数学分析有答案的套题

判断题：

11H,n1,2,n2n为开区间集,则H是(0, 1 )的开复盖. 1. 1. 设

2. 2. 有限点集没有聚点.

3. 3. 设S为 闭区间 a,b, 若xS,则

x必为S的聚点.

4. 4. 若n存在, 则点集an只有一个聚点.

5. 5. 非空有界点集必有聚点.

6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.

7. 7. 如果闭区间列[an,bn]满足条件 [an,bn][an1,bn1],n1,2,, 则闭

区间套定理成立. 8. 8. 若f(x)在[a,b]上一致连续, 则f(x)在[a,b]上连续. 9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.

10. 10. 设f(x)为R上连续的周期函数, 则f(x)在R上有最大值与最小值.

答案: √√√√×××√√√ 证明题

1. 1. 若A与B是两个非空数集,且xA,yB,有 xy, 则supAinfB. 2. 证明: 若函数f(x)在(a,b)单调增加, 且x(a,b), 有f(x)M(其中M是常

limanlimf(x)c数), 则 cM, 使 xb.

3. 证明: 若E是非空有上界数集, 设 supEa,且 aE, 则 存在数列

xnaxnE,xnxn1,nN, 有 limn.

4. 证明: 函数f(x)在开区间(a,b)一致连续函数f(x)在开区间(a,b)连续, 且

f(a0)与f(b0)都存在.

5.设xn为单调数列,证明: 若xn存在聚点,则必是唯一的, 且为xn的确界. 6. 证明:

f(x)sinxx在0,上一致连续.

7. 证明: xn为有界数列的充要条件是xn的任一子列都存在其收敛子列.

f(xn)A, 使 limn 8. 设f(x)在a,b上连续, 又有xna,b. 证明: 存在

x0a,b, 使得 f(x0)A.

答案

A1.证明: 设supAa,infBb. 用反证法. 假设 supiBnf 即 ba,有

abababbaasupA,x0A,x0;222, 一方面, 则存在 另一

ababbinfB,y0B,y02 则2. 于是, x0A,y0B有方面,

aby0x02, 与已知条件矛盾, 即 supAinfB.

2. 证明: 已知数集

f(x)x(a,b)有上界, 则其存在上确界, 设

supf(x)x(a,b)cM

x; b或 x:x0xb,

由上确界的定义, 0,x0(a,b), 使得 cf(x0)c,

x:b00, bxlimfx()c有 cf(x0)f(x)c 或 f(x)c. 即 xb.

3. 证明: 已知 supEa, 由确界定义,

11,x1E, 有 a1x1a

2min,ax10,x2E3min,ax20,x3E1312, 有 x1x2 , 并且a2x2a , 有 x2x3, 并且a3x3a

 

于是, 得到数列xn,xnE,xnaxnxn1,nN. 有 limn.

4. 证明:  已知 f(x)在(a,b)一致连续,

即0,0,x1,x2(a,b):x1x2, 有 f(x1)f(x2) 显然 f(x)在(a,b)连续, 且 0,0,x1,x2(a,b)

ax1aax2a(x1x2), 有 f(x1)f(x2).根据柯西收敛准则,

函数f(x)在a存在右极限f(a0).同理可证函数f(x)在b存在左极限f(b0).

已知f(a0)与f(b0)存在, 将函数f(x)在a作右连续开拓, 在b作左连

续开拓, 于是函数f(x)在闭区间a,b连续, 从而一致连续, 当然在(a,b)也一致连续. 5. 证明: 不妨设xn递增.

(1) 先证若xn存在聚点必唯一. 假定,都是xn的聚点, 且. 取

2, 由是xn聚点, 必存在xnU(,0).又因xn递增, 故nN时恒有

xnxN002

xxx于是, 在U(,0)中至多含n的有限多项, 这与是n的聚点相矛盾. 因此n的聚

点存在时必唯一.

(2) 再证xn上确界存在且等于聚点. a0为xn上界. 如果某个xN, 则 nN时恒有xn, 取

0xN0, 则在U(,x0)内至多含xn的有限多项, 这与为xn的聚点相矛盾.

b 对0,由聚点定义, 必存在xN使xN. 由定义 supxn.

1x0,F(x)sinxx(0,)x6. 6. 证明: 令

sinxsinxlimF(x)lim1F(0)F(x)x0xx, 所以 由于 x0, 而 x(0,)时

limF(x)0F(x)0,F(x)0,在

上连续, 又因

x存在, 所以 在上一致连续,

从而在(0,)上也一致连续, 即 f(x)在(0,)上一致连续. 7. 7. 证明:  设xn为有界数列, 则xn的任一子列

x也有界, 由致密性

nkxx定理知必存在其收敛子列

nknkj.

 设 xn的任一子列都存在其收敛子列. 若xn无界, 则对M1, 必存在正整数n1使得

xn11x2;;; 对M2,存在正整数n2n1,使得n2一般地,对

Mk, 存在正整数nknk1,使得xnkk. 于是得到xn的子列xnk, 它满足limxnkkxx, 从而的任一子列

nknkj必须是无穷大量, 与充分性假定相矛盾.

xn必有收敛子列xn,

k8. 8. 证: 因xna,b为有界数列, 故

设

limxnkx0k,

故 x0a,b. 一方面, 由于f(x)在x0连续有

由于

xx0,bxa,

nklimfx()fx0(limf(xn)An再由归结原则有

nk),limf(xnk)limf(x)f(x0)kxx0; 另一方面, 由

及

f(x)是f(x)的子列有

nn

limf(xnk)limf(xn)Ak

0)A 因此 f(x .第八章 不定积分

填空题

e1. (x)(x)dx_________.

2. 若函数F(x)与G(x)是同一个连续函数的原函数, 则F(x)与G(x)之间有关系式

_______________.

f(x)3. 若 4. 若5.

11x2,3f(1)2 , 则 f(x)__________. 且

f(x)dxcosxC, 则f(n)(x)___________.

f(lnx)dx________.x

6. 若R(sinx,cosx)R(sinx,cosx)， 则作变换___________计算7.

n[1(x)](x)dx__________R(sinx,cosx)dx.

.

nN

8.

3415x(1x)dx_________

2f(x)dx___________f(x)xx(x0)9. 若, 则 .

1(1,)210. 过点4斜率为1x的曲线方程为___________.

答案:

(x)C. 2. F(x)G(x)C (C为任意常数). 3. arcsinx. 1. en)2 4. . 5.f(lnx)C. 6. ttanx.

111[1(x)]n1C(1x4)16CxlnxC27. n1. 8. 64. 9.

10. yarctanx

sin(x

判断题:

1. 1. 有理函数的原函数是初等函数.

df(x)dxf(x)dx2. 2.

3. 3. 若函数f(x)存在一个原函数,则它必有无限多个原函数.

4. 4. 设F(x)是f(x)在区间I上的原函数,则F(x)在区间I上一定连续. 5. 5. 函数f(x)的不定积分是它的一个原函数.

x1x1ABxCDxE2222x1(x1)2 6. 6. x(x1)的有理函数分解式为: x(x1)xddf(x)df(x)7. 7.

8. 8. 若函数f(x)在区间I上连续, 则它在区间I上必存在原函数.

9. 9. 存在一些函数, 采用不同的换元法, 可以得到完全不同的不定积分. 10. 10. 若, 则答案: 1---10 √√√√××√√×√ 选择题：

1．下列等式中（ ）是正确的

f(x)dxxCf(1x)dxxC

A.f(xdx)fx()B.fex(dx)fex(C)

C.f(x)dxf(x)CD.xf(1x2)dxf(x)( ） .4xsin2D1f(1x2)C2

. 2x2．若f(x)满足 A.4sinx23．若

f(x)dxsin2xC,则

B.2coxs2Cf(x2)1(x0),x则f(x)（ ）

1D.Cx

4．设函数f(x)在[a,b]上的某个原函数为零，则在[a,b]上 （ ） A．f(x)的原函数恒等于零. B. f(x)的不定积分等于零.

A.2xCB.lnxCC.2xC C. f(x)不恒等于零但其导数恒等于零. D. f(x)恒等于零. 5. 下列凑微分正确的是 ( )

A.2xexdxdexC.arctaxndx22B.1dxd(lnx1)x1

dsinx2

1d21x

22xf(x)f(x)dx6.

D.cosx2dx ( )

A.12f(x)C21B.22f(2x)C1C.42f(x)C12D.4f2(x).

C7. 若

f(x)dxxC, 则 f(1x)dx ( )

B.xC.C.xC.1C.a

8. 函数cosax(a0)的一个原函数是 ( )

A.1xC.1D.(1x)2C2 sianxD.sainx

11A.sinxB.sianxaa

xf(x)dx2x1C9. 若

, 则f(x)( )

10. 下列分部积分中对u和v选择正确的有 ( )

A.1x122xx.ln22B.2xln21.C.2x1D.2x11

A.x2cosxdx,ucosx,vx2C.xexdx,ux,vexB.(x1)lnxdx,ux1,vlnxv1,xarc

答案：1—10 DCCDADCBBC

计算题:

D.arcxdxsinu,ln(x 1. 3. 5.

1x2)dxxarctan 2. x21dx

cos2xdx441sinxdxsinxcosx 4.

lntanxdxdxcosxsinx 6. 11x2  7.

x21dx(x1)2(x1). 8. xexdxx2(e1). 10.

1dx1sinxcosx

9. 答案:

x2dxa2x2

1x1x21. 1. 原式=

xln(x1x2)x2x1x2(1)dx

1d(1x2)xln(x1x)21x2

xln(x1x)1xC.

22121xdxxarctanx212x21 2. 2. 原式2121d(x21)2xarctanx14x21 211x2arctanx21x21C2 2 xx2x2x1sinxdxsincos2sincosdx22223.

xxxx(sincos)dx2cos2sinC2222

cos2xcos2xdxdx4422222(sinxcosx)2sinxcosx 4. sinxcosxcos2xdsin2xd(2x)2sin2x2sin2x

22122lnsin2x2Csin2x2

(lntanx)2lntanxdtanxlntanxd(lntanx)Ctanx2 5. .

txsint(2cos21)dxcostdt2dt2tt1cost11xttanC2cos222 6.

xarcsinxC211x

x21111dx[]dx222(x1)2(x1)(x1)(x1)(x1) 7.

lntanxdxcosxsinx111lnx1lnx1C2x1 2

11lnx21Cx1 2.

8.

dx1sinxcosxutan1x212u1u221u1u22du21u

duxln1uCln1tanC1u2.

9.

xexxdx1dxxdx(1ex)2ex1ex1 e1xexdxxxln(1ex)Cxxe11ee1 .

10.

x2dxa2x2xasinua2sin2udua21cos2udu2

a2sin2ua2xxa2x2(u)CarcsinC 222a2第九章 定积分

一、 一、 选择题（每题2分） 11、若

02xkdx2，则k（ ）

1 （A）1 （B）1 （C）0 （D）2

2、若fx是奇函数，且在a,a上可积，则下列等式成立的有（aaa（A）afxdx20fxdx （B）afxdx2a0fxdx

fxdx0a（C）aa （D）afxdx2fa

3、设fx在a,b上连续，则下面式子中成立的有（ ）

dx（A）dxaftdtfxdb （B）dxafxdxfx

d（C）dxfxdxfxC （D）fxdxfx

114、设fx为连续函数，fx4x0fxdx，则0fxdx=（ ） （A）1 （B）0 （C）1 （D）2

5、函数fx在a,b上连续是bafxdx存在的（ ）

（A） （A） 必要条件 （B）充要条件 （C）充分条件 条件 x6、

fx在a,b上连续，Fxaftdt，则正确的是（ ）

（A）Fx是fx在a,b上的一个原函数； （B）fx是Fx在a,b上的一个原函数； （C）Fx是fx在a,b上唯一的原函数； （D）fx是Fx在a,b上唯一的原函数 e1lnxdx7、

e=（ ）

（A）0 （B）2e-2 （C）

22e （D）22e2e

.

（D）无关

）

11fx22，且f01，则fx（ ） 8、已知01x12xxee2x2ee22（A） （B） （C） （D）

9、下列关系中正确的有（ ）

xftdt（A）0（C）01exdxexdx012 （B）01exdxexdx012

1edxedx0x1x2 （D）以上都不正确

dbarcsinxdxadx10、（ ）

12（A）arcsinbarcsina（B）1x（C）arcsinx（D）0

011、设，，则（ ）；

（A）I1I2I3 （B）I2I1I3 （C）I3I1I2（D）I1I3I2

I1xdx40I240xdx,I34sinxdx12、下列积分中可直接使用牛顿—莱布尼兹公式计算其值的是（ ）；

1edxdx112xx1dxedx20201xxlnx01xe（A） （B） （C） （D）

Ifxtdxa13、设fx为连续函数，则积分（ ）

（A）与t,a,b有关 （B）与t,x有关 （C）与x,b,t有关 （D）仅与x有关 14、xabf2tdt（ ）

12f2xf2af2xf2a 2（A） （B）1f2xf2afxfa2（C） （D）

15、下列积分中，使用换元积分正确的是（ ）

1dt3令tarcsinxx1xdx令xsint（A）11sint （B）0 dx1令x01x22t （C） （D）11x答案：ACACC ACCBD BAAAC 二、 二、 填空题（每题2分）

1dx令xtant1x1、已知

(x)sin(t2)dt0，则(x) .；

222、比较大小：01xdx sinxdx0.

x5sin2xdx243、11xx= ；

fxdx4、函数fx在区间2,1上连续且平均值为4，则2= ； 5、设fx为连续函数，则

3fxfxxxdx221 ；

6、

25cosxdx2 ；

d12ln1tdtx7、dx ；

8、11x1x2dx ；

29、设fx为连续函数，且10、设a0，若011、已知012、

10xfxx2ftdt,01则fx= ；

ax12xdx0，则01，则a ；

；

ft2dt2x3fxdx2xx2dx ；

64162ln1x sinx答案：1、2、or3、0 4、12 5、5 6、15 7、

38、2 9、x1 10、4 11、3 12、4 三、计算题 （每题5分）

12x1x2dx1、0

01x02 解：令xsint，则dxcostdt，t122x1xdx2sin2tcos2tdt 0=0

12212sin2tdt1cos4tdt0480 =

2 =

11tsin4t284016

22、

xsinxdx02xdcosx0

xcosx22cosxdx00 =

sinx210 = 3、20x32x2xdx

=20xx1dx10x1xdx21xx1dx

55323221222222xxxx305531 =

422=15

4、

21x21dxx

x12t03

解：令xsect,dxsecttantdt，

25、11xx21231xdx=0tantdt=03sec2t1dt

tantt3330 =

4x2dx=x21212x4x24x2dx4x24dx =1 =2x2x12x

114dx8

2sinx2e2xdxesinx202ecosxdx2edsinx06、0=0=

2xe22e2xdcosxe2e2xcosx242e2xcosxdx000=

=e2

 则 7、201e2xcoxsdxe2=5

x4sinxdx

4解：xsinx为奇函数，且积分区间,关于原点对称

x4sinxdx08、

40xdx41cos2x=0

x14dxxdtanx2202cosx

111xtanx44tanxdxlncosx40228200 ==

121lnln2284 =82 1dxdx2221x2= 01x2

x019、

114 解：令xtant,dxsectdt，

1dx11x2224cos2tdt=0

1tsin2t4141cos2tdt200 ===42

2t010、

30arcsinxdx1x

x03xt01x，xtan2t，则dx2tantsec2tdt，3 解：令

23tan2tdt3ttantx300arcsin1xdx=03tdtan2t=0

tantt323sect1dt0 0 ==

4(3)333

1dxtarcsin11、

33x21x2

解：令

x11dx2dtt,则t, t13x31331

133dxx21x2=

1dt2t3111t2t2=13122tdt1t2

1t2=

12、

+e11lnxdxee=

11e(lnx)dxlnxdx

1e1xlnxxxlnxx1e = … =

1xdx13、

22e

154x

x11112x5tdxtdtt54x42解：令，则，，t31 1xdx135t2dt154x=81 113315tt31=6 =814、30arctanxdxxarctanx=

3xdx301x20

3133ln1x2ln23230 = 2x22cosdx1cosxdx02 15、0=2xx2cosdxcodxs022 

xx222sinsin42022 =

五、证明题（每题5分）

Fxfx，a,b上可积，F在a,b上连续，

1、 1、 证明：若f在且除有限个点外有则有

fxdxFbFa

ab证：设除x1,x2,xna,b外，Fxfx

可设 x0ax1x2xnbxn1 在xi,xi1上应用N-L公式知:

即Fxfx,xa,b\\x1,x2,xn fxdxai0bnxi1xifxdxFxi1FxiFbFai0n

iiT2、 2、 证明：若T是T增加若干个分点后所得到的分割，则

xxiiT

证：由性质2知 STST,sTsT。故

STsTSTsT，即

3、 3、 证明：若f在a,b上可积，

xxiiiTTi

,a,b，则f在,上也可积。

证：因为f在a,b上可积，ab，由定理10.10，f在,b上可积，又b，再由10.10，f在,上也可积 4、设f,g均为定义在a,b上的有界函数。证明：若仅在a,b中有限个点处fxgx，

则当f在a,b上可积时，g在a,b上也可积，且

bafxdxgxdxab。

证：设Ffg，则F是a,b上只有有限个点处不为零的函数，由定理10.5，F在a,b使Fi0，就有Fixi0

b上可积，从而gFf也在a,b上可积。对a,b上任何分割T，取每个i上的介点i，

FxdxlimFxixi0a,baT0由F在上可积性，知

因此

bagxdxFxdxfxdxfxdxaaabbb

limanc5、设f在a,b上有界，ana,b，n。证明：若f在a,b上只有

ann1,2,为其间断点，则f在a,b上可积。

0minca,bcca,b，f在a,b上的振幅为，任给4， 证明：设

ac,a,cc,bnlimanc444NnN，由n知存在，使得时，从而在a,c,c,b44上的分割上至多只有有限个间断点。由定理9.5，9.3知：存在T,T使得

x,xiiiiT4T4

,c44作成的a,b上的分割，则有 T的分点并添上点记 T为T，xxccxiiiiii44T424TT

故由定理9.3知：f在a,b上可积

c6、证明：若f在区间上有界，则证：记

supfxM,inffxmxxsupfxinffxsupfxfxxxx,x

supfxinffx0supfxfxfxMxx,xi）若mM，则，有x

结论成立

ii)若Mm则由确界定义知

a）x,有mfxM.因此x,x，有 fx,fxm,M， 故 b）

fxfxMm

0,且1x,使fxM,即fxMMm222 ，则

x,使fxm,即fxm22

由此 f即

ffxxMm 且 fxfxMmMm

Mmxxfxx

x,x由 a），b）得

supfxinffxMmsupfxfx

27、设f在a,b上连续，且fx不恒等于零，证明

2ba(fx)2dx0证：因为f在a,b上连续，故fxfxfx在a,b上连续，且fx0

又由于fx在a,b不恒等于零，则至少存在一点x0a,b使得fx00，故有

fx020 ，所以ab(fx)2dx0

1xlimftdtAlimfxA0,xx0fx8、设在上连续，且，证明：

证：对任意的x0，有

x1x1xlimftdtlimftdtftdtxxx0xx0

1limf1xf2xx =xxxxxlimf1f20,x,xxx2 1=

x,x

而当x时,1,2即

1xlimftdt0AA0xx故

xlimf110,limf21Axxx

9、设f是定义在,上的一个连续周期函数，周期为p，证明：

1x1plimftdtftdtxx0p0

证：由于本题讨论x时的极限问题，不妨假设x0 对任意的x0，存在x00,p及nN,使xx0np，且

x0np1x1ftdtftdtx0x0np0

npx0np11ftdtftdt0npx0np=x0np

px0n1ftdtftdt00xnpxnp0=0

当x时,n,且0pftdt为常数，0x0ftdt为有界量，故有

px0n1p11xftdtftdtftdtlimftdtxlim0xnp00xnpxx000=p=

10、设fx为连续函数，证明0并利用此等式求

xfsinxdxfsinxdx2，

00xsinxdx21cosx

x0证明: 令tx,则xt,dxdt,t 00

xfsinxdxtfsintdt000tfsintdt=

0 = =

fsintdttfsintdt00

fsinxdxxfsinxdx20 

而

0xfsinxdxfsinxdx

0xsinxsinxdxdx1cos2x=201cos2x

=

202dcosxcosxarctan20=4 1cosx=2第十章 定积分的应用

一、单选题（每题2分）

2yx1、与yx所围图形的面积是（ ）

112A、1 B、2 C、3 D、3 2、；两曲线yfx， ygx相交于x1,y1,x2,y2(x1x2)，fx0,gx0，这两曲线所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积可表示为Vx（ ）

A、C、

x1x2x12f2xgxdx2x12 B、

fxgxdx

x2x1222fxdxgxdxxx D、

2fxgxdxx2x1

2yx3、将曲线与x轴和直线x2所围成的平面图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积可

表示为Vy（ ） A

xdx024 B、

ydy04 C、

4ydy04 D、

4ydy0

2x4yy4、若利用极坐标计算曲线和直线yx所围成的平面图形的面积，可用定

积分表示为（ ）

A、

8sind230222 B、

8cosd30 C、

82sind3 D、

82cos2d3

31,ln20,0yln1x24的一段弧长为s（ ） 5、曲线上从点到点11111ln3ln3ln32arctan2 C、2 D、22 A、2 B、

6、曲线ye,yexx和直线x1所围成的平面图形的面积S（ ）

0x1eA、0123xe2xdxB、eedxxC、

1lnylnydyee D、

lny1dy1ee

37、曲线yx，直线x2和x轴所围成的平面图形被直线xb分为面积相等的两部分，

则b（ ）

A、21 B、1 C、21 D、2 8、曲线yx(x1)(2x)与x轴所围平面图形面积可表示为（ ） A、C、

2313xx12xdxxx12xdx B、011220x(x1)(2x)dx

xx12xdxxx12xdx0112 D、20x(x1)(2x)dxycosxx2与x轴所围平面图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体29、曲线

积为（ ）

22A、2 B、 C、2 D、

10、射fx,gx在区间a,b上连续，且gxfxm(m为常数），则曲线ygx，yfx,xa,xb所围成平面图形绕直线ym旋转而成的旋转体体积为（ ）

A、C、

ba2mfxgxfxgxdx2mfxgxfxgxdx B、

abmfxgxfxgxdx D、mfxgxfxgxdx

aabb11、双纽线x2y22x2y2所围成的区域面积可用定积分表示为（ ）

A、

24cos2d0 B、

44cos2d0 C、

24014(cos2)2dcos2d D、20

12、曲线r2sin与r2cos2所围成的公共部分的面积S（ ）

133131132 B、244 C、122 D、62 A、1213、曲线xy4,y1,x0所围成的图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V（ ）

A、8 B、16 C、32 D、4

14、设圆周xy8R所围成的面积为S，则022222R8R2x2dx的值为（ ）

11SSS42（A） （B） （C） （D）2S

15、由曲线ylnx,ylna,ylnb0ab及y轴所围成的图形面积是（ ）

（A）

lnblnalnxdx（B）

ebeaedxx（C）

lnblnaedyy（D）

ebealnxdx

答案： CACAB BBCCB ADBBC

二、填空题（每题2分）

1、函数fx在区间2,1上连续且平均值为4，则

32fxdx= ；

212、曲线yxx2x与x轴所围成的图形的面积A ；

3、介于x0,x2之间由曲线ysinx,ycosx所围成的图形的面积S ；

24、把抛物线y4ax及直线xx0x00所围成的图形绕x轴旋转所得旋转物体的体积

V ；

a5、对数螺线re自0到的弧长L ；

xxye,ye6、与直线x1所围成的图形的面积S ；

sinx0x2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为7、曲线

V ；

2x2与yx所围成的平面图形的面积S ；

0,4之间的面积S ； 9、由圆周cos,2cos所围介于

x21ylnx4210、曲线介于x1,x2之间一段曲线弧的长度s ；

8、由曲线yt2Vm/s211、设质点由静止开始沿直线运动，其速度，其中t为时间，则质点出发后4s内所走的路程s m;

2xy12、曲线与直线xy2所围成的图形的面积S ；

22yxxy13、曲线与所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积是

V ；

1a2a37e122ax0 5、a答案：1、12 2、12 3、42 4、

23132ln221ee2164246、 7、 8、 9、 10、

3293210311、 12、 13、

三、计算题（每题10分）

32yxx2x与x轴所围成的图形的面积； 1、求曲线

32解：yxx2x的零点：x11,x20.x32

从而

Axx2xdxxx2xdxx3x22xdx1102320322

x4x3x4x3372022xx1401233 =4 x1cost2、 2、 线ytsint一拱0t2的弧长；

dxdysint1costdtdt解：，，所以

t2dssin2t1costdt21costdt2sindt2 0t2

2tt2s2sindt4cos80022从而

2yx2x,y0,x1,x3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形3、 3、 曲线

绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积V；

解：如图，所求面积SS1S2

213 34S2x22xdx23

所以 SS1S22 S12xx2dx2平面S1绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积V

1116

2343V22711ydy06

从而所求旋转体的体积为 VV1V29 V111ydy024、 4、 求由曲线y2px(p0)和直线

成旋转体的体积； 解：（1）绕直线yp旋转

p202p202xp2所围图形分别绕直线yp及y轴旋转所

2V1(2pxp)dx(2pxp)dx22p（2）绕y轴旋转

p2032324xdxp33

y23323pV22pdypppp210522p

p225、 5、 求曲线解：yyx2cosxdx的全长；

2cosx，ds1ydx1cosxdx，所以

6、 6、 用铁锤将铁钉击入木板，设木板对铁钉之阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁

锤击第一次时能将铁钉击入木板内1cm，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时能把铁钉又击入多少？

解：由题意，击入木板深度为xcm时，铁钉所受阻力Fkx（k为比例常数），功元素为

xy21cosxdx221cosxdx222cosdx40022

dwkxdx，击第一锤所做功为0入第二锤所做功为

1kxdx10，设击第二锤时，铁钉击入木板深度为hcm，则击

hh1kxdx，得

kxdxkxdx=

1

kk2h122即 所以 h2

故铁锤击第二次时能把铁钉击入

21cm

337、已知曲线为星形线：xacost,yasint(a0,0t2)。求： （1） （1） 所围成图形的面积S1；（2）绕x轴旋转所得的旋转体的体积V；

解：（1）由对称性得，

S14ytxtdt42asin3t3acos2tsintdt200

=

12a220sintcostdt12a422sin204tsin6tdt31531312a2a24264228=

（2）

V22asint3acostsintdt6a2620320sin7t1sin2tdt

64286423236a3a7539753105 = 4y2yx3x8、 8、 由曲线与所围成平面图形的面积，并求此图形绕x轴旋转的旋

转体的体积；

42yx3x解：双曲线与抛物线的交点为1,4,4,1

441234Ax3dx4lnxx38ln2313x1

y4227161454Vx3dxx311xx55

9、 9、 计算由ysinx,ycosx,x0,x2所围成的平面图形的面积。

4 解：

S20sinxcosxdx

cosxsinxdx =+

40sinxcosxdx54cosxsinxdx4542+

=

2sinxcosxdx45452cosxsinx442=

4

x2与直线x2y4所围成的图形的面积； 10、求由抛物线

xy22与直线x2y4的交点坐标为8,2和2,1 解：抛物线

选y为积分变量，y1,2，

y2有 dA2y42ydy

22221则

A2y4ydyy24y232y931

11、求由抛物线yx与直线x2y30所围平面图形的面积

解：抛物线与直线的交点

y2x由x2y30得交点P1,1,Q9,3

选y为积分变量，则y1,3

A2y3y2dy13

133322y3yy313 =1yx2222被圆xy3所截下的有限部分的弧长； 12、求抛物线

1yx2222xy3解得x2，y1 解：由

所求弧长为

s22=

201x2dxxtant2

arctan20sec3tdt

1secttantlnsecttantarctan26ln3220

13、计算曲线

yx0sintdt的弧长；

解：因为 sint0 所以0x，且 ysinx 故

s01ydx201sinxdx=

0xxsincosdx422

第十一章 反常积分

一、单选题（每题2分）

xx1=（ ）

A、0 B、2 C、4 D、发散

1dx22xx2=（ ） 2、广义积分

1ln403ln4A、 B、 C、 D、发散 2dx23、广义积分0x4x3=（ ）

12ln

1ln323 C、ln3 D、发散 A、 B、

1、广义积分

4、下列广义积分收敛的是（ ）

121dxA、e5、下列广义积分发散的是（ ）

dxlnxdxeexxlnx B、 C、

dxdx1e2x(lnx) D、x(lnx)2

A、0 B、06、下列积分中（ ）是收敛的

edxx2dxdxxedx2cosx C、02x D、0

dx1dxx2sin2xsinxdxedx01x A、 B、 C、0 D、

27、下列广义积分发散的是（ ）

1dxdxdxx211x2xedx2x(lnx)2A、1sinx B、 C、0 D、

11xedx0x28、（ ）

1111A、e B、e C、e D、

sinxsinxcosxdxdx00x2x9、已知，则（ ）

A、0 B、4 C、 2 D、

1dx1x210、广义积分（ ）

A、0 B、2 C、2 D、

1111、下列积分中绝对收敛的是（ ） A、

1sinxsinx2dxdxsinxdxxsinx4dx21xx B、 C、1 D、1

12、已知广义积分sinxdx，则下列答案中正确的是（ ）

A、因为fx在,上是奇函数，所以B、C、D、

sinxdx0

sinxdxcosx=

bcoscos0

bsinxdxlimsinxdxlimcosbcosb0=b发散

b

sinxdx13、设广义积分

0ekbdx收敛，则k（ ）

A、0 B、0 C、0 D、0

答案：BCDCB DAABD ADB

二、判断题（每题2分） 1、 1、 当01时，无穷积分

1cosxdxx条件收敛； （ ）

2、当01时，无穷积分3、若无穷积分则无穷积分4、若aa1sinxdxx绝对收敛； （ ）

fxdx收敛，而函数x在a,单调有界， 收敛； （ ）

； （ ） 发散； （ ）

afxxdx收敛，则

fxdxxlimfx05、若fx在a,无界，则6、若

xafxdxlimfx不存在，则afxdx发散； （ ）

7、若fx单调， 8、若9、若

aaafxdxa收敛，则xlimfx0； （ ）

fxdxfa2收敛，则f2xdx收敛； （ ）

xdxa，

fxdxg2xdx收敛，则

afxgxdx收敛； （ ）

收敛；（ ）

10、如果11、若

收敛，gx在a,上有界，则

afxgxdxafxdx收敛，xlimfx0，则

af2xdxa收敛； （ ）

收敛；（ ）

12、如果

afxdx绝对收敛，xlimgx1，则

fxgxdx

答案：××× ××× ×

三、填空题（每题2分） 1、若无穷积分2、若无穷积分

afxdx收敛，则

plimpfxdx ；

afxdx收敛，则ba时，无穷积分

bfxdx ；

，

3、设xa,b，函数fx0，a是其瑕点，且极限xablim(xa)fxd(0d)fxdx1,0da若，则瑕积分 ；

4、设xa,，函数fx0，a0，且极限xa若1,0d，则无穷积分5、若alimxfxd(0d)，

afxdxa ； ；

fxdx收敛，则无穷积分fxdx6、当1时，无穷积分

1cosxdxx ；

7、当p1时，瑕积分8、若9、

a10dxxp ；

xfxdx收敛，且存在极限

limfxA，则A ；

1dxdx2x(x1) ；exln2x ；

ax1xlimxx10、设

11、如果广义积分12、如果广义积分

tetdta，则常数a ；

1xp1dx收敛，则p ；

10x1pdx发散，则p ；

答案：1、0 2、收敛 3、发散 4、收敛 5、绝对收敛 6、绝对收敛

1ln27、发散 8、0 9、2；1 10、2 11、2 12、2

四、计算题（每题5分） 1、

0dxx24x8

udx1x2udxlimlim(arctan)202uu220 (x2)4解：0x4x8=

1u21lim(arctan)()242248 =u211sin2x2xdx2、

解：设

t11dx2dtx，则t，

00112x2sinxdx2sintdtcost21有= dx23、2xx2

u1111x1udxlim()dxlimln22uu3x1x23x22 解：2xx2=1u12(limln2ln2)ln23 =3uu2

4、

10lnxdx1

1解：0xlnxxlimlnxdxlim(1ln)1lnxdxlim000=

1

5、

1111dx1x2 dx011x2

01lim(arcsinxarcsinx)010 =

解：

01x2=0limdx1x2lim1dx0lim(arcsin(1)arcsin(1))0=22

2x6、

01dx1x dx解：因为

2x101x1xt2lim1dt2arctantC2arctan1xC21t

lim(2arctan1x)0所以

2xdxdx(2x)1x410

1x=00 =7、

2(limarctan0)2

0x21dx4x1

11d(x)3x211x21xxx41dx21dx122arctan2xCx2(x)2xx解：由

22ux11x1u2x1lim4dxlimarctanux1udx22x240得 0x1=0

dxaxlnxp(a0)8、

1ap1解：时，

udlnxudxlimlimlnlnxaxlnxualnxu

p1时，axlnxpdxlimuuadlnxlnxplimu1(lnx)1pu1pa

1(lna)1pp1p1p1 =dx11plnapaxlnx=p1故当p1时，

axlnxpp1 时，发散；

dx9、

20ln(sinx)dx

解：I2042lnsinxdxx2tlimlnsin2tdtln(sinx)dxlim0=002

==

4(ln2lnsintlncost)dt2lim02

2ln244002lnsintdt24lncostdt0=2由此求得 10、

0ln224lnsinxdx24lncosxdxI2ln22I

2ln2

In0xnexdx(nN)I00解：当n0时，

exdx1uuuInlimexxndxlim(exxn)limnexxn1dxu0u0u0当n1时，

=ulimnexxn1dxnIn10u

则 Inn(n1)21I0n! 五、证明题（每题5分） 1、 1、 证明

0lnxdx01x2

1lnx0lnt1tdtdt201x2dx101t2lnx1t12dxx20t，则 1xt 证：令=

lnxdx001x2 则有

cosxcosxdx1dx001x1x收敛，且2、 2、 证明

ln 证：

0sinxsinxcosxdxdx20(1x)1x=1x0=

0sinxdx2(1x)

sinx（1x）又

2011x2，而

01dx2(1x)收敛，所以

sinxcosxdxdx(1x)2收敛01x收敛

而

0cosxdx1x0sinxdx(1x)2011dx1201x(1x)

3、 3、 证明：若fx在,上连续，且

fxdx收敛，则对任何x,，

dxdftdtfx,ftdtfx,x有 dx dx

证：a,由条件0fxdxJ1，0fxdxJ2都存在；再由fx连续可得

xdxdftdtJftdtfx,1adxdx

ddaftdtftdtJ2fx,dxxdxx

4、 设

afxdx收敛，证明：（1）若极限xlimfx存在，则xlimfx0

limfx0fxax （2）若在上为单调函数，则

证：（1）设xlimfxA。若A0A0，则由极限保号性，Ga，

当xG时满足 fx于是有 而这与

A02

uGGauafxdxfxdxfxdxfxdxaGAuG2

ulimfxdxau

afxdx收敛相矛盾，故A0。

（2）若fx在a上单调而无界（设为递增而无上界），则A0，Ga，当xG时，使fxA。类似于（1）的证明，推知上单调而有界，则存在极限5、证明：若

xafxdx，矛盾。所以fx在axlimfxA。依据已证得的命题（1），

limfx0

afxdxlimfx0收敛，且fx在a上一致连续，则必有x。

证：由fx在a上一致连续，则0,0,（设），当x,xa,且

xx时，总有

又因afxfx2，

fxdx收敛，故对上述，Ga，当x1,x2G时，有

2

现对任何xG，取 x1,x2G，且使x1xx2,x2x1。此时有

x1x2fxdx2

fxx2x1fxdtx2x1ftdtx2x1ftdt

x2x1fxftdtx2x1便有 fx,xG，这就证得x6、证明：若又若把

a2limfx0xftdt

22

fxdx绝对收敛，

limgxA存在，则afxgxdx必定绝对收敛

afxdx该为条件收敛，试举出反例说明

afxgxdx不一定收敛。

证：由xlimgxA可知当x充分大时有 gxMmaxA1,A1xG

从而又有 fxgxMfx,xG

再由 afxdx收敛，根据比较法则便证得aafxgxdx收敛。

例如对于条件收敛的得到 由于

fxdx=

sinxx1dx和

gx1sinxx1x

afxgxdxdx=

1sinxsin2xxxdxx

sinxx1收敛。而

1sin2x1dxx211cos2xdxxx

显然是发散的，所以

afxgxdx也是发散的无穷积分。

x22xete2dt7、证明当x时，x和21是等价无穷小量。

0x22xlimxe2x证：

210，又因

xlimx2ex220，所以edx收敛，

又收敛定义又知

这说明当x时，它们是无穷小量；下面再来证明它们是等价无穷小量

xxlimet22dt0xlimxet22dt1xxe22limeex22x22x121x

故结论成立。 8、证明：若

1xfxdx收敛，则

1fxdx也必收敛.

1xfxfxx证：由于 =，x1,，

1xfxdx而1收敛，x在1,上单调有界，

故由 Abel判别法证得1fxdx收敛.

1fxofxdxfxx. 9、证明：若a收敛，为单调函数，则

证：不妨设 fx单调减少。先证当xa时，fx0。否则 点ca，使fc0，

而xc时，fxfc，从而 得出 由cfxdxcfcdx

cfxdx发散，与

afxdx收敛矛盾，故fx为非负的单调函数.

afxdx收敛，则0,A0，使得当 xA时，恒有

xx2ftdt2

但是

xx2ftdtxx2xxftdtfxxfx22

1fxolimfx00xfxx. 所以当xA时，，即 x 或

1fxox. 当fx单调增加时，只要考虑fx，同样可证得

10、设 fx0且单调减少，证明：

afxdx与

afxsin2xdx敛散性相同.

证：（1）若fx0，由狄利克雷判别法 aafxcos2xdx收敛，于是由

fxsinxdx2=

a1cos2x11fxdxfxdxfxcos2xdxa222a=

敛散性相同.

知 afxdx与afxsin2xdx(2) 若fxA(A0),则 同时发散.

afxdx发散，从而afxsin2xdx与afxdx第十二章 数项级数

一、单选题（每题2分） 1、 1、 设常数k0,则级数n1(1)nknn2( )

A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 收敛与发散与k有关

sinna12nnn1（ ） 2、 2、 设a是常数，则级数

A．绝对收敛 B.条件收敛 C. 发散 D.收敛性与a的取值有关 3、 3、 级数n1（ ）

A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与a有关

(1)na1cosn常数a04、 4、 设常数0，且级数n1a2n收敛，则级数n1(1)nann2（ ）

A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与有关 5、 5、 设an0(n1,2,3,)，且级数n1则级数n1an收敛，常数

0,2，

(1)nntana2nn（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C.发散 D. 敛散性与有关

1nun1ln1n，则级数（ ） 6、 6、 设

A. C.

un1n与n1u2n都收敛 B.

2nun1n与n1u2n都发散

2nun1n收敛而n1u发散 D.

un1n发散而n1u收敛

7、 7、 设

0an1(n1,2,)n，则下列级数中肯定收敛的是（ ）

nA. n1 B. n1 C.

8、 8、 下列各选项正确的是（ ）

A. A. 若n1an12nann1an D.

1n12n2an

u和n1v2n都收敛，则n1un1nvn2n收敛

B. B. 若n1uvnn收敛，则n1u2n和

v都收敛

C. C. 若正项级数n1D. D. 若级数n19、 9、 若级数n1A. C.

un发散，则

un1n

un收敛，且unvnn1,2,，则级数n1nvn也收敛

an和n1b都发散，则（ ）

an1nbn 发散 B.

abn1nn发散

2bnan1nbn发散 D.

an12n发散

10、an和bn符合（ ）条件，可由n1A. anbn B.

[答案]

an发散推出n1bn发散。

anbn C. anbn D. anbn

CCCCA CDACD

二、判断题（每题2分） 1、 1、 若n1un发散，则un不趋于零 （ ） 的部分和数列有界，则n12、 2、 若n13、 3、 4、 4、

unnun收敛 （ ）

un1与n1vnuvn1,2,nn满足，且n1vn收敛，则n1un收敛 （ ）

bn1n与n1与

cn1nbac,n1,2,nnn均收敛，且，则n12k1an收敛 （ ）

5、 5、 n1a2kan都收敛，则

an1n收敛 （ ）

n6、 6、 若给n17、 7、 若n18、 8、

un加括号后级数发散，则n1un发散 （ ） 发散 （ ）

un收敛，n1vnn发散，则n1unvnun1发散，n1v发散，则n1uvn发散 （ ）

unliml0unvnnvn9、 9、 若n1收敛，且，则n1收敛 （ ）

10、 11、 12、

1un10、 若n1收敛，则n11un发散 （ ）

11、 若n1an绝对收敛，则n1aaan12an收敛 （ ）

2aan1n12、 若，则n1an收敛 （ ）

n13、 13、 设级数

（ ） 14、

14、 若级数

bn1n收敛，且

an1an1绝对收敛，则级数

abn1nn也收敛

an1nn收敛,nlimbn1,则必有

abn1nn收敛 ( )

15、 15、 若n1收敛, n[答案]

×××√√ √√××√ √√√×√

三、填空题（每题2分）

2nalimbn1,则n1abnn一定收敛 ( )

1、等比级数aaqaqaq(a0)当 时收敛，当 时发散；

(1)n1np当p________ 时绝对收敛； 2、

3、

若nlimnana02n，则级数

an1n ；

n4、若n1a与n1

b



2

n

都收敛，则n1(abn)2 5、若nliman02n，则级数n1

2n

an

6、若n1a与n1

b

n都收敛，则n1abnn

7、正项级数

u的部分和数列Sn有界是正项级数

nun收敛的 条件。

8、若数项级数

[答案]

an1lima______.收敛, 则nn

1、|q|<1,|q|1 2、1 3、发散 4、收敛 5、发散 6、收敛

7、充分必要 8、0

四、判断下列级数的敛散性（每题5分）

n1nn1nn1、

1nn limnnn1nn解：由于

即原级数的通项不趋于零，故原级数发散 2、n21nnlimnnnnn1nn12nn1

limn1nlnn nn解：当n3,1lnnn1

则

故原级数发散

110nlnn

1!2!n!2n! 3、n21!2!n!nn!112n!2n!2n1n22n12n1n2 解：因为

而级数n1n1n21收敛，则原级数收敛

4、

n21lnlnnlnn

1解：因为

lnlnnlnn1elnnln(lnlnn)1nln(lnlnn)1n2e，当n充分大即ne时成立

212nn1而收敛，故原级数收敛 n11lnn 5、n1n解：由于当1x,x0时，ln1xx

ln因此

n111ln1nnn

n1n11lnln1nn1n1n1 同时

1n11110lnnnnn1(nn1 )于是有

ln又级数

n(n1)n11收敛，则原级数收敛

1a0lnn6、n1a

解：由于

alnnelnalnnelnnlnanlna

因此 当lna1，即0ae时，原级数发散；当lna1，即ae时，原级数收敛

7、

xnx02nn11x1x1x

an1x1xn1 解：anan1xnan当 0x1时，，则原级数收敛 alimn10x1时，nan，则原级数收敛

liman11na2,则原级数收敛 x1 时, n x0时,原级数显然收敛

n1lnn1n 8、n1lim解：设

fxlnx2lnxfx0xe22xxx 则

lnnlnnlim0nn则数列n从n9开始递减，又，则原级数收敛

212n9、n1

n解：将此级数分为两个级数

2111n1nn2n1n12n12，此二级数都收敛，故原级数收敛 nn10、n11nlnn1n1

1n1n1发散，即n1lnn11n1，而 解：因为n11nlnn1n1不绝对收敛，但

nlnn11lnn1lnn1lim0n1n1是单调递减且 nn1，所以n1条件收敛

11、

1nnxnx0n1x

nxnxn01n1xx01x解：数列当时有

xnxn1xnnn1n1x严格单调递减且有界； 1x，即同时 当0x1时有 1x当x1时，原级数即为

1nn2n，满足莱布尼兹条件，即收敛

xn1当x1时，有1x又由于

n1nxxnn1x严格单调递增且有界； 1x，即

n是收敛的，故由Abel判别法知原级数收敛

sinnx,x0,20n12、

1nsinkx解：由于当

1sinx2

x0,2时，有

k1110lim0sinnxnnn即的部分和数列有界，而数列单调减，且，

故由Dirichlet判别法知原级数收敛

五、证明题（每题5分） 1、 1、 设数列nan有界，证明n1a2n收敛；

M2M2anan2nanaMnnnn 证明：由于有界，则存在M，使得 ，即，

M22an2又 n1n收敛，则n1收敛

2、 2、 设n1证明：由于 又

an收敛，且nklimnan0，求证

nan1nan1n收敛且n1kna

nan1ann1

kak1nak1a1a2annan1=k1kanan1an1n收敛，且nnlimnan0，则

nlimaknk1n存在且nlimnan10

故

limkakak1limaknk1nk1 原题得证

3、若n1an与n1cn均收敛，且anbncn,n1,2,，则n1nbn收敛；

证明：由于 anbncn,n1,2,，则0bnancnan 又因为

an1n与n1c均收敛，则n1cnan收敛，由比较判别法知n1bnan收敛，

bbaannnn而，故n14、设

bn收敛。

an1nan1收敛，且级数

bn1n绝对收敛，则级数

abn1nn绝对收敛；

证明：设级数n1其中

anan1收敛于S，则

limSnSn

Sna1a0a2a1anan1ana0

limanSa0n从而

则存在M，使对一切n有 anM

abMbnnn又 ，而n1证明：因为

bn绝对收敛，故

abn1nn绝对收敛

ana05、设n，证明：级数n11a11a21an收敛；

an111a11a21an1a11a21an11a11a21an

所以

Sn1ak1a11a21an k11a11a21aknS又an0，故n单调减少且有下界，故收敛，从而级数收敛。

6、设级数n1bn收敛，且n1nanan1绝对收敛，则级数n1abnn也收敛；

证明：由题设n1aan1收敛，则由cauchy准则，

0,N1N,当nN1时，pN，有

an2an1an3an2anpanp1即

， ①

②

anpan1an2an1an3an2anpanp1又由n1bn收敛，则其部分和数列Sn收敛。由cauchy准则，对上述0,N2N,

当nN1时，pN，有

SnpSn ③

故对kN，有 bkSkSk1S00

由式②，式③知，数列bn和Sn都收敛，从而都有界。 即M0,nN，有 anM与SnM

综上所述知，0，NmaxN1,N2N,nN,pN,有

an1bn1an2bn2anpbnp==

an1Sn1Snan2Sn2Sn1anpSnpSnp1

Sn1an1an2Sn2an2an3Snp1anp1anpanpSnpan1SnSn1an1an2Sn2an2an3Snp1anp1anp

+

anpSnpanpSnanpSnan1Sn

Man1an2an2an3anp1anp+MSnpSnManpan1

MMM3M

即 级数

abn1nn也收敛

7、设fx在点x0的某邻域内有二阶连续导数，且x0limfx0x，

1fn绝对收敛； n1证明：级数

证明：由题设知，

fx在点x0的某邻域内有二阶Taylor公式

11fx2fx22!2 M0,s.t.fxMfxf0f0x又由

fx的连续性知，

，于是

fx1M2fx2x22

1M11fx2n，得 n2n。因 令

8、若正项级数

un收敛，且数列un单调，则nn11f2n绝对收敛 n1n收敛，故级数n1limnun0；

证明：由于正项级数u收敛，即

limun0n

故数列un单调递减。由Cauchy准则知 0,N,nN，有

0uN1uN2un又当 nN时， uNi2

un,i1,2,,nN

uN1uN2un0nNun2 从而当nN时，

n0unnNun22 取n2N，则

limnun00nun2N因而

n ，故n

a同时收敛或同时发散；

证明：由于数列1a1a1a与级数ln1a有相同的敛散性。

lima0因而本题只需证a和ln1a的敛散性相同，这两者之一若收敛，必有

9、设an0，证明数列1a11a21an与级数

12nnnnnnnln1an1liman0nan且当n时，

limln1a与a有相同的敛散性。

故数列1a1a1a与级数a有相同的敛散性。

故由比较原则的推论知：

12nnnn10、证明：若级数n1证明：因为n1anan0anSaaan12n发散，，则级数n1Sn也发散。

an发散，则其部分和数列Sn单调加且无上界，

Sn1nN,pN,s..tSnp2Sn或Snp2，有

anpan1an2anpSnpSnan1an2S111n1Sn1Sn2SnpSnpSnp22 =Snp即

010,NN2，nN,pN（使Snp2Sn），有

anp1an1an2Sn1Sn2Snp2

an于是级数n1Sn也发散

第十三章 函数列与函数项级数

一、判断题（每题2分）

1、 1、 在a,b上收敛的函数列与函数项级数，则它在a,b上一致收敛 （ ） 2、 2、 在a,b内任意闭区间上都一致收敛的函数列或函数项级数必在a,b内一致收敛

（ ） 3、 3、 fnx一致收敛，gnx一致收敛，则fnxgnx也一致收敛 （ ）

nuxa,buxa,b4、 4、在上绝对收敛，则在上一致收敛 （ ）

n n1n1uxa,buxa,b5、在上绝对收敛，且一致收敛，则必在上一致收敛 （ ） 6、若fnx在a,b上收敛于fx，而fx在a,b上不连续，则fnx在a,b上

nnn1n1不一致收敛 （ ）

7、若fnx的每一项在a,b上有连续的导函数，且fnx收敛于fx，xa,b，则

fnx收敛于fx （ ）

8、设在a,b上连续函数列fnx收敛于fx，fx在a,b上可积，则必有

limfnxdxlimfnxdxnaanbb （ ）

unxa,b9、若在上n1收敛或一致收敛于sx且每一个unx在a,b上有连续导数，

则sx在a,b上可导 （ ）

10、收敛的连续函数列其极限函数不一定连续 （ ） [答案]

×××√× √×××√

二、计算题（每题5分） 1、 1、 求级数

xx2xx3x2xnxn1的和函数

232nn1nxxxxxxxxSx解：因为 n

limSnx0limSnx1x1nx1所以 ，当时，；当时，n；当x1时，

limSnx1limSnxx1n；当时，n

0,x1Sx1,x1 故级数收敛域为1,1。在收敛域上，其和函数为

2、 2、求级数nx

n的收敛域；

解：

fn1xn1xn1n1xxfnxnxnn

x1时，级数发散。所以，当0x1时，级数收敛；当1x0，级数绝对收敛；当

故级数收敛域为1,1

nnxfxxe,n1,2,在0,上是否一致收敛？ n3、 3、 判定函数列

2解：x0,，有极限函数

nxDnxDfxlimxnenx0n22

limsupfnxfxlimsupxnenxlimex0nfxxe所以

nnn2x在0,上一致收敛

fxlimlim

fnx4、判定函数列

nx,n1,2,n2n2x在0,上是否一致收敛

解：x0,，有极限函数

nx0nn2n2x

nn10n2n2n2n0,xnn取上的自然数列，有

nxfnxn2n2x在0,上不一致收敛。 所以

xnfxncosnx2limfxn035、设，求x1

解：因为x1，故讨论x1的邻域，不妨设x0,2。

xxn22cosnx3n3 nN,x0,2，有3nxn22cosnxn0,2内一

当n0时，上式也成立，而n03收敛，由M判别法知，n03在nnn致收敛。而级数每一项在0,2内都连续，故由连续性定理知，fx在0,2内都连续，

nxnxn3122limcosnxlimcosnxlimfxx13nx13n4 n0n0n03所以x1=x1cos,x,0n6、判定级数n1是否一致收敛

x2x2x1cos2sin22,n2n2n2n 解：因为在上有

x11cos在x,0上2n而n1n收敛，由M判别法知，级数n1一致收敛

27、判定级数

1n1x21x2n,x,的一致收敛性；

unx1,vnx解：设

nnx21x2n

则x,，有

ux1n1,2,kk12nvnxvn1x，及

x41x2n10

1x即vnx单调递减，且由1nx2nx20可知

x21x2n10nnn，x, 即 vnx一致收敛于0，

故由Dirichlet判别法知

1n1x21x2n在x,上一致收敛xn1xSx2,x1,1Stdtn0n18、设，计算积分

n1xn11x2,x1,1在x1,122nn解：由于 ，由M判别法知n1n上一致收敛，而每一n1n1xxtxtxnxn1Stdt2dt2dt32000n1,1n1nn1n1n 项n在上连续，故有

xn2sin3n在0,上的敛散性 9、讨论级数

xnx,NNnN32成立 解：对某一确定的，，当时总有

x202sinnx33 即有

nn2xn2sinx3n在0,上收敛，但不一致收敛，如取3是收敛的，因此而

xx2nsinn2nxn3n,2nsinn323在0,上仅收敛，而非，就有，故

一致收敛。 10、设

nSxcosnxx,x,Stdtn1nn，计算积分0

cosnx,上一致收敛，且每一项nn在,上连续，故有

解：显然Sx在xxcosntxcosntsinnxStdtdtdt000nn2n n1nnn1n1n三、证明题（每题5分） fnxfx1、 1、 证明：若函数在R上有任意阶导函数，且函数列在R上一致收敛

xxCexC为任意常数 于，则

证明：因为xR，有又

xlimfnxn

nfnx满足定理条件，xR，有

xlimfn1xx

xxxFxxe,xR，有 即 x R，。设xFxxexxexxxe0

xxFxCC为常数xeCxCeC为任意常数 从而，xR，，故或

nln1nx0,12、 2、证明函数项级数在上一致收敛，并讨论其和函数在0,1上

221 n13的连续性、可积性与可导性

证明：对每一n,unx是0,1上单调增加函数，故

unxu1x1ln1n2,n1,2,3n

ln1t又当t1时，有

2t，故

unx112ln1n,n1,2,32nn

1122ln1nx23而n1n收敛，由M判别法知，n1n在0,1上一致收敛。

由于每一unx在0,1上连续，故由连续性与可积性定理知，级数的和函数在0,1上连续

2x2x112xun222n2nxnn1nxn且可积，又，而n1收敛，由M判别法知n1在0,1上也一致收敛，故由可导性定理知Sx在0,1上可导

xun3、 3、 证明：若函数项级数

uxnn1在区间I上一致收敛，函数列vnx在I上一致在区间I上一致收敛；

有界，则函数项级数n1证明：因为

uxvxnnuxnn1在区间I上一致收敛，依cauchy准则，0,NN和pN，

xI，有un1xun2xunpx

uxM又vnx在I上一致有界，即M0,nN，xI，有n

所以

un1xvn1xun2xvn2xunpxvnpx

n2n2npn1n1un1xun2xunpxMMuxvxuxvxuxvnpx

故函数项级数

uxvxnnn1nn1在区间I上一致收敛

uxa,bxa,b上有界，则函

4、证明：若函数项级数在上一致收敛，且函数在uxxa,b数项级数在上也一致收敛；

nn1证明：由cauchy准则知，若函数项级数

uxnn1在a,b上一致收敛，则

0,NNnN和pN，xa,b，有

kn1uxnnp

xM,又对x，M0,xa,b，有于是，有

kn1uxxxuxMnnkn1nn1npnp

uxxa,b从而在上也一致收敛；

gnxfxxnn1,2,fxf100,15、证明：设在上连续，且，则函数列在0,1上一致收敛；

M1,s.t.x0,1,fxM证明：因为fx在0,1上连续，故

0,0,当1－x1时，有fx由f10知，，

gnxfxxnM1x0,1而当时，有

gnxx1,1又当

时，

，

不妨取正整数N

lnMln1ngx，则nN时，有n，

所以gnx在0,1上一致收敛。

6、证明：若函数列fn在DR上一致收敛于f，则

f在D上一致收敛于

nf；

0,NN，当nN时，xD，恒有

证明：若fn一致收敛于f，则

fnxfx所以

，因为

fnxfxfnxfx,

fnxfxfnxfx,n于是，对定义在DR上的函数列当

f，

存在函数

nN时，xD，恒有

fx0,NN，f：DR满足：

fnxfx,fnfD

即

在

上一致收敛于

。

7、证明：函数

sinnxn3在,上连续，且有连续的导数；

sinnx11sinnxfx3n3在,上一致收敛。 n3，而n3收敛，即证明：由于ncosnx1sinnxcosnxcosnx32n，而n2n2，可推出n2在,上一致收敛，又由于nsinnxcosnxcosnxfx32n2 n且n在,上连续，故由定理知

再由定理可得fx在,上连续。

8、证明：设fnxfx，xD,an0nan0。若对每一个正整数n有

fnxfxan,xD证明：由于n故有

，则fn在D上一致收敛于f；

，当nN时，有anan,

liman0,即0,NNfnxfxan,xD，即有fn在D上一致收敛于f

9、若在区间I上，对任何正整数n，时，级数

nunxvnx，证明：当

vx在I上一致收敛

nux在I上也一致收敛；

证明：由于vx在I上一致收敛，即0,NNn，当

nN时，对一切的xI,pnkk1和pN都有 故由cauchy知

vxnkk1p，因而

uxuxvxnknkk1k1pp

ux在I上也一致收敛。

n10、设unxn1,2,是a,b上的单调函数，证明：则

nua与ub都绝对收敛，

nnux在a,b上绝对且一致收敛。

证明：由于ua与ub都绝对收敛，即0,NNnn，当nN时，对一切

unka,unkb2k12 p自然数，有k1uxunaunb而又由于unxn1,2,是a,b上的单调函数，即有 n，

pp因而

uxuaubnknknkk1k1k1ppp

故由由cauchy知

ux在a,b上绝对且一致收敛。

n第十三章 函数列与函数项级数

一、判断题（每题2分） 5、 1、 在a,b上收敛的函数列与函数项级数，则它在a,b上一致收敛 （ ）

6、 2、 在（ ）

a,b内任意闭区间上都一致收敛的函数列或函数项级数必在a,b内一致收敛

gxfxgx7、 3、 fnx一致收敛，n一致收敛，则nn也一致收敛 （ ）

nuxa,buxa,b8、 4、在上绝对收敛，则在上一致收敛 （ ）

n n1n1uxa,buxa,b5、在上绝对收敛，且一致收敛，则必在上一致收敛 （ ） 6、若fnx在a,b上收敛于fx，而fx在a,b上不连续，则fnx在a,b上

nnn1n1不一致收敛 （ ）

7、若fnx的每一项在a,b上有连续的导函数，且fnx收敛于fx，xa,b，则

fnx收敛于fx （ ）

8、设在a,b上连续函数列fnx收敛于fx，fx在a,b上可积，则必有

limfnxdxlimfnxdxnaanbb （ ）

unxa,b9、若在上n1收敛或一致收敛于sx且每一个unx在a,b上有连续导数，

则sx在a,b上可导 （ ）

10、收敛的连续函数列其极限函数不一定连续 （ ） [答案]

×××√× √×××√

二、计算题（每题5分） 4、 1、 求级数

xx2xx3x2xnxn1的和函数

xx2xx3x2xnxn1xnSxn解：因为

limSnx0limSnx1所以 ，当x1时，n；当x1时，n；当x1时，limSnx1limSnxx1n；当时，n

0,x1Sx1,x1 故级数收敛域为1,1。在收敛域上，其和函数为

5、 2、求级数nx

n的收敛域；

解：

fn1xn1xn1n1xxnfnxnxn

所以，当0x1时，级数收敛；当1x0，级数绝对收敛；当x1时，级数发散。 故级数收敛域为1,1

2nnxfxxe,n1,2,在0,上是否一致收敛？ n6、 3、 判定函数列

解：

x0,，有极限函数

fxlimxnenx0n2

limsupfnxfxlimsupxenxDnn2x所以

fnxxnenx2在0,上一致收敛

nxDlimex0n

fnx4、判定函数列

nx,n1,2,2nn2x在0,上是否一致收敛

fxlimlim解：x0,，有极限函数

nx0nn2n2x

nn102nn2n2取0,上的自然数列xnn，有

n

nxfxnn2n2x在0,上不一致收敛。 所以

xnfxncosnx2limfx3n05、设，求x1

解：因为x1，故讨论x1的邻域，不妨设x0,2。

xxn22cosnx3n3 nN,x0,2，有3nxn2cosnx2n当n0时，上式也成立，而n03收敛，由M判别法知，n03在0,2内一致收敛。而级数每一项在0,2内都连续，故由连续性定理知，fx在0,2内都连续，

nnnxnxn3122limcosnxlimcosnxlimfxx13nx13n4 n0n0n03所以x1=x1cos,x,0n6、判定级数n1是否一致收敛

nx2x2x1cos2sin22,n2n2n2n 解：因为在上有

x11cos在x,0上2nn而n1收敛，由M判别法知，级数n1一致收敛

27、判定级数

1n1x21xn2n,x,的一致收敛性；

unx1,vnx解：设

nx21x2n

则

x,，有

ux1n1,2,kk12nvnxvn1x，及

x41x2n10

1xvx即n单调递减，且由1nx2nx20可知

x21x2n10nn 即

vnx一致收敛于0，n，x,

故由Dirichlet判别法知

1n1x21x2n在x,上一致收敛

xn1xSx2,x1,1Stdtn0n18、设，计算积分

n1xn11x2,x1,1在x1,122nnn解：由于 ，由M判别法知n1上一致收敛，而每一

n1n1xxtxtxnxn1Stdt2dt2dt32000n1,1n1nn1n1n 项n在上连续，故有

xn2sin3n在0,上的敛散性 9、讨论级数

xnx,NNnN32成立 解：对某一确定的，，当时总有

x202sinnx33 即有

nn2xn2sinx3n在0,上收敛，但不一致收敛，如取3是收敛的，因此而

xnxnn2sin2nxn3,2sinn323n在0,上仅收敛，而非，就有，故

一致收敛。 10、设

nSxcosnxx,x,Stdtn1nn，计算积分0

cosnx解：显然Sx在,上一致收敛，且每一项nn在,上连续，故有

xxcosntxcosntsinnxStdtdtdt000nn2n n1nnn1n1n三、证明题（每题5分） fnxfx4、 1、 证明：若函数在R上有任意阶导函数，且函数列在R上一致收敛

xxCexC为任意常数 于，则

证明：因为xR，有又

xlimfnxn

nfnx满足定理条件，xR，有

xlimfn1xx

xxxFxxe,xR，有 x即 R，。设

xFxxexxexxxe0xFxCC为常数xeCxCeC为任意常数 从而，xR，，故或

x

1ln1n2x235、 2、 证明函数项级数n1n在0,1上一致收敛，并讨论其和函数在0,1上

的连续性、可积性与可导性

证明：对每一n,unx是0,1上单调增加函数，故

unxu1x1ln1n2,n1,2,3n

ln1t又当t1时，有

2t，故

unx112ln1n,n1,2,32nn

11ln1n2x223而n1n收敛，由M判别法知，n1n在0,1上一致收敛。

由于每一unx在0,1上连续，故由连续性与可积性定理知，级数的和函数在0,1上连续

xun且可积，又

2x2x11xun22n1n2x2n2nxn，而n1n收敛，由M判别法知n1在0,1上也一致收敛，故由可导性定理知Sx在0,1上可导 6、 3、 证明：若函数项级数

uxnn1在区间I上一致收敛，函数列vnx在I上一致在区间I上一致收敛；

有界，则函数项级数n1证明：因为n1uxvxnnuxn在区间I上一致收敛，依cauchy准则，0,NN和pN，

xI，有un1xun2xunpx

uxM又vnx在I上一致有界，即M0,nN，xI，有n

所以

un1xvn1xun2xvn2xunpxvnpxxvxuxvxuxvnpx

n2n2npn1n1un1xun2xunpxMMu

故函数项级数

uxvxnnn1nn1在区间I上一致收敛

uxa,b4、证明：若函数项级数在上一致收敛，且函数x在a,b上有界，则函uxxa,b数项级数在上也一致收敛；

nn1证明：由cauchy准则知，若函数项级数

uxnn1在a,b上一致收敛，则

0,NNnN和pN，xa,b，有kn1又对x，

npunx

M0,xa,b，有xM,于是，有

kn1uxxxuxMnnkn1nn1npnp

uxxa,b从而在上也一致收敛；

gnxfxxnn1,2,fxf100,15、证明：设在上连续，且，则函数列在0,1上一致收敛；

M1,s.t.x0,1,fxM证明：因为fx在0,1上连续，故 0,0,当1－x1时，有fx由f10知，，

gnxfxxnM1x0,1而当时，有

gnxx1,1又当

时，

，

不妨取正整数N

lnMln1ngx，则nN时，有n，

所以gnx在0,1上一致收敛。

6、证明：若函数列fn在DR上一致收敛于f，则

f在D上一致收敛于

nf；

证明：若fn一致收敛于f，则0,NN，当nN时，xD，恒有

fnxfx所以

，因为

fnxfxfnxfx,

fnxfxfnxfx,n于是，对定义在DR上的函数列当nN时，xD，恒有7、证明：函数

f，

存在函数

0,NN，f：DR满足：

fnxfx,fnfD

即

在

上一致收敛于

。

fxsinnxn3在,上连续，且有连续的导数；

sinnx11sinnxfx33n，而n3收敛，即n3在,上一致收敛。 证明：由于ncosnx1sinnxcosnxcosnx3n2，而n2n2，可推出n2在,上一致收敛，又由于nsinnxcosnxcosnxfx32,上连续，故由定理知n2 n且n在再由定理可得8、证明：设

fx在,上连续。

fnxfx，xD,an0nan0。若对每一个正整数n有

，则fnxfxan,xD证明：由于n故有

fn在D上一致收敛于f；

aan,

，当nN时，有n，即有fn在D上一致收敛于f

liman0,即0,NNfnxfxan,xD9、若在区间I上，对任何正整数n，时，级数

nunxvnx，证明：当

vx在I上一致收敛

nux在I上也一致收敛；

证明：由于vx在I上一致收敛，即0,NNn，当

nN时，对一切的xI,pnkk1和pN都有 故由cauchy知

vxnkk1p，因而

uxuxvxnknkk1k1pp

ux在I上也一致收敛。

n10、设unxn1,2,是a,b上的单调函数，证明：则

nua与ub都绝对收敛，

nnux在a,b上绝对且一致收敛。

证明：由于ua与ub都绝对收敛，即0,NNnn，当nN时，对一切

自然数p，有

ua2,ub2nknkk1k1pp

而又由于unxn1,2,是a,b上的单调函数，即有

unxunaunb，

因而

uxuaubnknknkk1k1k1ppp

故由由cauchy知

ux在a,b上绝对且一致收敛。

n 第十四章 幂级数

单选题：1设幂级数n1则下列断语中正确的是

axnn的收敛半径为 R 0R，

annxn（A）n1在R,R上一致收敛。

（B）n1naxnn在R,R内某些点处非绝对收敛。

annx2n（C）n1的收敛半径大于 R 。

annr0,xn1n!（D）对任意的 ，在r,r上一致收敛。

．2。若幂级数n0anxn在x2处收敛，在x3处发散，则该级数

(A)在x3处发散； (B)在x2处收敛； (C)收敛区间为3,2; (D)当x3时发散。

xn 3．幂级数级数n1n的收敛域是

(A) 1,1 (B) 1,1

(C) 1,1 (D) 1,1

4．若幂级数n0anxn的收敛半径为R,那么

an1aRlimnRnanann1(A), (B) ,

an1limlimanRnan不一定存在 . (C)n, (D)

lim 5．如果fx能展开成

x的幂级数，那么该幂级数

(A) 是 fx的麦克劳林级数； (B)不一定是 fx的麦克劳林级数； (C)不是 fx的麦克劳林级数； (D) 是fx在点x0处的泰勒级数。

an113naxna8,则幂级数n0nn6. 如果

lim(A)当x2时,收敛； (B) 当x8时,收敛； (C) 当

x11x8时,发散； (D) 当2时,发散

n7..设级数n0在 x1处是收敛的，则此级数在x1处

(A)发散； (B)绝对收敛；

(C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。

anx3(1)n(x1)nn 8幂级数n03n1在其收敛区间的两个端点处

A 全是发散的. B. 全是收敛的

C. 左端点发散, 右端点收敛. D 左端点收敛, 右端点发散

1x展开成(x3)的幂级数的方法是 9. 函数111(A)(1)n(x3)n(1x1)x3(x3)3n0.

f(x)(B)n1111n(x3)(1)x3x313n033(0x6)

11x3(C)(1)nx3n03n(3x3)n11x3(D)(1)nx3n03xn2nn2的收敛域为 n1 10. 幂级数

(0x6)

(B)2,2(C)2,2 (A)2,2 答案: 1—10 DDBDA ADDDA

填空题：1. 若幂级数n0(D)2,2(,)

anxnnn2(a0)在(,)内收敛, 则a应满足__________.

2. 设幂级数n1为__________.

ax的收敛半径为2, 则级数n1na(x1)nn的收敛区间

22nn1x(1x)x(1x)x(1x)的和函数为_________. 3.级数

4. 设a0,a1,,an,,是一等差数列 (a00), 则幂级数n1域是__________. 5.

axnn收敛

axnn1n与n1naxnn1有相同的___________.

6. sinx的幂级数展开式_________________. 7. 幂级数只有在___________区间内才有和函数.

8. 经过逐项微分或逐项积分后幂级数___________不变.

dex1dxx的幂级数表达式____________. 9.

232nn1x(xx)(xx)(xx)在区间_________收敛. 10. 级数

答案： 1.

4. ( -1, 1) 5. 收敛区间.

(0a1).2.(3x1)3.s(x)11xx2.

x3x5x2n1n1x(1)(x)3!5!(2n1)!. 6.

n1n2x10.1,1n! 7. 收敛. 8. 收敛半径. 9. n2 计算题

1. 1. 求幂级数n1nx2n1的收敛域及和函数.

n 2. 求幂级数12x23xn(n1)x的收敛域及和函数.

3. 求幂级数的收敛半径与收敛域

11nxn(1)x(2)n2nn12 ( 1) n1234 4. 将函数f(x)ln(1xxxx)展开为x的幂级数, 并指出收敛域.

22 5. 求函数f(x)32x4x7x在x=1处泰勒展开式. 6. 设幂级数n0数的函数.

23ax,nn当 n1时有 an2n(n1)an0, 且 a04,a11, 求该幂级

7. 将f(x)(1x)e展成 x的幂级数. 8. 求幂级数n1x(1)n12nxnn(1x1)的和函数.

的收敛区域及和函数

，确定fx的连续区间，并求积分

9. 试求幂级数n12n1xn10. 设

fx1nxn1n1fxdx的值

130lim答案: 1. 解 因

nan11,an 且当x1时级数都发散, 故该级数的收敛域

为 ( -1, 1 ), 令

f(x)n2xn1,(x1)n12n1, 则

x0f(t)dtx0ntdtnxnn1n1x,(x1)(1x)2,

x1xf(x),(x1)23(1x)(1x).

n(n1)Rlim1n(n1)(n2)2. 解: 收敛半径, 当x1时, 原级数发散, 故原级数的收

敛域为 ( -1, 1 ). 设其和函数为S(x),

nn1S(x)n(n1)xxn(n1)xx(n1)xn1 n1n1

x22xn1xxx,x(1,1)3(1x)n11x

11an12n, 由于 3. ( 1 ) 解 记

nalimn11nan , 故 收敛半径R=1, 收敛区间为 ( -1, 1 )

当x1时, 由于an(n), 故级数发散, 所以该级数的收敛域为 ( -1, 1 ) . ( 2 ) 解 记

unx2n 因为

n2x2n1un1limlimnun2n

所以收敛半径R=1, 收敛域为 [ -1, 1 ].

23012x1x1x14

1x5f(x)ln(1xxxx)ln(x1)1x 4. 解

ln(1x)ln(1x)

5x2x3xnln(1x)x23n 而

5x10x15x5nln(1x)x23n

xn15nxnn 而级数n1与n1的收敛域都是 [ -1, 1 ], 故当 1x1时

5 ln(1xxxx)ln(1x)ln(1x)

23455x10x5nx2xnxx2n2n

2f(1)8,f(1)(28x21x)x115 5. 解 因

(n)f(1)(842x)34,f(1)42,f(1)0,(n4) x1

23f(x)815(x1)17(x1)7(x1),x(,).

6. 设和函数

S(x)anx,nn0 则

S(x)nanxn1n1n2

S(x)n(n1)anxn2n2an2xn2anxnS(x)n0 即 S(x)S(x)0,S(0)a04,S(0)a11.

S(x)5x3xee22.

解上述关于S(x)的二阶微分方程, 得

)xxe(x, ) 而 7. 解 易看出 (1xexx2x2x3xex(1)x1!2!1!2!

22x3xn1nf(x)11x,x(,)1!2!!n1n 两边求导, 得 .

x8. 8. 级数的和函数为

12nS(x)(1)nxx(1)nnxn12nn1n11

n1nn1n1x(1)nxxx(1)nxn1n1

xx(1x)xx(1)n1xnxx,x(1,1)3n11x(1x)

9. 由于级数在1,1上收敛，

所以当x1,1时，有

sx2n1x2nxxnnnn1n1n1

xn2xxn11x

3xx22 1x 10. 因为幂级数的收敛域是1,1，所以

fx在1,1上的连续，

且可逐项积分。

130fx1nxn1dxnn1130

证明题： 1. 设

1nn1113n4 .

nf(x)anxn0ann1RxRn1在内收敛, 若n0也收敛, 则

R0f(x)dxann1Rn0n1.

 2. 设f为幂级数n0在 ( -R, R ) 上的和函数, 若f为奇函数, 则原级数仅出

现奇次幂的项, 若f 为偶函数, 则原级数仅出现偶次幂的项.

axnnxnf(x)2n1n定义在 [ 0, 1]上, 证明它在 (0, 1 ) 满足下述方程: 3. 设函数

x)lnxln(1x)f f(x)f(11x2 时, 级数 4. 设 a1a21,an1anan1(n2,3,), 证明当

axnn1n1收敛.

5. 5. 设幂级数

axnn0n，

bxnn0n的收敛半径分别为R1,R2，设

绝对收

R1,R2，证明：当xR时，幂级数n0Rmin敛。

anb0xn1xx3x5x2n1ln2xRnxx1，求证： 1x352n16. 设

其中

Rnx2x2n12n11x2

2n1anan1a12n0 7. 设，，n1,2,3,yx2x1,1yx1xyxy。 当时，满足方程

an0nx2n。证明：

 8. 若幂级数n0axnn的收敛半径为R(>0), 且在xR(或xR)时收敛, 则级数

axnn0n在[ 0, R] ( 或 [-R, 0 ] )上一致收敛.

9. 设函数f(x)在区间(a,b)内的各阶导数一致有界,即存在正数M, 对一切

(n)x(a,b), 有f(x)M,n1,2,, 证明: 对(a,b)内任一点x与x0有

f(x)n0f(n)(x0)(xx0)nn!.

xny2yy0. n0(n!)满足方程xy 10. 证明:

xR,答案: 1. 证明: 因为当

xxnf(x)anxnn0收敛, 有

ann1x,x(R,R)00n1n0n0

ann1ann1Rx 又当xR时, n0n1收敛, 从而可知 n0n1在xR左连续,

f(t)dtantdt于是

2.

R0ann1ann1f(x)dxlimxRxRn1n0n0n1.

nf(x)anxn0(xR),

f(x)(1)nanxnn0(xR),

当f(x)为奇函数时, 有f(x)f(x)0(xR), 从而

na(1)an0 nn(1,2,)2akn1.

0k(1,, 2,) 这时必有

f(x)a2k1x2k1(xR) 当f(x)为偶函数时, 有

f(x)f(x)0(xR)an(1)nan0,(n1,2,)

此式当且仅当

a2k10(k1,2,),f(x)a2kx2kn0.

3.证明: 设 F(x)f(x)f(1x)lnxln(1x),x(0,1) 则

11F(x)f(x)f(1x)ln(1x)lnxx1x

n1n1nnx(1x)1x1n1(x1)(1)nxn1n1xn1n n1 n1nxn1(1x)n1xn1(1x)n10nnn1n1nn1 n1n.

所以

F(x)C,0x1,x1limF(x)f(1)

故 f(x)f(1x)lnxln(1x)f(1). 0an1anan12an2ananan所以 an0,an1an(n2), ,

an11lim2anxn1Rnan2 取极限得到 , 从而级数n1的收敛半径

1anxn1x2时, 级数n1故 收敛.

5. 对于任意xR

所以n0，由于xR1,，n0R1，xR2,R2

anxnbxnn绝对收敛。

anbnxn又

所以n0anxnbnxnanbnxn绝对收敛。

x2x3x4x5ln1xxx12345 6. 时, ， x2x3x4x5ln1xx2345 ，

1xx3x5ln2x1x35 故

x2n1x2n3Rnx22n12n3 从而

Rnxlim2x1x2n12n12x4

2n11x2

2x2n1an11nan 7. 由于 ，幂级数的收敛半径是1， 所以当x1,1时，yx可微，

且故

2naxyxnn12n1

2n1n1xy2nax2n1n22nanx2n1n1

2a1x2nann1an1x2n1a0xan1xn22n1

a0xanx2n1n1 xyx

即yx满足方程。 8. 证明: 设级数n0axnnn在xR时收敛, 对于x[0,R]有



anxn0nxnaR()nR =n0nxnanRR在[0,R]上递减且一致有界, 即 已知级数n0收敛, 函数列xxx10RRR

由阿贝耳判别法知, 级数n02naxnn在[0,R]上一致收敛.

9. 证: 对 x,x0(a,b), 由于

f(n1)()MRn(x)(xx0)n1(ba)n10(n)(n1)!(n1)!,

所以

f(x)n0f(n)(x0)(xx0)nn!.

10.证: 因幂级数的收敛区间为(,), 它可以在(,)内逐项微分任意次, 从而

xn1xn1y1n1n!(n1)!n2n!(n1)!,

xn2y代入有 n2n!(n2)!, 将y,yxyyy0.

