０ ０＠０ ０ 再谈数学小专题复习的设计与实施 以“规律探究’’问题为例 刘永东笔者在《例谈数学小专题复习的策略和应用》 ］一文 叙述了通过“以退为进，以小见大”的策略来解决初三数 学总复习阶段中学生思维能力提升的问题．特别提出开展 章节复习中适当穿插与章节关联的小专题复习。笔者在读 一些杂志上相关中考专题复习课设计示例时．发现由于不 同地域学生的学习水平和学习特征的差异性，所用方法在 广州地区中等或偏上水平层次班级实施上存在困难，难以 达到理想的效果。为此，笔者以“规律探究”问题为例， 结合小专题复习策略．再谈数学小专题的设计与实施的相 关要素 一、案例 （一）学情与策略 ２０１２学年第一学期天河区初三数学期末测试学校平均 分为１０３分（满分１５０分，区平均分９６．４９分），学生具备较好 的基础知识与技能。但反映出解题方法与能力的欠缺．特 别是数学思想方法不灵活。综合、灵活应用知识能力培养 有待进一步加强，对知识探究缺少方法层面的理性经验， 需要增强解题方法指导性的教学。 教师采用以下策略：以解决一道中考题目为主基调， 先让学生“退”到解决题目的最基本概念或原理的回归学 习，再用一条清晰的主线串联这些概念或原理． “进”到 原题中解决问题，即“以退为进”。在教学设计上，教师改 编简化中考题以及中考指导书和课本题目．使题目简洁却 突出核心数学知识和思想方法。即“以小见大”．指导学生 掌握方法。 （二）复习目标 １．可以从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律， 朱平 并用符号表示，学会根据特定的问题资料，找到所需的公 式，并会代入具体的值进行计算。 ２．能够探索图形变化的实际问题中蕴涵的关系与规律． 形成解决规律探究的思路和一般方法，积累解决此类问题 的经验。 （三）教学设计 １．以退为进．探寻思想 题１：观察每组数据的变化情况，分别写出第７个数及 第／７个数的表达式。 第几个数 ４ ５ ・・・ ７ ・・・ ／／＇ 第一组 ７ ９ ・・・ ・・・ 第二组 ８ ｌ０ … … 第三组 １６ ２５ … … 第四组 １６ ３２ ・・・ … 第五组 １ 一ｌ … ・・・ 题２：如图１，数轴上有若干个圆，在表格中填出这些 圆的直径、周长、面积 直径为４ 第４个圆 直径为８ 题３： （２０１２广州）如图２，在标有刻度的直线址 ，从 ０ ０ ０ ０ ０ 点Ａ开始，以ＡＢ＝１为直径画半圆，记为第１个半圆；以Ｂｃ－２ 为直径画半圆，记为第２个半圆：以ＣＤ ４为直径画半圆，记 为第３个半圆：１Ａ２ＤＥ＝８为直径画半圆，记为第４个半圆……， 按此规律，连续画半圆。则第４个半圆的面积是第３个半圆 面积的倍。第ｎ个半圆的面积为。 （结果保留） ｛ ２．以小见大．方法引领 题４：观察下列面一列数：１，一２，３，一４，５，一６， 根据你发现的规律，第２０１３个数是。 题５：将一些半径相同的小圆按如图３所示的规律摆放。 Ｏ ｏ。 ● 。Ｏ ●● 。●６６。ｏ尊●●●●●Ｏ¨。 。。 ｏ。 ・＝：：＾ ．ｏ．ｉｏ ：；：；：：：； 第１个图形 第２个图形 第３个图形 第４个图形 （１）第５个图形有个小圆。 （２）第几个图形有９４ 个小圆？请说明理由。 题６：观察下面的变形规律： １一专； 吉一 １ １ １ ｌ ‘ 一・ ‘‘‘ ３’３ｘ４ ３ ４’ 解答下面的问题： （１）若ｎ为正整数，请你猜想 １ （２）证明你猜想的结论，并利用结论求和： １ １ ＋ ＋．．‘＋２０ ． ３．变式迁移，思维提升 题７：观察下面三行数： ０２，４，一８，１６，一３２，６４，… ②０，６，一６，１８，一３０，６６，… ③一１，２，一４，８，一１６，３２，… （１）第１行数按什么规律排列？ （２）第２、３行数与第１行数分别有什么联系？ （３）请分别写出每行第／１个数的表达式。 题８：观察下列等式：１２ｘ２３ｌ＝１３２ｘ２１， １３ｘ３４１＝１４３ｘ３１， ２３×３５２＝２５３×３２． ３４×４７３：３７４×４３． ６２×２８６＝６８２×２６．…… 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式 中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称 这类等式为“数字对称等式”。 （１）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数 字对称等式”： ）５２×＝×２５；②×３９６＝６９３×。 （２）设这类等式左边两位数的十位数字为ａ，个位数字 为ｂ，且２≤ａ＋ｂ≤９，写出表示“数字对称等式”一般规律 的式子（含ａ、＿ｂ），并证明。 （备注：课外落实的技能训练题略。） 二、实践反思 （一）以退为进。方式交替，适时概括 在设计上，“以退为进”环节是通过观察、思考、提 升的三个题目设计来呈现．分别从数、形和数形结合的变 化来探寻引领解题的思想。题１设计了五组数据的规律探 寻，其中１—３比较直观，学生容易完成，４—５虽直观但学生 对公式表达有点困难．而第４组数据为题２的直径数据做了 铺垫，题３为广州中考真题，难度为０．２６，除了知识运用难 度外，还有文字表述的阅读理解困难，设计题２与之密切关 联，图表呈现，更为直观。由此，三题紧密相关，以退为 进。 在实施时，一方面是学生的认知存在困难，另一方面 是教师教学方式的运用转换处理欠当．以学生的练习 和探索为主，造成解决三个问题耗时过多，影响后面教学。 《课标（２０１１年版）》课程基本理念中指出： “认真听讲、 积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习 数学的重要方式。”同时．学生获得知识，必须建立在自己 思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自 主探索等方式。实践表明：认真听讲和自主探索两种方式 应该以利于学生思维提升为核心进行适时交替。 对于题１的处理：先由学生探索，教师课内批改． 当学生快速完成前三组数据的表达式后，且对后两组数据 有一定思考时间的时候，教师应及时叫停，集中学生进行 讲解，可提问做对后两题的学生，让他们讲题，说出想法， ０ ０ ０ ０ ０ 教师在此基础上进一步概括：知道数的规律后，如何找到 所需的公式。例如第４组数据，学生明白后一个数是前一个 直接求出公式，而是间接利用公式求解，学生表现为通过 逐一计算得到正确答案，不知如何说明理由，而利用公式 表达进而列式的思维会有些困难。题６则为应用所探寻的规 律解决计算问题。三题均在前一环节基础上增设变化，目 的在于让学生在不同背景下思考如何串点成线．在微小的 数的两倍，却无法列出公式，显然学生难在乘方的数感认 知以及不懂表示两倍的作用。由此教师只需抓住“两倍的 作用”，解决前三个数的表示２ｘ２，２ｘ２ｘ２，２ｘ２ｘ２ｘ２，即可 有学生自行得到公式。并以此概括：每一个数和它相对应 的序号密切相关，要注意用序号数来表示这个数；二是强 变化中见到思维的活用，体会怎样适合变化的情境以及怎 样摆脱认知发展水平的制约。 在实施上，不能先告知方法再运用方法获得策略．而 调奇数、偶数、乘方数、符号的变化等特征，以加强数感； 三是得出公式后，应该注意选取具体的值代人计算验证， 以确保公式的准确性。最后，通过适当变化，让学生思考 以进一步理解解题思维．提出若把后两组数据对应相乘， 得到新的一组数据：一２，４，一８，１６，一３２…，又该如何得 到公式？有的学生仍然从数的变化规律去得到（一２） ，而有 的学生则会用两组数据的公式相乘得到，ＲＩ１２￣（一１） ，由此， 学生的思维进展和解题方法各有所得、各有提升，同时也 为题２做好思维铺垫。 对题２的处理，与题１相似，让学生自主探索直径和周 长的规律．体会题１的解题思维．而对面积的规律变 化，则采用在思考的基础上，生生、师生合作交流获 得公式。这样，学生既能解决问题，又能巩固题１的解题思 维方法和对教师概括的加深理解。值得提出的是，仍会有 学生先通过求出每一个圆的面积，进而找寻规律得到公式， 这种通法应该肯定，因为这是解决问题的最基本方法。而 另一种方法。则要重点阐述和概括一个问题，那就是转换 化归思想。即面积的变化规律，取决于（半径）直径的变 化规律，因此可以先探寻直径的变化规律公式，进而利用 面积公式解决面积的变化规律问题．这样以达到简化解决 问题的方法，并体现了数学思想的引领学习。 对于题３．这是在前两题的学习和建构认知策略基础上 进行的真题测试，让学生在获得能力的同时收获信心。 同时．也让学生懂得如何以基本概念为抓手．循序渐进地 “进”到中考题的求解。从而明晰模糊概念和深化粗浅理 解。 （二）以小见大，串点成线，体现思维 在设计上，“以小见大”环节分别从数、形、式变化 的三个题目呈现来训练解题方法．以体现方法下的解题思 维引领。题４是纯数的规律探寻，且无需得到公式；题５是 通过形的变化规律引出数的规律探寻，但有些变化，不是 是通过“举三反一”的以促进认知策略的获得及迁移．在 学生的认知困难处点拨，局部讲解，例如题５的第二问。而 在解决问题后，教师需要概括总结，需要用一个“图式” 为主线进行串联，并打通串联的节点，形成较为平滑的 “线”，即认知策略。除了笔者在《例谈》一文提到的题型 特点、解题方法、解题步骤三点外，还可概括探寻规律问 题的解决模式，例如“有形找形，无形找数；借助表格， 分析变化，由数到式，序号对应；确立公式，代值验证； 简化问题，勿忘转化；规律运用，解题关键”。这样的概括 能使得学生对解决问题的知识运用理解由粗浅转为深化， 进而为迁移做准备．真正体现“以小见大”的功效，同时 也体现了在复习目标下的学习。 需要指出：若不是连堂课．则在一课时完成前两个环 节，即已达到小专题的功效，然而认知策略的获得，需要 经历习得规则、规则变式练习和规则支配自己的认知活动 三阶段，还需变式迁移，加快策略的学习迁移，再次突出 以小见大的思维。在此不在熬述。 综上，小专题复习实现了数学知识的有效整合，注重 了数学思想的学习体悟。设计上．寻找和挖掘题目内涵是 关键．注重方法串联的题组学习．强调数学思想的主体突 出，注意以学生认知策略获得和迁移的进退思维；在实施 上，准确把握了课的内容主线，做到选题和讲题合理、时 间安排合理．教学方式合理．从而真正实现了小专题复习 的优效教学。 注释： ［１］刘永东．例谈数学小专题复习的策略和应用［Ｊ］．教百导 刊（上半月），２０１３（１）：８７—８９． （刘永东：广州市天河区教育局教研室朱平：广州 市第四十七中学广东广州５１０６４０责任编辑：张海新）
