全等三角形专题一

全等三角形专题一

全等三角形的定义及性质

1. 如图，已知点A、B、C、D在同一条直线上，△AEC≌△DFB,如果AD=37，BC=15，那么AB的长为（ ）

A.10 B.11 C.12 D.13

2. 已知△ABC的三边长分别为6，7，10，△DEF的三边长分别为6,3x-2,2x-1， 若两个三角形全等，则x= 。

3. 一个三角形的三条边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为3，3x-2y，x+2y，若这两个三角形全等，则x+y= 。

4.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=∠C，BC=8cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A以acm/s的速度运动，设运动时间为ts。

（1）求CP的长（用含t的式子表示）；

（2）若以C、P、Q为顶点的三角形和以B、D、P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值。

5. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ）

A.15︒ B.20︒ C.25︒ D.30︒

6. 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=∠D=25︒， ∠ACB=∠AED=105︒，∠DAC=10︒，则∠DFB为（ ） A.40︒ B.50︒ C.55︒ D.60︒

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7.如图，已知BE是△ABC的高，P为BE延长线上一点，Q为BE上一点，△PAB≌△AQC，请猜想AP与AQ的位置关系，并证明你的结论。

8. 如图，将△ABC绕点B旋转一定角度，得到△DBE，若∠AGF=20︒，∠ABE=3∠EBC，求 ∠DBE的度数

9. 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E并交AD于点F，∠ACD=∠AED=105︒，∠CAD= 10︒，∠B=50︒，求∠DEF的度数。

SSS判定

1. 如图，已知AB=AD，CB=CD，求证：∠ADC=∠ABC。

2. 如图，已知线段AB、CD相交于点O，AD、CB的延长线交于点E，OA=OC,EA=EC,求证： ∠A=∠C。

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SAS判定

1.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCD，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F。

（1）如图①，若∠ACD=，则∠AFB的度数是多少？（用含的式子表示）

（2）如图①中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图②，试探究∠AFB与的数量关系，并予以证明。

2. （1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90︒，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

1∠BAD，求证：EF=BE+FD. 2（2）如图②，当（1）中的条件“∠B=∠D=90︒”改成“∠B+∠D=180︒”，其他条件都不变，（1）中的结论是否依然成立？

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180︒，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=

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1∠BAD，请探究EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由。 2 专业整理

3.在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180︒，求证：DA平分∠CDE。

4.如图，已知AC//BD，AE、BF分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。

5. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B，试判断AB、AC、CD三者之间的数量关系，并说明理由。

6.如图，CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。

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7.如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM。

8. 证明：如果两个三角形有两边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等。

已知：如图，在△ABC与△ABC中，AB=AB，AC=AC，AD和AD分别为中线，AD=.

AD求证：△ABC≌△

ASA及AAS判定

ABC1.如图，已知AB=AD，∠C=∠E，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE。

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2.如图，BE、CD相交于点F，且∠B=∠C，∠1=∠2，求证：DF=EF。

3.如图，AC=BC，∠ACB=90︒，点D为BC的中点，BE⊥BC，CE⊥AD，垂足分别为点B、G，那么AD=CE，BD=BE，这两个结论对不对？为什么？

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90︒，AC=8，BC=6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E，设P、Q运动时间是t秒（t>0）。

（1）若点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿AC、BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1个单位长度，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动，在运动过程中，△APD和△QBE是否保持全等？判断并说明理由；

（2）若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t为何值时，△APD和△QBE全等？

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5.数学课上，张老师提出了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角平分线CF于点F，求证：AE=EF。

经过思考，小明给出了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△EFC，所以AE=EF。在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除点B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC延长线（除点C外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立，你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由。

HL判定

1.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F，那么CE与DF相等吗？为什么？

2.如图，已知AD、AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，如果AD=AF，AC=AE，求证：BC=BE。

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3.如图，在△ABC中，∠C=90︒，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF： （1）求证：CF=EB

（2）请你判断AE、AF与EB之间的数量关系，并说明理由。

4.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M。 （1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当点E、F两点移动至图②所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由。

角平分线的性质及判定

1.如图OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点是OB上任意一点，则线段PN的长度取值范围为（ ）

A.PN<3 B.PN>3 C.PN≥3 D.PN≤3

2.如图，在△ABC中，∠C=90︒，AD平分∠BAC，过点D做DE⊥AB于点E， 测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是 。

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3.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（ ）

A.4 B.3 C.6 D.5

4.如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC，则SABD:SACD= 。

5.如图，在△ABD中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=4，△ABD的面积等于6，求△ADC的面积。

6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90︒，AB=5，BC=3，AC=4，P是∠BAC、∠ABC的平分线的交点，试求P到AB边的距离。

7. 如图，已知∠1=∠2，BA8.如图，已知在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC，求∠A和∠C的和。

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9.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=∠ABC+∠ADC的度数。

1（AB+AD），求210.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为49和40.求△EDF的面积。

11.如图，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD，BE=CF，求证：AD平分∠BAC。

12.如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C，求证：点C在∠AOB的平分线上。

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13.如图，已知∠C=60︒，AE、BD是△ABC的角平分线，且AE、BD交于点P。 （1）求∠APB的度数；

（2）求证：点P在∠C的平分线上； （3）求证：①PD=PE ②AB=AD+BE

14.如图，在△ABC中，∠ABC=110︒，∠ACB=40︒，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD=40︒，则∠CED= 。

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