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定义法

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定义法

所谓定义法,就是直接用数学定题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去。

Ⅰ、再现性题组:

1. 已知集合A中有2个元素,集合B中有7个元素,A∪B的元素个数为n,则______。 A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7

2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线,则_____。 A. MP3. 复数z1=a+2i,z2=-2+i,如果|z1|< |z2|,则实数a的取值范围是_____。 A. -11 C. a>0 D. a<-1或a>1

5x2y24. 椭圆+=1上有一点P,它到左准线的距离为,那么P点到右焦点的距离为

2259_____。

A. 8 C. 7.5 C.

75 D. 3 4T)的值为_____。 25. 奇函数f(x)的最小正周期为T,则f(-A. T B. 0 C.

T D. 不能确定 26. 正三棱台的侧棱与底面成45°角,则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1小题:利用并集定义,选B;

2小题:利用三角函数线定义,作出图形,选B; 3小题:利用复数模的定义得a222<5,选A;

|PF左|44小题:利用椭圆的第二定义得到=e=,选A;

5525小题:利用周期函数、奇函数的定义得到f(-6小题:利用线面角、面面角的定义,答案2。 Ⅱ、示范性题组:

例1. 已知z=1+i, ① 设w=z+3z-4,求w的三角形式; ② 如果

2TTT)=f()=-f(-),选B; 222z2azb=1-i,求实数a、b的值。(94年全国理)

z2z1【分析】代入z进行运算化简后,运用复数三角形式和复数相等的定答。 【解】由z=1+i,有w=z+3z-4=(1+i)+3(1i)-4=2i+3(1-i)-4=

2255-1-i,w的三角形式是2(cos+isin);

44z2azb(1i)2a(1i)b(ab)(a2)i由z=1+i,有2===(a+2)-2izz1(1i)(1i)1(a+b)i。

由题设条件知:(a+2)-(a+b)i=1+i;

a21根据复数相等的定义,得:,

(ab)1a1解得。

b2【注】求复数的三角形式,一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定

义,由实部、虚部分别相等而建立方程组,这是复数中经常遇到的。

例2. 已知f(x)=-x+cx,f(2)=-14,f(4)=-252,求y=log

3n22f(x)的定义域,

判定在(

2,1)上的单调性。 2【分析】要判断函数的单调性,必须首先确定n与c的值求出函数的解析式,再利用函数的单调性定义判断。

nn4f(2)22c14【解】  解得: nc1f(4)44c252 ∴ f(x)=-x+x 解f(x)>0得:034设

22<1, 则f(x

221)-f(x

2)=-x

41+x

1-(-x

42+x

2)

=(x1-x2)[1-(x1+x2)( x1+x2)],

∵ x1+x2>2, x1+x2322344223> ∴ (x1+x2)( x1+x2)〉2³=1 22332∴ f(x1)-f(x2)>0即f(x)在(,1)上是减函数

22∵ <1 ∴ y=log

23f(x) 在(222,1)上是增函数。 2【注】关于函数的性质:奇偶性、单调性、周期性 A’ A 的判断,一般都是直接应用定题。本题还在求n、 D c的过程中,运用了待定系数法和换元法。 C’ C 例3. 如图,已知A’B’C’—ABC是正三棱柱,D是 O H AC中点。 B’ B ① 证明:AB’∥平面DBC’; ② 假设AB’⊥BC’,求二面角D—BC’—C的度数。(94年全国理)

【分析】 由线面平行的定义来证①问,即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得;由二面角的平面角的定义作出平面角,通过解三角形而求②问。

【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD ∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四边形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中点

△AB’C中, D是AC中点 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面DBC’

② 作DH⊥BC于H,连接OH ∴ DH⊥平面BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD

∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。

设AC=1,作OE⊥BC于E,则DH=

23113sin60°=,BH=,EH= ; 2444Rt△BOH中,OH=BH³EH=

3, 16∴ OH=

3=DH ∴∠DOH=45°,即二面角D—BC’—C的度数为45°。 4【注】对于二面角D—BC’—C的平面角,容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义,两边垂直于棱,抓住平面角的作法,先作垂直于一面的垂线DH,再证得垂直于棱的垂线DO,最后连接两个垂足OH,则∠DOH即为所求,其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练,在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。

此题文科考生的第二问为:假设AB’⊥BC’,BC=2,求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义,先作平面的垂线,连接垂足和斜足而得到射影。其解

EFOE11==,EF=B’E。BF3B'B2122在Rt△B’BE中,易得到BF⊥BE,由射影定理得:B’E³EF=BE即B’E=1,所以B’E=3。

31 y 例4. 求过定点M(1,2),以x轴为准线,离心率为的椭圆的

2 M F 法如下:作AE⊥BC于E,连接B’E即所求,易得到OE∥B’B,所以

下顶点的轨迹方程。 A x 【分析】运动的椭圆过定点M,准线固定为x轴,所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义,可以得到的定义建立一个方程。

|AF|1=建立一个方程,再由离心率22【解】设A(x,y)、F(x,m),由M(1,2),则椭圆上定点M到准线距离为2,下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义,得到:

14222(x1)(m2)³2(y)232 ,消m得:(x-1)+=1, my12()223y4(y)23=1。 2所以椭圆下顶点的轨迹方程为(x-1)+

22()3【注】求曲线的轨迹方程,按照求曲线轨迹方程的步骤,设曲线上动点所满足的条件,根据条件列出动点所满足的关系式,进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组,消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程,即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时,巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地,圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题,常用定义法解决;求圆锥曲线的方程,也总是利用圆锥曲线的定义求解,但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。

Ⅲ、巩固性题组:

1. 函数y=f(x)=a+k的图像过点(1,7),它的反函数的图像过点(4,0),则f(x)的表达式是___。

2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1,则∠A1FB1等于_____。

A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知A={0,1},B={x|xA},则下列关系正确的是_____。 A. AB B. AB C. A∈B D. AB 4. 双曲线3x-y=3的渐近线方程是_____。

A. y=±3x B. y=±1x C. y=±3x D. y=±3x

322x35. 已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是_____。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数

6. 7. 8.

C3n+C21n=________。

Z=4(sin140°-icos140°),则复数12的辐角主值是__________。

z38n3n不等式ax+bx+c>0的解集是(1,2),则不等式bx+cx+a<0解集

22是__________。

9.

已知数列{an}是等差数列,求证数列{bn}也是等差数列,其中bn=

1(a+a+…+a)。

n12n22210. 已知F1、F2是椭圆x2+y2=1 (a>b>0)的两个焦点,其中F2与抛物线y=

ab712x的焦点重合,M是两曲线的一个焦点,且有cos∠M F1F2²cos∠MF2F1=23,求椭圆方

程。

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