二章 金融波动模型分析与应用

本章附录 本章所研究金融波动模型总结

附表2-1 本章所研究的一元ARCH模型总结 均值方程：rtxttxttt 波动方程如下：

ARCH(1)-Normal htt20a1t21, t~i..idN(0.1) GARCH(1,1)-Normal htt201t211ht1， t~i..idN(0.1) GARCH(1,1)-t htt20a1t211ht1， t~i..idt(0.1,v) EGARCH-Normal lnt201ln(t21)1|t12t1|，t~i..idN(0.1) t1t1TARCH-Normal htt201t211ht1*t21*It1， t~i..idN(0.1) EGARCH-t lnt201ln(t21)1|t12t1|, t~i..idt(0.1,v) t1t1 42

第二章 金融波动模型分析与应用

TARCH-t htt201t211ht1*t21*It1, t~i..idt(0.1,v)

附表2-2 本章所研究的一元随机波动模型总结 均值方程：rtxttxttut

波动方程如下： 其中vt~i..idN(0,1)

SV-Normal htlnt20ht1vv ut~i..idN(0,1) , cov(ut,vt)0 SV-HS-Norma htlnt20ht1vv ut~i..idN(0,1), cov(ut,vt1) SV-JPE-Normal htlnt20ht1vv ut~i..idN(0,1), cov(ut,vt) SV-t htlnt20ht1vv ut~i..idt(0,1), cov(ut,vt)0 SV-HS-t htlnt20ht1vv,ut~i..idt(0,1), cov(ut,vt1) SV-JPE-t htlnt20ht1vv,ut~i..idt(0,1), cov(ut,vt) MSSV-Normal htlnt2Stht1vvt,St1或2,ut~i..idN(0,1), cov(ut,vt)0 43

第二章 金融波动模型分析与应用

MSSV-t htlnt2Stht1vvt,St1或2,ut~i..idt(0,1),cov(ut,vt)0

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