R_L_C串联电路的暂态特性

实验目的

1. 通过对RC和RL电路暂态过程的学习，加深对电容和电感特性的认识。 2. 考察与研究RLC串联电路暂态过程的三种状态。 3. 学习使用方波信号与双踪示波器，显示暂态信号。

实验原理

1. RC电路的暂态过程：

RC电路的暂态过程也就是RC电路的充电过程。在图1所示的电路中，开关K拨向1后，接通电源，电源E便通过电路对电容器C进行充电，电容器上的电荷q逐渐积累，电容两端的电压UC便增加，同时电阻两端的电压UREUC随之减小。当电容上电压充电到E，将开关K由1很快拨向2，电容器C已带有

q电荷q，而电容上电压Uc，所以电容上的电荷通过R开始放电，UC减小至

C零。

qiR （1） Cdqqdq将电流i代入（1）式：充电方程： ER （2）

dtCdt充电过程：K置1充电过程，电路方程是： E满足初始条件t=0，q00方程（2）的解： q(t)CE(1etRC)

q(t)EE(1etRC) I(t)etRC （3） CRq放电过程：当K从1很快换向2，电路方程： iR0 （4）

Cdqqdq0 （5）将电流i代入（4）：放电方程： R

dtCdt UC(t) - 1 -

满足初始条件t=0，q0CE ，方程（5）的解：q(t)CEetRC

q(t)EEetRC I(t)etRC （6） CR从以上充、放电过程各式中可知：

UC(t)（1） RC电路充、放电过程相似，电容电压Uc(t)和电路电流I(t)均按指数规律变化，见图1.

（2） RC电路中，RC称为时间常数，RC越大，充电和放电过程越慢。它标志着电路充电变化快慢。当t时，充电电容的电压UCE(1e1)0.632E。 （3） 由于电容两端的电压不能突变，电容C相当于一个“短路元件”，充电

E初始t=0时，UC0，电流I0为最大。从理论上说，t为无穷大时，才有

RUCE，i=0，即充电过程结束，所以，E称为充电终止电压，这时电容C相当于一个“开路元件”。由于t5时，UCE(1e5)0.993E，则可以认为已充电完毕。实验反映了电容具有高频短路、低频开路的性质。

2. RL电路的暂态过程

一个自感与电阻串联组成的RL电路（见图2）。在E直流电源下（当开关K拨到1时），电路接通，由于电感L的电流不能突变，电感产生自感电动势

diULL，电路方程为：

dtdi LiRE

dt（7）

由于自感电动势与E电源方向相反，电流只能从零逐渐增加。故初始条件t=0时，i=0，得方程解：

ttELI(t)(1e) UL(t)EeL （8）

RRR可见，电流由零增长到一定过程后，才达到稳定状态，这个过程也是一个指数变化的过程。

当电流达到稳定状态后，再将图2中的K由1很快拨到2，因为电感上的电流仍不能突变，电路方程：

di LiR0 （9）

dt此处，初始值t=0时，i0ER，解方程得：

tELtI(t)e ULEeL （10）

RRR - 2 -

从以上RL电路暂态过程各方程式中可知：

（1） RL暂态电路两过程相似，电路电流I（t）与电感电压UL(t)均按指数规律变化，见图2右。

LL称为时间常数，越大，电流变化过程就越RR慢。它标志着电路电流变化快慢。同样当t时，电路电流

（2） 同样，RL电路中

I(t)I0(1e1)0.63I20。

（3） 由于电感的电流不能突变，当电路电源接通瞬时，电感相当于一个

E“开路元件”；从理论上说，t为无穷大时，有UL0，i，这时电感相当于

RE一个“短路元件”。所以电路电流i称为终止电流。由于t5时，

RI(t)I0(1e5)0.993I0，则可认为暂态过程已基本结束。实验反映了电感具有高频开路、低频短路的性质。 3. RLC串联电路的暂态过程

电路如图3所示。与上述RC、RL电路类似。这个电路的微分方程： 充电：

d2qdq1L2RqE

dtCdtd2qdq1q0 放电： L2R（11） dtCdtRLC串联电路暂态方程是二阶线性常系数（非齐次与齐次）微分方程。我们

知道，电容和电感是储能元件，能量的转换是可逆的。而电阻是耗散性元件，其电能单向转换化为热能，成为电路主要的阻尼因数。所以求解方程，在不同阻尼度情况下，可得到方程的三个解。方程求解所得阻尼度： RC （12） 2L为简单起见，仅讨论开关K先拨到1，使电容充电到E，然后K很快拨向2，电容就在闭合的RLC电路中放电的过程。根据初

dq始条件t=0时，UCE，0，方程的解分为

dt三种情况：

4L（1）1，R2 即阻尼较小时，方程

C解为：

q(t)CEe（13）

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tcos(t)

衰减振荡的角频率： R2C （14） 14LLC1UC随时间变化的规律如图3右中曲线I所示，称为阻尼振荡状态（也称欠阻尼状态）。此时阻尼振荡的振幅呈指数衰减，R越大振幅衰减越迅速。这是因为

电阻是耗能元件，它把电磁能转化为焦耳热。

4L如果R2，R很小时，振幅的衰减会很缓慢，变为等幅振荡形式，角频

C率与与周期将是：

1LC0 T202LC （15）

0为仅有LC电路的固有角频率。

（2） 1，R24L，即阻尼较大时（也称过阻尼状态），其方程解为： C q(t)eat(AetBet) （16）

R式中，，2LR21。A、B为任意常数，需由起始条件来决定。 2LC4LUCt变化关系见图3右中曲线III，可看出在过阻尼状态下，q(t)按指数规律衰减。R越大，q(t)衰减到零的过程就越慢。 （3）1，R24L，对应于临界阻尼状态，其方程解为： C q(t)(ABt)eat （17）

式中A、B为任意常数，需要由起始条件决定。UCt变化关系见图3右中曲线II。可见在临界阻尼状态，q(t)按指数规律衰减到零的过程最快，时间最短。

dq0，可解得充电方程的解。充电过dt程和放电过程十分类似，只是最后趋向的平衡位置不同。 用示波器显示RLC串联电路的暂态过程，可以用方波信号代替时通时断的直流电源，因为方波信号在半个周期中为0，在半个周期中为E。因此，在一个方波周期内，可以模拟开关K接通1，并从1波向2的过程。只有在方波信号连续不断的循环中，才能从示波器屏幕上显示出RLC各电路的暂态过程。 实验内容

1. RC电路的暂态过程研究：

同样在初始条件为t0时，q0，

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q-t曲线的观测：按图4接线。实验中用一方波信号代替图1中的电源E和开

q关K。注意示波器的各输入信号的地线必须接在一起。因为Uc，将双踪示

cq波器Ya端接电容C两端，测Uc。为便于比较，将Yb端接方波发生器。

c实验建议取电容C0.05uf，方波发生器输出频率f=1KHz，分别取电阻R=1K、10K，观察双踪示波屏幕上同时出现的方波与UC信号。

I-t曲线的观测：因为URiR，电流I(t)与UR(t)随时间t变化的规律相同，所以电阻R两端电压波形UR(t)和电流波形I（t）等效。将图4电路中电阻与电容交换一下位置，然后将双踪示波器Ya端接电阻R两端。观察双踪示波器屏幕上同时出现的方波与电阻UR信号。

2. RL电路暂态过程研究；

实验内容与步骤和RC电路实验的暂态过程相类似。实验主要观察电感两端的电压UL随时间t变化的规律UL-t，及电路电流I随时间t变化的规律I-t关系。 3.RLC电路的暂态过程研究：

实验通过观察q-t关系曲线，研究RLC串联电路三种暂态过程状态：即欠阻尼状态、临界阻尼状态、过阻尼状态。由于UC(t)q(t)C，所以q(t)的波形完全相似，于是在示波器上就能观察到在不同R下的q(t)随时间变化的三种状态。 （1） 参考图5接线，方波信号自己连接。理论设计电感、电容与方波发生器的频率f，并调节电阻箱R使产生如图3右所示RLC串联电路欠阻尼振荡状态、过阻尼状态、临界阻尼状态。

（2） 计算临界阻尼状态时回路总电阻的实验值（包括电阻R、电感的损耗电阻RL和方波发生器的内阻r），与理论值R04LC比较。

（3） 测量欠阻尼振荡周期T，将测量值T与理论值T0比较（T02，

R2C）。 14LLC1实验仪器与器材

方波信号发生器、双踪示波器、电阻箱、电容箱、电感、接线等。

实验数据

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一．UC电路暂态过程研究

1 取方波发生器输出频率f=1KHz，取电容C0.0050F，观察UCt图 （1）R=10k

（2）R=30k

（3）R=90k

R增大到90k时图像呈现三角波形，这是由于电阻过大使得电容充电缓慢，因此充电时电压与时间近似成线性增长。

t（etRC1，近似成线性）

RC

2 取方波发生器输出频率

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f=1KHz，取电容C0.0050F，观察URt图 （1）R=10k

（2）R=40k

（3）R=90k

随着电阻的增大，电容充电充电变缓慢，电流变化也相应减慢，图像的斜率也越来越平缓。

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二．RL电路暂态过程研究

1 取方波发生器输出频率f=1KHz，取电感L1.000H，观察ULt图 （1）R=5k

（2）R=10k

（3）R=30k

电阻越大，电感产生的反电动势也越小，由ULEeRtL可知，

实验与理论符合得非常好。

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2 取方波发生器输出频率f=1KHz，取电感L1.000H，观察URt图 （1）R=5k

（2）R=10k

（3）R=30k

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三．RCL电路暂态过程研究

F，取电感1 取方波发生器输出频率f=1KHz，取电容C0.0010L1.000H，观察UCt图

（1）R=10k

（2）R=60k

（3）R=90k

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欠阻尼状态

过阻尼状态

临界阻尼状态

2 临界阻尼状态时测得 R=56k

RL1

半偏法测得方波发生器内阻 r=78.1

总电阻实验值

RsRRLr56.2k 总电阻理论值

R04LC63.2k

3 欠阻尼的振荡周期 由图测量得

T=0.2ms 理论值

1R2LC1C4L T020.2ms 理论与实际符合得相当好

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