北京科技大学学年度第学期高等数学A试题及答案

北京科技大学 200７-－200８学年 第 一 学期 高等数学 试卷（Ａ） 院(系) 班级 学号 姓名 占课程考核成绩 70% 平时 成绩占 3０% 课程考核成绩 试卷卷面成绩 题号 一 二 得分 阅卷 校对 三 四 五 小计 得 分 一、填空题（每小题3分，共15分) 自 觉 遵装 1.计算lim12x3x2x4= ． 守考订试线规则内，诚不信考得试，答绝不题作弊 ２.设f(x0) 存在,求limx0f(x0x)f(x02x)= ． 2x３.设ex是函数f(x)的一个原函数,则x2f(lnx)dxC ４.设f(x)连续,且f(x)x2f(x)dx,则f(x) 015．设向量(2a5b)(ab), (2a3b)(a5b)，则a与b之间的夹角为 得 分 二、单项选择题（每小题３分,共15分) 12x0xsin ６.设f(x) 在x0处可导， 则 【 】． x x0axb （A)a=1, ｂ=０; (B） a=0,ｂ为任意常数； (C） a=０, b=0 ; (D） a=1, b为任意常数 --

--

7．设设f(x)3xx|x|,则使f(n)(0)存在的最高阶导数n为 【 】．

（A） 0 ； (Ｂ） １ ; （C) 2 ； (D) 3

328．积分

22(x4sinx)sin2xdx

【 】

（A） ３/4 (Ｂ) 0 （C) 4/3 （D) １

9

．

下

列

不

等

式

正

【 】

(Ａ) 10sinxdx10sinx2dx, （B)

10cosxdx10cosx2dx,

(C)

2esinxdx22exdx , (D）

0sin2xdx20sin3xdx

１0．设zxy, 则dz A xy(lnxdxyxdy) B xy(lnxdyyxdx) C yx(lnxdxyylnxxdy) D x(xdyydx) 得 分 三、计算题(每小题9分,共63分)

1１．limax2xx0(ax)exdx,求a的值。

1

--

确

的

【 有 】

--

2１２、求(1x)2xxdx

02

11111３.计算lim2n9n2229n2329n2n29n1

。 --

--

1４.求直线L:xyz10在平面:xyz0上的投影直线L

xyz1015． 求不定积分arcsinx1xdx

--

--

2dyd2yxln(1t)1,2. １６．设 求

2dxdxy2arctgt(1t)

x21axb)0,求a，b的值。 １7.lim(xx1

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--

得 分 四、证明题（７分）

１9.设yf(x) 是在区间[0, 1]上任一非负连续函数。

(１）试证存在点x0(0, 1),使得在区间 [0, x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间

[x0, 1]上以yf(x)为曲边的曲边梯形的面积。

（2)又设yf(x)在(0, 1)内可导, 并且f(x)的。 2f(x),证明（1)中的x0(0, 1)是唯一x--

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北京科技大学 200７--20０8年 第 一 学期

答案:

x2432一、（1）分子分母有理化得,(2)f(x0)(3） （４）x1 （5)

2323二、（6)C(７)C （8）C (9)Ｂ (１０)Ｂ

三、计算题

axx11解:lim()eae1exdx，则a4

x0ax1

2222412.解:(1x)2xxdx(1x)1(x1)2dx,令x1sint

002原式2(11sint3)cos2tdt 224

11111３.解lim2n9n2229n2329n2n29n11＝limnni11i9()2n=

 111x20dx＝ ａrcsiｎ

x310= arcsｉn

1 3

14．解：过直线L做平面,交线为L，

ijkijk直线L的方向向量s1110,2,2，取0,1,1，n0110,1,1，

111111取L上一点0,1,0,:(y1)z0,即 yz10,投影直线L:

1５.解法1:;令 tarcsinxyz0

yz10x,则x(sint)2,dx2(sint)costdt

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原式＝t2sintcostdt2tsintdt2tdcostcost]

2[tcostcostdt]=21xarcsinx2xC

解法2：原式=2arcsinxd1x2[1xarcsinx1xdarcsinx]

21xarcsinx2dx

21xarcsinx2xC

16. dyd2y(1dx(1tt2)， dx22t)(1t2)2t

1７．解：limx21x(x1axb)lim(1a)x2(ab)xbxx10，a1,b118. 解:１8

四、证明题 19．（1０分）证明：

(1)令g(x)x1xf(t)dt[0, 1], 并且g(x)在(0, 1)可导,g(0)g(1)0。存在x0(0, 1)，使得g(x0)0。

g(x)xf(x)1f(t)dt, 代入x1x0得到x0xf(t)dt, 命题成立。

0（２)对于g(x)xf(x)1xf(t)dt继续求导数得到

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由罗尔定理知,

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g''(x)f(x)xf(x)f(x)2f(x)xf'(x)0(由已知f(x)2f(x)), 即g(x)是x的单调函数, 故零点是唯一的。

自 觉 遵装 守 考订 试 线规 则内， 诚 不信 考得 试 ，答绝 不题 作 弊 x--