高中数学必修4三角函数综合测试题及答案详解

必修4三角函数综合测试题及答案详解

一、选择题

1．下列说法中，正确的是( ) A．第二象限的角是钝角

B．第三象限的角必大于第二象限的角 C．－831°是第二象限角

D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 aπ

2．若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan6的值为( ) 3

A．0 B.3 C．1 D.3 θ

3．若|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则2的终边在( ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或x轴上 D．第二、四象限或x轴上

4．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么( )

π

A．T＝2，θ＝2 B．T＝1，θ＝π π

C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝2 3π

5．若sin2－x＝－2，且π4

A.3π 5C.3π

7B.6π 11D.6π

6．已知a是实数，而函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( )

1

适合北师大版，人教版等

7．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y＝π

sinx－6的图象，则φ＝( ) 

πA.6 7πC.6

5πB.6 11πD.6 2sinθ－cosθ

8．若tanθ＝2，则的值为( )

sinθ＋2cosθA．0 3C.4 9．函数f(x)＝A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

10．函数f(x)＝x－cosx在(0，＋∞)内( ) A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点

11．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg

2

B．1 5D.4

tanx

的奇偶性是( )

1＋cosx

1

＝n，则lgsinA的值是( )

1－cosA

适合北师大版，人教版等

1

A．m＋n 11m＋C.2 n

B．m－n 1

D.2(m－n)

π

12．函数f(x)＝3sin2x－3的图象为C，

11

①图象C关于直线x＝12π对称； π5π②函数f(x)在区间－12，12内是增函数；



π

③由y＝3sin2x的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C，其中正确命题的个数是( )

A．0 C．2

B．1 D．3

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) π1π

13．已知sinα＋2＝3，α∈－2，0，则tanα＝________.



14．函数y＝3cosx(0≤x≤π)的图象与直线y＝－3及y轴围成的图形的面积为________．

15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.

16．给出下列命题：

2π①函数y＝cos3x＋2是奇函数；

②存在实数x，使sinx＋cosx＝2；

③若α，β是第一象限角且α<β，则tanα④x＝8是函数y＝sin2x＋4的一条对称轴；



ππ

⑤函数y＝sin2x＋3的图象关于点12，0成中心对称．

其中正确命题的序号为__________．

3

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三、解答题

17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， 求

sinπ－α＋5cos2π－α

的值．

3π

2sin2－α－sin－α



2

18．(12分)在△ABC中，sinA＋cosA＝2，求tanA的值．

π3

19．(12分)已知f(x)＝sin2x＋6＋2，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调减区间；

(3)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样变换得到？

4

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π

20．(12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点P12，0，图象

π

与P点最近的一个最高点坐标为3，5.



(1)求函数解析式；

(2)求函数的最大值，并写出相应的x的值； (3)求使y≤0时，x的取值范围．

π33π

21．(12分)已知cos2－α＝2cos2π＋β，3sin2－α

π

＝－2sin2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值．



5

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ππ22．(12分)已知函数f(x)＝x＋2xtanθ－1，x∈[－1，3]，其中θ∈－2，2.



2

π

(1)当θ＝－6时，求函数的最大值和最小值；

(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．

必修4三角函数综合测试题答案

一、选择题

1． D；2． D；3． D；4． A；5． B 6． D；7． D；8． C；9． A；10． B 11． D；12． C 二、填空题

3

13． －22；14． 3π；15． 2；16． ①④ 三、解答题

17．解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，

∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．

6

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∴sinα＝－2cosα. 可知cosα≠0. ∴原式＝

－2cosα＋sinα－2cosα＋5cosα－2cosα－2cosα

3＝－4. －4cosα3cosα

sinα＋5cosα

＝＝

18．解 ∵sinA＋cosA＝2

，① 2

1

两边平方，得2sinAcosA＝－2， π

从而知cosA<0，∴∠A∈2，π.

∴sinA－cosA＝ ＝

sinA＋cosA2－4sinAcosA

16

＋1＝22.②

6＋2－6＋2由①②，得sinA＝4，cosA＝，

4sinA

∴tanA＝cosA＝－2－3. 2π

19． 解 (1)T＝2＝π.

ππ3π

(2)由2kπ＋2≤2x＋6≤2kπ＋2，k∈Z，

π2π

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.

63所以所求的单调减区间为 π2π

kπ＋6，kπ＋3(k∈Z)． 

π3

(3)把y＝sin2x的图象上所有点向左平移12个单位，再向上平移2个单位，即得函 7

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π3

数f(x)＝sin2x＋6＋2的图象．



Tπππ

20． 解 (1)由题意知4＝3－12＝4，∴T＝π.

2πππ∴ω＝T＝2，由ω·＋φ＝0，得φ＝－

126，又A＝5， π

∴y＝5sin2x－6.



ππ

(2)函数的最大值为5，此时2x－6＝2kπ＋2(k∈Z)．

π

∴x＝kπ＋3(k∈Z)．

ππ

(3)∵5sin2x－6≤0，∴2kπ－π≤2x－6≤2kπ(k∈Z)．

5ππ

∴kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z)．

π3

21． 解 cos2－α＝2cos2π＋β，即sinα＝2sinβ①



3π

3sin2π－α＝－2sin2＋β，即3cosα＝2cosβ②

①2＋②2得，2＝sin2α＋3cos2α.

12

又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝2.∴cosα＝±2. π3

又∵α∈(0，π)，∴α＝4，或α＝4π.

π233

(1)当α＝4时，cosα＝2，cosβ＝cosα＝2，

2π

又β∈(0，π)，∴β＝6. 3π2

(2)当α＝4时，cosα＝－2， cosβ＝

33cosα＝－2， 2

8

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5πππ3π5π

又β∈(0，π)，∴β＝6. 综上，α＝4，β＝6，或α＝4，β＝6. π

22． 解 (1)当θ＝－6时， 2334

f(x)＝x2－3x－1＝x－2－3. 3

34

∵x∈[－1，3]，∴当x＝3时，f(x)的最小值为－3， 23

当x＝－1时，f(x)的最大值为3. (2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数．它的图象的对称轴为x＝－tanθ.

∵y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数，

∴－tanθ≤－1，或－tanθ≥3，即tanθ≥1，或tanθ≤－3.

ππππππ

∵θ∈－2，2，∴θ的取值范围是－2，－3∪4，2.



9