2<1, 则f(x221)-f(x
2)=-x
41+x
1-(-x
42+x
2)
=(x1-x2)[1-(x1+x2)( x1+x2)],
∵ x1+x2>2, x1+x2322344223> ∴ (x1+x2)( x1+x2)〉2³=1 22332∴ f(x1)-f(x2)>0即f(x)在(,1)上是减函数
22∵ <1 ∴ y=log
23f(x) 在(222,1)上是增函数。 2【注】关于函数的性质:奇偶性、单调性、周期性 A’ A 的判断,一般都是直接应用定题。本题还在求n、 D c的过程中,运用了待定系数法和换元法。 C’ C 例3. 如图,已知A’B’C’—ABC是正三棱柱,D是 O H AC中点。 B’ B ① 证明:AB’∥平面DBC’; ② 假设AB’⊥BC’,求二面角D—BC’—C的度数。(94年全国理)
【分析】 由线面平行的定义来证①问,即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得;由二面角的平面角的定义作出平面角,通过解三角形而求②问。
【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD ∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四边形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中点
△AB’C中, D是AC中点 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面DBC’
② 作DH⊥BC于H,连接OH ∴ DH⊥平面BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD
∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。
设AC=1,作OE⊥BC于E,则DH=
23113sin60°=,BH=,EH= ; 2444Rt△BOH中,OH=BH³EH=
3, 16∴ OH=
3=DH ∴∠DOH=45°,即二面角D—BC’—C的度数为45°。 4【注】对于二面角D—BC’—C的平面角,容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义,两边垂直于棱,抓住平面角的作法,先作垂直于一面的垂线DH,再证得垂直于棱的垂线DO,最后连接两个垂足OH,则∠DOH即为所求,其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练,在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。
此题文科考生的第二问为:假设AB’⊥BC’,BC=2,求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义,先作平面的垂线,连接垂足和斜足而得到射影。其解
EFOE11==,EF=B’E。BF3B'B2122在Rt△B’BE中,易得到BF⊥BE,由射影定理得:B’E³EF=BE即B’E=1,所以B’E=3。
31 y 例4. 求过定点M(1,2),以x轴为准线,离心率为的椭圆的
2 M F 法如下:作AE⊥BC于E,连接B’E即所求,易得到OE∥B’B,所以
下顶点的轨迹方程。 A x 【分析】运动的椭圆过定点M,准线固定为x轴,所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义,可以得到的定义建立一个方程。
|AF|1=建立一个方程,再由离心率22【解】设A(x,y)、F(x,m),由M(1,2),则椭圆上定点M到准线距离为2,下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义,得到:
14222(x1)(m2)³2(y)232 ,消m得:(x-1)+=1, my12()223y4(y)23=1。 2所以椭圆下顶点的轨迹方程为(x-1)+
22()3【注】求曲线的轨迹方程,按照求曲线轨迹方程的步骤,设曲线上动点所满足的条件,根据条件列出动点所满足的关系式,进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组,消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程,即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时,巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地,圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题,常用定义法解决;求圆锥曲线的方程,也总是利用圆锥曲线的定义求解,但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。
Ⅲ、巩固性题组:
1. 函数y=f(x)=a+k的图像过点(1,7),它的反函数的图像过点(4,0),则f(x)的表达式是___。
2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1,则∠A1FB1等于_____。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知A={0,1},B={x|xA},则下列关系正确的是_____。 A. AB B. AB C. A∈B D. AB 4. 双曲线3x-y=3的渐近线方程是_____。
A. y=±3x B. y=±1x C. y=±3x D. y=±3x
322x35. 已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是_____。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数
6. 7. 8.
C3n+C21n=________。
Z=4(sin140°-icos140°),则复数12的辐角主值是__________。
z38n3n不等式ax+bx+c>0的解集是(1,2),则不等式bx+cx+a<0解集
22是__________。
9.
已知数列{an}是等差数列,求证数列{bn}也是等差数列,其中bn=
1(a+a+…+a)。
n12n22210. 已知F1、F2是椭圆x2+y2=1 (a>b>0)的两个焦点,其中F2与抛物线y=
ab712x的焦点重合,M是两曲线的一个焦点,且有cos∠M F1F2²cos∠MF2F1=23,求椭圆方
程。