思政说课教案绪论

思政说课教案绪论

集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

教 案

2016～2017学年度第一学期

课 程 名 称 思想道德修养与法律基础

教学单教

研

任 课 教职

授课班位 计算机系 室

数学 师 陈艺华 称

助教 级

2017级各专业

锦州师范高等专科学校

2016～2017学年度第一学期

授课课程：思想道德修养与法律基础 授课教师：陈艺华

章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 绪论-珍惜大学生活 开拓新的境界 2017级数学教育1、2班 理论 授课时间 学时数 2017 年11月11日 2学时 1.了解大学生活的特点，了解大学学习的特点和方法； 2.了解人际交往的特点，掌握人际交往的原则和艺术。 重点：帮助学生认识大学生活特点，学习方法，构建和谐的人际交往关系 难点：如何引导新生尽快适应新环境，确立新目标。 多媒体课件 视频播放、启发式和案例研讨教学法 一、介绍本门课程的教学内容、学时、考核方式、学习方法 教学 主要内容 二、观看并讨论视频 三、大学生活的新变化及适应策略 教 学 过 程 设 计 一、导入新课 视频播放贵州大学校长郑强教授在央视一套《开讲啦》做的一期节目，节目中郑强教授讲述了自己理解中的大学内涵。 讨论三个问题： 1、大学生活与中学生活相比，有什么变化 2、大学生活有哪些新奇和惊喜，又有什么困惑和不适 3、大学生活的新变化对大学生提出了哪些新要求 备 注 1. 利用10分钟引入新课，播放视频 2. 利用25分钟组织学生讨论发言（启发式教学） 5分钟总结讨论 10分钟 归纳分析大学生活常见的问题 35分钟 理论讲述新生适应大学生活的基本策略 二、讲授新课 （一）案例分析 过渡：通过以上的讲述我们知道了大学生活的特点及与中学生活的不同，面对学习要求、生活环境和社会活动方面的变化，我们是否要进行适应呢能否很好的适应呢适应不好的话，会产生哪些问题呢: 案例1：反面 案例2：正面案例 总结：大学生活常见的不适应现象主要有：学习方法、人际交往、恋爱、心理健康等方面的问题。这些都是属于大学新生的普遍现象。我们要以积极的态度，勇敢地面对这些问题，主动而努力地去调整和适应大学的生活。 （二）适应策略

（1）提高独立生活能力 （2）树立新的学习理念 （3）培养优良学风 （4）确立成才目标，塑造崭新形象 （5）构建和谐的人际关系 1）人际交往原则 2）人际交往的艺术 5分钟 布置作业和解疑 三、课堂小结 1、给同学们推荐大学生必看励志书籍。 作业：结合自己的专业和大学学习的特点，制订一份大学学习计划书 板 书 设 计 绪论 珍惜大学生活 开拓新的境界 一、认识大学 二、大学生活常见的不适应现象 三、适应策略 树立新的学习理念 构建和谐的人际关系 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 复数（二） 2015级数学教育 班 理论 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 1.会求复数的乘幂与方根，掌握共轭复数的公式 2.掌握归纳的数学方法，能应用复数理论解决某些数学问题 重点：复数的方根. 难点：复数的开方运算. 三角板、圆规 讲授法、讨论法、练习法 一、复数的乘幂和方根 教学 主要内容 二、共轭复数 三、应用

教 学 过 程 设 计 备 注 提问复数的三种形式 启发学生寻找复数与其乘幂模和辐角的关系，得出结论 学生容易得出错误结论n，提示学生思考辐角意义 提示解题步骤，由老师学生共同完成 熟练灵活地运用这些公式，对化简计算、解答问题都会带来方便 提示学生利用共轭复数的相关公式 类比求动点轨迹方程，有学生说出第二题的答案 师生共同探讨参数t为何值（教材上面有错误） 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 一、复习旧知 复习复数的三种形式，利用指数式来解决乘幂和方根 二、讲授新课 （一）复数的乘幂与方根 1.乘幂. 设zrei，则znrneinrncosnisinn 当z1时，棣莫弗公式cosisincosnisinn n 例 求cos3,sin3用cos,sin表示的式子 提示：利用棣莫弗公式及两复数相等的条件来解决此问题 2.方根. 解方程wnz，求w，设zrei,wei，带入得neinrei 从而有r,n2kn，则wkznkreni2kn,k0,1,,n1 结论：(1)开n次方就有n个根；(2)这n个根为内接于以原点为心，nr为半径的圆周的正n边形的n个顶点(图1-2). 图1-2 例 解方程z380 步骤：(1)解出z38并将-8化为三角式或指数式（其中r8,） 2k2kisin (2)zk38cosk0,1,2 33 (3)分别解出三个根 （二）共轭复数 1.模与辐角的关系：zz,ArgzArgz 2.常用公式(1)zzz,Rez2zzzz (2)设Ra,b,c,表示对于复数,Imz22ia,b,c,…的任一有理运算，则Ra,b,c,Ra,b,c, 例 设z1,z2是两个复数，试证z1z2z1z22Rez1z2，并用此不等式证明z1z2z1z2. 证 z1z2z1z2z1z2z1z1z2z2z1z2z1z2z1z22Rez1z2 又由于Rez1z2z1z2z1z2，则z1z2z1z22z1z2z1z2 2222222222两边开平方得z1z2z1z2.

（三）应用 例 连接z1,z2的线段的参数方程为zz1tz2z10t1 连接z1,z2的直线的参数方程为zz1tz2z1 引申：z1,z2,z3三点共线的充要条件为z3z1t(t为非0非1实数) z2z1三、课堂练习 解方程z416 四、课堂小结 复数的乘幂和方根的求法，共轭复数的相关公式，三点共线的充要条件 五、布置作业 P42—3、4；P43—9 板 书 设 计 板书1 四、复数的乘幂与方根 2.方根 练习 1、乘幂 推导过程 例题 例题 板书2 五、共轭复数 例题 六、应用 公式 例题 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 教学 主要内容 复平面上的点集 复变函数(一) 2015级数学教育 班 理论 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 1.熟悉平面点集基本概念，熟练区分简单闭曲线、光滑曲线和区域 2.对复变函数概念有初步了解 重点：区域的概念. 难点：复变函数概念的理解. 三角板、圆规 讲授法、讨论法 一、平面点集的几个基本概念 二、复变函数的概念

教 学 过 程 设 计 备 注 邻域为复数列与极限论1.提问数学分析中聚点、孤立点、边界点、有(无)界集概念. 的基础 2.回忆上节提到的线段、直线等，它们都是复平面的点集，后续课中讲到解析此部分内容师生共同讨函数，其定义域、值域均为复平面上某点集. 论完成 二、讲授新课 对于若当曲（一）平面点集基本概念 线，给出图形举例，省 1.点集的基本概念 去繁琐而抽(1)z0的邻域,z0的去心邻域 象的定义赘述 (2)聚点、内点、孤立点、外点、边界点、边界 对比数学分析中 (3)闭集、开集；有界集、无界集 函数的概(4)区域、闭域 念,找到异同点 充分理解上述定义，得出以下结论： 解释复变函1)内点必为聚点；2)聚点可能属于E，可能不属于E；3)孤立点必为边界点；4)有数的图象需要四维空边界的不一定是有界集，无边界的必为无界集. 间，不能形 例 (1)带形区域y1Imzy2(图1-3)；(2)同心圆环区域rzR(图1-4) 象描述 提示学生前图1-3 图1-4 两题考虑模2.若当曲线 与辐角， 三题考虑代图1-5非简单曲线 图1-6简单曲线 图1-7非简单闭曲线 数关 图1-8简单闭曲线 图1-9光滑曲线 图1-10 光滑闭曲线 系，师生共同讨论完成 （二）复变函数 学生总结本1.定义(图1-11) 堂课知识，不足的教师2n单值wz，wz 多值wArgz,wz 补充 一、导入新课 图1-11 2.代数式wux,yivx,y，指数式wPr,iQr, 例 设有函数wz2，试问它把z平面上的下列曲线分别变成w平面上的何种曲线(1)以原点为心,2为半径,在第一象限例的圆弧；(2)倾角x2y24. 3的直线；(3)双曲线 解 设zrcosisin,wz2Rcosisin，则Rr2,2(1)对应w平

面的图形为以原点为心，4为半径，在u轴上方的半圆周(2)射线x2y22xyi，故ux2y2，所以在w平面上的像为直线u4. 2(3) wz2 3三、课堂练习 设函数wz22， (1)当zxiy时 (2)当zrei时,w分别写成什么形式 四、课堂小结 若当曲线与区域的概念；复变函数的概念 五、布置作业 P43—10、11 板 书 设 计 板书1 1、平面点集基本概念 结论 画图解释 2、若当曲线与区域 画图解释若当曲线 例题 板书2 画图解释区域 2、复变函数 例题 定义 两种形式 教学反思 章 节 复变函数(二) 复球面与无穷远点

授课班级 授课类型 2015级数学教育 班 理论 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 1.理解复变函数的性质，会应用极限、连续解决相关问题 教学目的 2.充分理解无穷远点与复球面的概念 3.培养学生类比、归纳的能力 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 重点：复变函数的极限与连续 难点：利用极限、连续的语言解决问题 三角板、圆规 讲授法、讨论法 1.复变函数的极限与连续 教学 主要内容 2.利用极限、连续的语言证明相关结论 3.复球面与无穷远点 教 学 过 程 设 计 备 注 对比数学分析中的相关定义 书上的证明过程比较简洁，不易理解，将详细证明过程板书演示 连续满足三点，和实函数相同 提问：如果设zxiy，可否证明得出相应结论 两道例题由教师分析解题思路，证明过程由师生共同完成 提问：是否可取其他值只要取一、复习旧知、导入新课 提问：数学分析中函数极限和连续的概念 二、讲授新课 （一）复变函数的极限与连续 1.极限 limfzw00,0,z:0zz0有fzw0 zz0注：zz0指z沿四面八方通向z0的任何路径趋近于z0. 定理 limfzzz0x,yx0,y0limux,yivx,yaib的充要条件为 ux,ya，x,yx0,y0x,yx0,y0limlimvx,yb. 证 \"\" 由于limfzzz0x,yx0,y0limux,yivx,yaib有 0,0,z: 0zz0有fzaibux,yaivx,yb，则ux,ya vx,yb 即 \"\"由x,yx0,y0x,yx0,y0limux,ya，x,yx0,y0x,yx0,y0limvx,yb limux,yalimvx,yb，0,0,z:0zz0有ux,ya和vx,yb于是fzaibux,yaivx,yb ux,yavx,yb2即limfzaib zz0

2.连续 limfzfz00,0,z:zz0有fzfz0 zz0fz0都可证明 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 例 证明fz 解 fz1zzz0在原点无极限，从而在原点不连续. 2izz1zz1zzzz2RezImz. 设zrcosisin，则22izz2izzz2r2cossin1,沿趋近原点fzsin2=.极限不存在，故在原点不连续 42r0，沿0趋近原点 例 设limfz，则fz在z0的某去心邻域内有界. zz0 析：要找到某一M,使fzM.由limfz知0,0,z:有 zz0fz.在此式中想解出fzM，需要利用绝对值不等式fz ，解出fz 例 设limfzfz0fz00，则fz在z0的某邻域内恒不为零. zz0 析：即证fz0，由limfzfz0有0,0,z:有fzfz0想zz0证fz0利用绝对值不等式fz0fzfzfz0得fzfz0 只需取fz0即可. 此题过程由学生完成. （二）复球面与无穷远点 1.无穷远点的引入：首节课引例3知球面上点N在平面上无对应点，引入无穷远点与之对应，得到扩充复平面CC，与之对应的球面为复球面.扩充复平面的一个几何模型就是复球面. 2. 的邻域：z1;1的去心邻域：z 3.相关结论：复平面以点为唯一边界点，扩充复平面以点为内点，且它是唯一无边界区域. 三、课堂练习 xy,若z0 设函数fzx2y2 试证：fz在原点不连续. 0,若z0四、课堂小结 复变函数极限和连续的语言，复球面与扩充复平面的概念 五、布置作业

P44-14、15 板 书 设 计 板书1 1、复变函数的极限与连续 定理与证明 (2)连续定义 (1)极限定义 例 板书2 例题 例 2.复球面与无穷远点 (1)复球面、扩充复平面定义 (2)邻域、去心邻域 (3)结论 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 2015级数学教育 班 理论 1.掌握复变函数的导数与微分的概念 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 教学目的 2.了解解析函数的概念，掌握判断解析函数的方法 3.培养学生类比、归纳的能力 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 重点：解析函数的判断方法 难点：解析函数必要、充要条件定理的证明 三角板 讲授法、讨论法 一、复变函数的导数与微分 教学 主要内容 二、解析函数及其简单性质 三、.方程 教 学 过 程 设 计 备 注 提问数学分析中导数与微分的概念，类比得出复变函数相关概念 例的求导法一、导入新课 复变函数研究的主要对象为解析函数，它是一类具有某种特性的可为函数，本节我们来研究这类函数和它的性质. 二、讲授新课 （一）解析函数

1.导数 fz0limzz0fzfz0fz0zfz0lim z0zz0z2.微分 dfzfzdz 结论：(1)在一点可导可微 (2)可微连续 例 证明fzz在z平面处处不可微 证 fzzzzzzz，当z分别取实数和纯虚数时，极限不同，zzzz则fzz极限不存在，从而在z平面处处不可微. 例 求fz3z24z5的导数 （二）解析函数及其简单性质 1. 解析函数：wfz在区域D内可微，则称fz为D内的解析函数 “解析”概念解释： (1)fz在z0解析：fz在z0的某一邻域内解析； (2)fz在区域D解析：fz在区域D可微； (3)fz在闭域D解析：fz在包含闭域D的区域解析. 经过上述解释，可得以下结论： (1)fz在z0解析fz在z0可微； (2) fz在区域D解析fz在区域D可微 2. 奇点：不解析点(无定义、不连续、不可导) （三）柯西-黎曼方程 1. .方程的引出 假设wfzux,yivx,y是复变函数zxiy的一个定义在区域D内的函数.当二元实函数ux,y,vx,y给定时，此函数也就完全确定.一般说来，如果函数ux,y,vx,y相互独立，即使函数ux,y,vx,y对x与y所有的偏导数都存在，函数fz通常仍是不可微的.例如，wzxiy处处连续，并且ux,vy对x与y的11则和数学分析中一样，由学生完成 熟练掌握解析的概念 学生分组讨论，完成证明过程，体现师范学生的示范性 教师点睛 掌握函数解析性的一般方法，由学生总结步骤 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 一切偏导数都存在且连续，但wz却是一个处处不可微的函数. 提出想法：如果函数是可微的，它的实部ux,y与虚部vx,y应不是独立的，而必须适合一定的条件，下面我们来探讨这种条件。 探讨：若fz在一点zxiy可微，则有 fzlim

z0fzzfz z

设zxiy,fzzfzuiv,则变为 fzlim先设y0,x0，则式变为fzlim即 fzuiv x0xiyy0uv ilimx0xx0xuvi xxuvlim y0yy0y再设x0,y0，则式变为fzilim即 fzi比较与得出 uv yyuvuv, .) xyyx上述方程称为柯西—黎曼方程，简称为.方程. 2. 函数若fz在一点zxiy可微 必要条件：fz在x,y满足.方程. 充要条件：①ux,y,vx,y在x,y可微；②fz在x,y满足.方程. 充分条件：①ux,uy,vx,vy在x,y连续；②fz在x,y满足.方程. 3. 函数若fz在区域D解析 充要条件：①ux,y,vx,y在区域D可微；②fz在区域D满足.方程. 充分条件：①ux,uy,vx,vy在区域D连续；②fz在区域D满足.方程. 4. 求导公式fzuxivx 例 讨论函数fzz的解析性 解 ux,yx2y2,vx,y0，故ux2x,uy2y,vxvy0.又这四个偏导数在z平面上处处连续，则fzz只在z0可微，但在整个z平面上处处不解析. 22例 讨论函数fzx2iy的可微性和解析性. 解 ux,yx2,vx,yy故ux2x,uyvx0,vy1，要满足.方程，必须11x，故仅在直线x上满足.方程，且偏导数连续，从而fz仅在直线221x上可微，但在z平面上处处不解析. 并且fzx1uxivxx11 222三、课堂练习

试证函数fzexcosyisiny在z平面上解析，且fzfz. 四、课堂小结 函数在某点可微的必要、充要、充分条件；函数在某区域的充要、充分条件 五、布置作业 P90—3、4、5、8 板 书 设 计 板书1 1、复变函数的导数与微分 2、解析函数及其简单性质 (1)导数 (1)解析函数 (2)微分 例 例 (2)奇点 板书2 3、柯西-黎曼方程 (2)函数在某点可微的各条件 例 (1) .方程的引出 (3)函数在某区域可微的各条件 例 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 初等解析函数 2015级数学教育 班 理论 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 1.掌握指数函数和三角函数的性质，并掌握其与实变函数的异同 2.会利用解析函数的性质解决一般复数性问题 重点：指数函数、三角函数的性质. 难点：复函与实函相应知识的不同. 三角板 讲授法、讨论法 一、指数函数 教学 主要内容 二、三角函数 三、双曲函数 教 学 过 程 设 计 备 注

一、导入新课 上节课我们将数学分析中的知识平行推广到复变函数中，本节课我们来研究初等函数在复变函数中的推广，会得到一些性质，其中有与数学分析不同的新性质，利用这些性质我们可以解决一些复数性问题。 二、讲授新课 （一）指数函数 1.定义 ezexiyexcosyisiny 2.性质 (1) ezex,argezy,ez0,ezez; (2) ez1z2ee,ez1z2z1z2ez11z2,ezz; ee(3) ez以2i为基本周期，以2kikZ为周期; (4) e无意义; (5) 不满足Rolle定理，满足罗比达法则. （二）三角函数 eizeizeizeiz,cosz 1.定义 sinz 2i2教学设计：由欧拉公式eiycosyisiny,eiycosyisiny启发学生思考怎样求出cosy和siny，将y以复数z代替，便得到正余弦的定义. 2.性质 (1)sinzcosz,coszsinz; (2) sinz是奇函数，cosz是偶函数，并满足三角恒等式; (3) sinz和cosz都以2为基本周期; (4) sinz的零点为kkZ，cosz的零点为k(5) sinz和cosz在复数域无界. （三）双曲函数 ezezezez,coshz 定义 双曲正余弦 sinhz 222kZ; (1)(2)学生回答;(3)给出基本周期和周期的概念，证明由学生完成,强调与数分中不同;(4)举例说明;(5)回忆数分相关知识, Rolle定理和罗比达法则，由学生验证 (2)验证和差化积公式之一;(3)由学生讨论并验证;(4)求解有难度,教师板演一个,另一个由学生完成;(5)反例cosiy无界,强调与数分中不同 双曲函数为选修内容 按照正余弦定义解决此类型问题 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 记忆方法：正余弦定义中去掉所有的i即可. 例 求sin12i的值 ei12iei12ie2ie2i解 sin12i 2i2ie2e2e2e2sin1icos1 =22

=cosh2sin1isinh2cos1 例 zZ，若sinzsinz,则2k,kZ 解 由已知有sinzsinz0，即2coszsin0, 22于是sin20 所以2k 则 2k,kZ. 三、课堂练习 利用定义证明sinz1z2sinz1cosz2cosz1sinz2 四、课堂小结 指数函数与三角函数的性质，与数分的不同之处 五、布置作业 P91—10 P92-13、14 板 书 设 计 板书1 1、指数函数 性质相关证明 (1)定义 (2)性质 2.三角函数 (1)定义 (2)性格 板书2 性质相关证明 3.双曲函数 例 例 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 初等多值函数 2015级数学教育 班 理论 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 1.明确对数函数和一般指数函数的概念 2.会求一个复数的对数和复指数 重点：复对数的求法. 难点：将一般指数函数归为求解复对数. 三角板 讲授法、讨论法

教学 主要内容 一、对数函数 二、一般指数函数 教 学 过 程 设 计 备 注 找学生回答定义，巩固上节课的内容 提示注意区别Ln与ln 在设z,w时，让学生思考设代数式还是指数式，学生讨论完成 负数也有对数，强调与实变函数的不同之处 例由学生完成，并复习主辐角的求法 对比高中数学中的对数恒等式，提示注意区别Ln与ln 由学生板演，教师点评 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 一、导入新课 前几节课我们研究了初等解析函数，它们分别是指数函数、三角函数、双曲函数，这三类函数均为单值函数。本节课介绍两种多值函数——对数函数和一般指数函数. 提问：指数函数和三角函数的定义. 二、讲授新课 （一）对数函数 1.定义 指数函数ewz的反函数即为对数函数，称w为复数z的对数，记为wLnzz0, 2.求解公式推导.设zrei,wuiv 则ewz变为euivrei，即eueivrei，于是有uLnr,v2k,kZ 得出对数公式 主值lnzlnziargzargz 问：“负数无对数”在复数域是否成立 例 lnilnii22i 4 例 Ln34iln5iarctan2kikZ 3（二）一般指数函数 1.定义 称wz0,为一般指数函数. zLnezLn 2.求解方法 weiln1i2k2z 例 (1)ieiLniieiLniee2k2 (2)21ie1iLn2e1iln2i02k 三、课堂练习 1. 求Ln34i 2. 解方程(1)ez13i (2)coszsinz0 i 2(4)1ez0 i 3. 试求1i及3i之值.

(3)lnz

四、课堂小结 1.对数函数的求解方法 2.一般指数函数的求解方法. 五、布置作业 P93—20、24 板 书 设 计 板书1 1、对数函数 练习 (1)定义 (2)求解公式推导 例题 板书2 2.一般指数函数 例题 练习 (1)定义 (2)求解方法 教学反思 章 节 复积分的概念及其简单性质

授课班级 授课类型 2015级数学教育 班 理论 1.充分理解复积分的概念 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 教学目的 2.会求简单的复积分 3.培养学生利用已知探索解题方法的自主学习精神 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 重点：复积分的计算. 难点：参数思想. 三角板 讲授法、讨论法 一、复积分的定义 教学 主要内容 二、复积分的计算 三、复积分的性质 四、积分估值 教 学 过 程 设 计 备 注 定积分的求法：分割，近似求和，取极限 周线的概念为第二节做准备 由学生回忆数学分析中相应概念，对应着模拟出复积分的概念，教师给予及时评价 让学生考虑如果积分路径是顺时针，结果会怎样 例题说明，即使起点终点一样，只要积分路径一、导入新课 复积分是研究解析函数的一个重要工具，积分的概念和数学分析中积分的概念相似。提问：在数学分析中积分是如何定义的分几个步骤求解 二、讲授新课 （一）复积分的定义 1.准备知识 (1)周线：逐段光滑的简单闭曲线. (2)方向：“反时针”为正，“顺时针”为负. 2.定义 设有向曲线C:zzt,t以az为起点，bz为终点，fz沿C有定义.顺着C从a到b的方向在C上取分点：az0,z1,znb把曲线C分成若干个小弧段.在从zk1到zkk1,2,n的每一段弧上任取一点k，作和数Snfkzk,其中zkzkzk1.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋k1n于零时，如果和数Sn的极限存在且等于J，则称fz沿C可积，而称J为fz沿C的积分，并记为Jfzdz.C为积分路径. C3.注意 (1)若J存在，一般不能写成fzdz，因为积分和路径C有关. ab

(2)可积的必要条件是有界. （二）复积分的计算步骤 1.写出积分路径C的参数方程zzt,t,dzztdt. 2.代入fzdzfztztdz C3.计算此实积分. 例 计算积分Rezdz.(1)连接由0到1i的直线段 (2)连接0到1以及1到1i的直C线段所组成的折线. 解 设点1为A,点1i为B 11xt1i(1)OB: ,ztit0t1,Rezdzt1idt1itdtC002yt不同，结果就可能不同 将数学分析中的性质平移过来，让学生找出它们的异同 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 xtx1(2)OA:,zt0t1,AB:,z1it0t1 y0yt（三）复积分的基本性质 1.afzdzafzdz CC2. fzgzdzfzdzgzdz CCC3. fzdzfzdzfzdz，C由C1和C2衔接而成 CC1C24. fzdzfzdz CC5. fzdzfzdzfzds CCC（四）积分估值 定理 fz连续，存在M0使fzM，L为C之长，则fzdzML. C三、课堂练习 证明dzCz2dz2 四、课堂小结 复积分的定义，计算方法，基本性质，积分估值 五、布置作业 P141—1，P142—2(1)(2) 板 书 设 计

板书1 1、复积分定义 (3)注意 例题 (1)准备知识 (2)定义 2.复积分的计算 步骤 板书2 3.复积分的性质 例题 4.积分估值 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 柯西积分定理 2015级数学教育 班 理论 1.掌握柯西积分定理及其3个推广 2.培养学生发现和延拓知识的能力 重点：柯西积分定理. 难点：定理的证明. 三角板 讲授法、讨论法 一、柯西积分定理 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 教学 主要内容 二、不定积分 三、柯西积分定理的推广 教 学 过 程 设 计 备 注

通过上节课的例题让学上节课我们讲到若积分路径不同，积分值也可能不同，本节课我们来研究积生猜想积分分值与积分路径无关的情况. 值和积分路径无关所需二、讲授新课 条件，教师（一）柯西积分定理 总结之后得 1.准备知识 出柯西积分定理 (1)单连通区域D:在D内任意画简单闭曲线，其内部都含于D; 教材中未给(2)周线:逐段光滑的简单闭曲线. 出证明,教师2.定理(柯西积分定理) 设fz在z平面的单连通区域D内解析，C为D内任一提示思路，由学生完成 类比数学分周线，则fzdz0. C析相应知识3.定理(柯西积分定理推广1) 设fz在z平面的单连通区域D内解析，C为D得出 证明过程需内任一闭曲线，则fzdz0. C要用到数学分析的大量证 如图3-1，可看出曲线C总可以看作由有限条周线衔接而成，于是有 知识，由于由定理知柯西积分定理的结论依然成立. 学生基础不同，采取分图3-1 层次教学，推论 fz在z平面的单连通区域D内解析,则fz在D内积分与路径无关，即有兴趣和能力的学生，z1z0,z1D,fzdz之值不依赖于D内连接z0,z1的曲线. 建议他们尽z0量掌握证明图3-2 思路与方法 证 C1,C2是连接z0,z1任意两曲线(如图3-2),则C1与C2衔接成D内一闭曲线.于牛顿-莱布尼茨公式是定是有0fzdzfzdzfzdzfzdzfzdz，移项即得证 积分与不定CC1C2C1C2积分的桥梁 （二）不定积分 两个定理互相推证的过z1.变上限积分 Fzfd (定点z0D，动点zD) 程由学生完z0成，教师给2.Fz与fz的关系. 予引导和及时评价 定理 fz在单连通区域D内解析,则Fz在D内解析，且Fzfz. 定理将定理FzzFz的条件放fz，即证下式成立分析证明Fzfz，即证limz0z宽，条件“在DDC连FzzFzfz. 续”也可以换z为“在C连续” 证 以z为心作一个含于D内的小圆，在小圆内取动点zz，于是 总结柯西积分定理和它一、导入新课

zzzzz的等价定FzzFzfdfdfd z0z0z理，以及三z个推广 1zz又因为 fzfzd 学生总结本zz堂课知识，FzzFz1zz不足的教师减得 fzffzd. zzz补充 根据fz在D内的连续性，对于任给的0，只要开始取的那个小圆足够小，则小圆内一切点均符合条件ffz，于是有FzzFzfz，即Fzfz. z0zlimFzzFzfz.即z3.不定积分 (1)定义 如果函数fz连续，则称符合条件zfz的函数z为fz的一个不定积分或原函数. (2)牛顿-莱布尼茨公式fzdzz1z0 z0z1（三）柯西积分定理的推广 1.柯西积分定理推广2 定理(柯西积分定理等价定理) 设C是一条周线，D为C之内部，函数fz在闭域DDC上解析，则fzdz0. C证 (i)由定理推证定理.由定理的假设，函数fz必在z平面上一含D的单连通区域G内解析，于是由定理就有fzdz0 C(ii)由定理推证定理.由定理假设：“函数fz在单连通区域D内解析，C为D内任一周线”，设G为C之内部，则fz必在闭域GGC上解析.于是由定理有fzdz0. C定理(柯西积分定理推广2) 设C使一条周线，D为C之内部，则fz在D内解析，在DDC上连续，则fzdz0. C2.柯西积分定理推广3 (1)定义 考虑n1条周线C0,C1,,Cn，其中C1,,Cn中每一条都在其余各条的外部，而它们又全都在C0的内部.在C0的内部同时又在C1,,Cn外部的点集构成一个有界的n1连通区域D，以C0,C1,,Cn为它的边界.在这种情况下，称区域

D的边界是一条复周线CC0C1Cn.(图3-3为n2的情形) 图3-3 (2)定理(柯西积分定理推广3) 设D是由复周线CC0C1Cn所围成的有界n1连通区域，函数fz在D内解析，在DDC上连续，则有 fzdz0， C或写成 fzdzC0C1fzdzC2Cnfzdz0 或写成 fzdzfzdzfzdzfzdz C0C1Cn（式意义为沿外边界积分等于沿内边界积分之和） 证 取n1条互不相交且全含在D内的光滑弧段L0,L1,,Ln作为割线.用它们顺次地与C0,C1,,Cn连接.设想将D沿割线割破，于是D就被分成两个单连通区域(图为n2的情形)，其边界各是一条周线，分别记为1和2.由定理，有fzdz0,fzdz0.二式相加得fzdz0.从而有和成立. 12C 例 设a为周线C内部一点，则2idznCza0n1,且为整数n1. 证 以a为圆心画圆周C，使C全含于C的内部，则由式有 三、课堂练习 不用计算，验证下列积分之值为0，其中C均为单位圆周z1. (1)dzdzdz (2)2 (3)2 (4)zcosz2dz CcoszCz2z2Cz5z6C四、课堂小结 柯西积分定理和它的三个推广 五、布置作业 P42—5 板 书 设 计

板书1 1、柯西积分定理 (3)推广1 (1)预备知识 (2)柯西积分定理 2、不定积分 (1)积分上限函数 (2)定理及证明 板书2 定理证明 例题 (3)牛顿-莱布尼茨公式 板书3 3、柯西积分定理的推广 (2)推广2 (1)推广1 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 柯西积分公式及其推论 2015级数学教育 班 理论 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 1.掌握柯西积分公式及解析函数的无穷可微性 2.利用上述公式的变形式求解周线积分 重点：求解周线积分. 难点：柯西积分公式的证明. 三角板、圆规 讲授法、讨论法 一、柯西积分公式及其推论 教学 主要内容 二、解析函数的平均值定理 三、解析函数的无穷可微性 教 学 过 程 设 计 备 注

一、导入新课 1.柯西积分定理及其推论都分别是什么 2.柯西积分定理推广到复周线的形式是什么 由以上两个问题导出本节课内容，利用柯西积分定理的复周线形式导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分形式. 二、讲授新课 （一）柯西积分公式 1.柯西积分公式 定理 设区域D的边界为周线C,fz在D内解析，在C连续，则有 证 zD,Ff在D内除z外均解析，以zz为心作圆周，使之含于D.对于复周线C，有 于是有 只需证lim0ffdd Czzfdd2ifz即可.而2i zz图3-4 则有 ffzdzzdffzd z由f的连续性 0,0,:z有ffz.于是不大于ffzzdd22. 定理得证. 2.柯西积分公式的变形式 推论 fd2ifzCzzD f在C内部的唯一奇点.若Fz注：柯西积分公式中z是被积函数F在C内有两个或两个以上奇点，则不可用此公式. 思考题：定理的条件下，若zD，则例 求解周线积分1fd的值如何 2iCzC9i2d,其中C:2 此公式在计算周线积分及证明高阶求导公式中有充分应用，让学生给予充分重视. 这一步非常重要，将复杂路径简化 利用推论可以求周线积分，此处注意强调z是C内唯一奇点 满足柯西积分定理的条件，积分值是0 定理证明关键在设参数方程,并利用柯西积分公式证明,由学生分组讨论完成 提示：含“至多”、“至少”字眼时多用反证法. 让学生根据形式上求导的结果来猜测高阶导公式 重点把握思路，提示用数学归纳法来证明 关键找 先设定一个d= 2

解 i为被积函数在2内的唯一奇点，则 （二）解析函数平均值定理 定理 若fz在z0R内解析，在闭圆z0R上连续，则 意义：fz在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数. 例 设fz在zR上解析，若a0,使当zR时fza,且f0a.试证：在zR内fz至少有一零点. 证 设fz在zR内无零点，而由题设fz在zR上也无零点.于是设Fz11在闭圆zR上解析.由解析函数平均值定理F0fz2实变函数无此性质 学生总结知识点，教师补充 20FReid. 又有题设F012211111，FRei. 从而有F0 if0aaafRe0FReid1112 矛盾.故在圆zR内fz至少有一个零点. a2a（三）解析函数的无穷可微性 1.柯西积分公式的高阶求导公式 (1)猜测公式 fz1f12f1ffzdfzd d，，2iCz22iCz32iCz123fn!fndfzd ，猜测2iCz42iCzn1fz定理 在定理条件下，fz在D内有各阶导数，且有 例 计算coszCzi3dz，其中C是绕i一周的周线. 2i 解 dzcoszC2!zi3coszziee1 icosii2 (2)定理的证明 ①证明n1情形.即证fz即证lim1fd成立 2C2izz01ffzzfzd， 2C2izz图

即证fzzfz1fd成立.其中 2Cz2izfzzfz11f1f1fddd. CCCzz2izz2iz2izzz设沿周线C，fM，设d为z与C上点间的最短距离.于是当C时zd0.设zz2dd,zzzz，则 22dzM2d2d2fCzzzd32dCzMLd3(L为C之长)要使之小于.解得 dd31ffzd z，取min,，于是有2C2izML2ML②设nk时结论成立.即fkzk!fd，当nk1时，有 k1C2izk1!2izCfk2d定理得证. 简单证法 (按照导数定义证明)： 4.解析函数的无穷可微性 定理 设fz在z平面上的区域D内解析，则fz在D内具有各阶导数，并且它们在D内解析。 三、课堂练习 2z2z12z2z1dz (2)  (1)dz 2CCz1z1四、课堂小结 柯西积分公式和高阶导公式 五、布置作业 P142—9、10 板 书 设 计

板书1 1、柯西积分定理 证明 推论 例题 板书2 2解析函数平均值定理 3.柯西公式高阶求导公式 证明 例题 例题 板书3 定理证明 4.解析函数的无穷可微性 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 教学 主要内容 解析函数与调和函数的关系 2015级数学教育 班 理论 1.掌握解析函数与调和函数的关系 2.会求已知函数作为实(虚)部的解析函数 重点：共轭调和函数的概念. 难点：已知调和函数，求以其为实部的解析函数. 三角板 讲授法、讨论法 一、调和函数 二、调和函数与解析函数的关系 教 学 过 程 设 计 备 注 同理所得结论由学生完成. 由调和函数的定义知解析函数的实部u和虚部v均为调和函数 ①不可以②授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 一、导入新课 上一节我们证明了在D内解析的函数具有任何阶导数，因此其实、虚部u和v都有连续二阶偏导数、本节研究如何选择u和v才能使uiv在D内解析. 二、讲授新课 （一）调和函数 1.探索解析函数的u,v满足的条件

uvuv2u2v2u2v,，有2 fzuiv在D内解析，则,2xyyxxyyyxx2v2v2u2u2v2v由于偏导连续，则，于是有220.同理220.即u和vxyyxxyxy22在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程u0,v0.这里22是一种运算记xy号，称为拉普拉斯算子. 2.相关定义 定义1 若Hx,y在D内有二阶连续偏导数，且满足H0，则称Hx,y为区域D内的调和函数. 定义2 若在D内满足.方程uxvy,uyvx，则称v为u的共轭调和函数. 3.思考题 ①v为u的共轭调和函数，u,v是否可以互换 ②若v为u的共轭调和函数，则v的共轭调和函数是什么 注：任一个二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数. （二）解析函数等价定理 提问：以前我们学过解析函数的两个等价定理，它们的内容分别是什么 定理 fzux,yivx,y在D内解析的充要条件是vx,y是ux,y的共轭调和函数. 练 验证ux,yx33xy2是z平面上的调和函数 例求以ux,yx33xy2为实部的解析函数fz，使之满足f0i. 解ux3x23y2,uy6xy.由uxvy得vy3x23y2，两边关于y积分得 u上述问题由学生讨论完成 第二章内容 此为第三个等价定理 思考：如果先由.方程另一个先求出vx,y，结果是否一样学生分组讨论并汇报结果. 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 vx,y3x23y2dyx3x2yy3x,vx6xyx. 由vxuy得6xy6xyx，于是x0,xC 因此 vx,y3x2yy3C. 于是 fzuivx33xy2i3x2yy3CxiyCi. 3又f0i得Cii，则C1. 三、课堂练习 验证vx,yarctan函数fz.

yx0在右边平面内是调和函数，并求以此为虚部的解析x

四、课堂小结 解析函数的等价条件，已知调和函数求解析函数的步骤. 五、布置作业 P143—16(1)(2) 板 书 设 计 板书1 1、调和函数 2.解析函数等价定理 板书2 例题 练习题 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 实级数的相关知识 2015级数学教育 班 理论 1.掌握实级数的相关概念 2.会用比较法、比值法、根值法、莱布尼兹判别法判断级数的敛散性. 重点：判断实级数的敛散性. 难点：比较法的推论. 三角板 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时

教学方法 教学 主要内容 讲授法、讨论法 一、实级数的基本概念 二、实级数敛散性的判别法 教 学 过 程 设 计 备 注 对比数学分析相应知识 师生共同讨论几何级数的敛散性 熟记以上结论,以后会经常应用 类比比较法得出推论，师生共同完成 当l1时级数的敛散性无法确定 一致收敛部分为大学本科重点，专科选修 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 一、导入新课 在讲第四章复级数之前，学生应先掌握基本的实级数知识，由于《数学分析》中实级数部分没有讲，所以在讲本章知识之前先学习一下相关知识. 二、讲授新课 （一）实级数的基本概念 1.数项级数unu1u2un n12.n项部分和(前n项和) Snu1u2un 3.收敛 limSnS或limunS，称S为级数的和. nni1n 发散 Sn发散或limSn不存在. n4.几个常用结论 (1)几何级数arn1aarar2arn1 n1当r1时，级数收敛，当r1时，级数发散. (2)广义调和级数11111 ppppn23nn111当p1时，级数发散，当p1时，级数收敛.常用发散，2收敛. n1nn1n(3)级数11111收敛 2!3!n!n1n!（二）判断级数敛散性的方法 1.判断正项级数敛散性的方法 正项级数unu1u2un，其中uii1,2,为正数 n1(1)比较法 un与vn,NN,nN有uncvn n1n1

①若vn收敛，则un收敛；②若un发散，则vn发散. n1n1n1n1推论 un与vn,limn1n1unk0k nvn①0k，则二者有相同的敛散性;②若k0,且vn收敛，,则un收敛； n1n1③若k且vn发散，则un发散. n1n1(2)比值法(达朗贝尔判别法) limun1l， nun①当l1时，级数收敛；②当l1时，级数发散. (3)根值法(柯西判别法) limnunl n①当l1时，级数收敛；②当l1时，级数发散. 2. 判断交错级数的敛散性 交错级数1unu1u2u3u4 n1n1莱布尼茨法则 若limun0,unun1，则交错级数收敛. n3.一致收敛 函数项级数unxu1xu2xunx在I收敛于和函数n1Sx，0,NN,nN,xI有SnxSx 例 判断下列级数的敛散性 (1)n11nn21 (2)n213n21 (3)n1 nn!n111n(4)ln1 (5) (6)n nn1n1lnnn12n1(7)n1n2n1nnn11 (8) (9)1 n!nn1n1解 (1)131nn121n31n32,由于n11收敛，所以3n11nn1n22收敛. (2)n121n23,由于n21n23发散，所以n213n12收敛.

1111nn!(3)取vn,lim0,而收敛,由比较法推论知收敛. n!n1n!nn!n1n1n!1ln111n11,而发散,由比较法推论知ln1发散. (4)取vn,lim1nnnn1nn1nn(5)limnnn1nn1,由根值法知收敛. limn2n122n1n12n1111由根值法知收敛. lim01,nnnlnnlnnn1lnnnn(6)limn(7)limun1nunn1nn11n2limlim1,由比值法知n1收敛. nn2nn2n12n12u(8) limn1limnunnn1nn1!nnn!nn1limnnnnn1lim1e1,比值法发散. nn1n!nn111n11(9) nN,收敛. 且lim0,由莱布尼茨法则知1nnnn1nn1三、课堂练习 判断级数的敛散性 11(1)2 (2)2 n1nlnnn1n1四、课堂小结 数项级数敛散性的判别方法 板 书 设 计

板书1 1、实级数的基本概念 2.实级数敛散性的判别方法 板书2 练习题 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 复级数的基本性质 2015级数学教育 班 理论 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 1.熟练掌握复数项级数敛散性的判别方法 2.明确复函数项级数一致收敛的重要性 重点：复数项级数敛散性的三个判别法. 难点：复函数项级数的一致收敛性. 三角板 讲授法、讨论法 一、复数项级数的相关知识和判别法 教学 主要内容 二、一致收敛的复函数项级数 三、解析函数项级数 教 学 过 程 设 计 备 注

一、导入新课 提问：实正项级数的敛散性判别法. 如果将实数域扩大为复数域，得到复数项级数和复函数项级数. 二、讲授新课 （一）复数项级数 1.基本概念 (1)n12n,n1n为复数 (2)若limSnS,称级数收敛于S，称S为级数的和，即Sn. nn12.判定定理 定理 级数nanibn收敛于aiban,bn分别收敛于a,b. n1n1n1n1定理(柯西准则) 级数n收敛0,NN,nN,pN,有 n1 注：①级数n收敛limn0； n1n②收敛级数的各项必有界； ③若级数去掉有限项，不影响其敛散性. 定理 n收敛级数n收敛 n1n11i例 判断级数n的敛散性. 2n1n11解：发散，虽然n收敛，但原级数发散. n1nn12（二）一致收敛的复函数项级数 1.基本概念 (1)复函数项级数fnzf1zf2zfnz n1(2)若复函数项级数的各项在点集E上有定义，且在E上存在一个函数fz，对于E上的每一点z，级数均收敛于fz，则称fz为级数fnz的和函数. n12. 一致收敛 回忆数学分析中级数敛散性的判别法，平行推广到复变函数中 定理由学生猜测结果并证明,教师给予及时评价 由柯西准则得出3点注释,注①的逆否命题可以判断级数发散 介绍绝对收敛和条件收敛的概念 例较简单，由学生完成 解释复函数项级数和复数项级数的联系 强调收敛和一致收敛的区别，让学生把握区别和联系. 解题关键是摆脱z,找正数列Mn 定理和也和数学分析中相应的定理平行. 收敛的证明相对简单，学生分组讨论完成，绝对收敛由老师给出证明过程 学生总结本

(1)对于级数n1fnz，如果在点集E上有一个函数fz，使对任给0，存在正整数NN，当nN时，对一切的zE均有fzsnz，则称级数堂课知识，不足的教师补充 fz在E上一致收敛于fz. nn1(2)定理(柯西一致收敛准则) 级数在点集E上一致收敛于某函数充要条件是0,NN,nN时,对一切zE,pN,均有fn1zfnpz. 3. 优级数准则 若存在正数列Mn，使对一切zE有fnzMn且正项级数 Mn1n收敛，则复函数项级数fnz在集E上绝对收敛且一致收敛. n1例 级数1zz2zn1在闭圆zrr1上一致收敛. 4.一致收敛的应用. 定理 设级数fnz的各项在点集E上连续，并且一致收敛于fz，则和函数n1fzfnz也在E上连续. n1定理 设级数fnz的各项在曲线C上连续，并且在C上一致收敛于fz，则沿n1C可以逐项积分fzdzfnzdz. Cn1C（三）解析函数项级数（选学） 定理 设(1)函数fnz在区域D内解析;(2)fnz在D内内闭一致收敛于fz; 则n1(1)函数fz在区域D内解析;(2)fnn1pz=fnpzzD,p1,2,; (3)fnn1pz在D内闭一致收敛于fnpz. n三、课堂练习 证明级数1n1n1收敛，但非绝对收敛. in1nn1n11思路：1，利用莱布尼茨1i122in1n1n11n1n11n1

法则证明两个交错级数收敛，由1断级数非绝对收敛. n1in11n1211n22n21判n四、课堂小结 复数项级数敛散性，一致收敛性 五、布置作业 P178—1(2)(3) 板 书 设 计 板书1 1、复数项级数的基本概念 例 判定定理 板书2 2.一致收敛的复函数项级数 3.解析函数项级数 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备

幂级数 2015级数学教育 班 理论 1.掌握幂级数敛散性的判定方法 2.会求幂级数的收敛半径 重点：幂级数收敛半径的求法. 难点：阿贝尔定理的证明. 三角板 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时

教学方法 教学 主要内容 讲授法、讨论法 一、幂级数的敛散性 二、收敛半径的求法 教 学 过 程 设 计 备 注 回忆数学分幂级数是最特殊的数项级数，相对比与数学分析中的幂级数，相应的知识可以析中阿贝尔定理内容，平移过来. 类比结果由学生给出，二、讲授新课 教师给予及（一）幂级数的敛散性 时评价 n2 定义具有cnzac0c1zac2za形式的复函数项级数称为幂级放大法寻找n0优级数 数，其中c0,c1,c2,和a都是复常数.如果作变换za，则以上幂级数还可以写方法相同,找优级数,摆脱z放大 成如下形式(把仍改写为z)cnznc0c1zc2z2 用反证法证n0明，由学生n定理（阿贝尔定理） 如果幂级数cnza在某点z1收敛，则它必在圆完成. n0收敛半径R0 K:zaz1a内绝对收敛且内闭一致收敛. 收敛半径R n证 (证绝对收敛)设z时所述圆K内的任意定点.因为cnza收敛，它的各项级数在收敛n0圆内绝对收n必然有界，即有正数M，使cnzaMn0,1,2,这样一来，即有 敛，在圆周上不一定收nnza敛.收敛圆nnza，注意到，故级数cnzacnz1aMzaza1za周上的点不za11一定收敛，n它只是敛散zanM为收敛的等比级数. 因而cnza在圆K内绝对收敛. 的一个界限 z1an0n0补充“上极(证内闭一致收敛)对K内任一闭圆K:za0z1a上的一切点来限”定义:给定无穷数nnzan，故cnzan在K上有收敛的优级列，由它的M说，有cnzaMzaz1a一切收敛子n01序列的极限n值所成的集.因而它在K上绝对且一致收敛，此级数必在圆K内绝对且内闭数Mza合中元素的n01最大值. 一致收敛. 应用定理解决例，例题一、导入新课

推论 若幂级数cnza在某点z2a发散，则它在以a为心并通过z2的圆周nn0外部发散. 对于幂级数，在za这一点总是收敛的，za时可能有下述三种情况： 第一种 任意的za，级数cnza均发散. nn0例如，级数1z22z2nnzn 第二种 任意的z，级数cnza均收敛. nn0较简单，前三题由学生完成，第四题教师启发思路，师生共同完成 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 z2zn例如，级数1z2n 2n第三种 存在一点z1，使cnza收敛，另外又存在一点z2，使cnzann0n0nn发散.在这种情况下，存在一个有限正数R，使得cnza在圆周zaR内部n0绝对收敛，在圆周zaR外部发散.R称为此幂级数的收敛半径；圆zaR和圆周zaR分别称为它的收敛圆和收敛圆周. （二）收敛半径R的求法 定理 如果幂级数cnza的系数cn满足 nn0limcn1l(达朗贝尔) ncn或limncnl(柯西) n或limncnl(柯西-阿达马) n则幂级数cnza的收敛半径 nn0 例 试求下列各幂级数的收敛半径R. znzn (1)2 (2) (3)n!zn (4)1z1z4z9 n0nn0n!n0cn1解 (1)Rlimnlim1， ncnnn12

(2)llimcn1ncn1n1!0,R limn1n!(3)llimcn1n1!,R0 limncnn!n(4)因当n是平方数时，cn1，其他情形cn0.因此，相应有ncn1或0，于是数列c的聚点是0和1，从而l1,R1. nn三、课堂练习 求下列幂级数的收敛半径 四、课堂小结 幂级数的相关概念以及幂级数收敛半径的求法 五、布置作业 P178—1(1)(2)，P178—2 板 书 设 计 板书1 1、幂级数的敛散性 板书2 2收敛半径的求法 例 教学反思 章 节 解析函数的泰勒展式

授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 教学 主要内容 2015级数学教育 班 理论 1.掌握解析函数等价条件 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 2.会将简单初等函数在某点展成泰勒级数 重点：将解析函数在某一点展成泰勒级数. 难点：泰勒定理的证明. 三角板、圆规 讲授法、讨论法 一、泰勒定理 二、一些初等函数的泰勒展式 教 学 过 程 设 计 备 注 此级数称为泰勒级数，系数的两个形式分别是积分式和微分式 证明关键：利用柯西积分公式 泰勒定理证明较难理解，采取分层次教学，有余力学生尽量掌握 一致收敛部分较难理解 唯一性证明由学生完成 提问解析函数四个等价定理，重点强调 熟记这些公式，在解题中有重要应用 强调按照z1的幂展一、回顾旧知、导入新课 上一节我们了解到，任一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数，本节我们来研究它的逆命题也是成立的，于是得到了解析函数的又一等价定理. 二、讲授新课 （一）泰勒定理 定理 设fz在D内解析，aD，只有圆K:zaR含于D，则fz在K内能1ffna展成幂级数，fzcnza.其中cn dn12in!an0n 证 设z为K内任意取定的点，存在圆周:a0R，使点z含在的内部.由柯西积分公式得fzn1fd.其中 2izzaf其中一致收敛，M，二者乘aan0积一致收敛.于是 唯一性 可设另一展式，证明系数相等即可. 图 定理（解析函数等价定理4）fz在D内解析fz在D内任一点a的邻域内可展成za的幂级数，即泰勒级数.

（二）一些函数的泰勒展式 例 试将函数fz 解 fzz按z1的幂展开，并指明收敛区间. z2z2211 z13z2z2三、课堂练习 将函数fzz1按z1的幂展开，并指明收敛区间. z1开，需将函数化成有关z1的式子 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 四、课堂小结 五个初等函数的泰勒展式 五、布置作业 P179—7(1)(2)(3) 板 书 设 计 板书1 1、泰勒定理 证明 板书2 解析函数四个等价定理 例题 2.一些函数的泰勒展式 五个泰勒展式 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的

解析函数零点的孤立性及唯一性定理 2015级数学教育 班 理论 1.会求函数零点及零点的阶 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时

2.明确零点的孤立性和唯一性 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 教学 主要内容 重点：解析函数零点的阶. 难点：零点的孤立性和唯一性. 三角板 讲授法、讨论法 一、解析函数的零点 二、零点的孤立性及唯一性 教 学 过 程 设 计 备 注 零点定义对应于数学分析中相应定义 定义法由学生总结求解步骤 教材上未给出充分性证明，教师提示方法，由学生完成证明 分别用定理法和定义法求解 在x0可微可由定义求证 定理用到第一章例结论 在点列上函数等值,则两函数在区域上等值(利用局部判断整体) 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 一、导入新课 在很多实际问题中，往往需要研究使一个函数等于零的点，即求根。本节我们从函数fz根的分布情况来研究fz0的问题. 二、讲授新课 （一）解析函数的零点 1.定义 若fa0，称a为fz的零点. 2.定义 若fafafafm1a0,但fma0，称a为m阶 零点. 3.求零点的方法 (1)定义法(按定义求各阶导数，带零点，判断哪阶不为零) (2)定理法 定理 不恒为零的解析函数fz以a为m阶零点的充要条件为 fzzaz，其中z在zaR内解析，且a0. mfmafm1amzazam1 证 必要性 fzm1!m!fmafm1aza即可. 只要设zm1!m! 充分性 已知fzzaz，其中z在zaR内解析，且a0，则mzc0c1zac2za2，于是fzc0zamc1zam1,即fafafafm1a0，即a为fz得m阶零点. 例 求z0为fzzsinz的零点的阶数.

z3z5z3z5z2313解 [法一] fzzzzzz 3!5!3!5!3!5!且z解析，且a0，a为三阶零点. [法二] f00sin00;f01coszz0;f0sinzz00; f0coszz010，由定义知z0为fzzsinz的三阶零点. 12xsin,x0 注 实变函数的零点不一定孤立，例fx在x0可微,x0, xx00,x1为零点，但x0不是一个孤立的零点. n（二）零点的孤立性及唯一性 1.孤立性 定理 不恒为零的解析函数的零点必是孤立的. 推论 零点不孤立，函数恒为零. 2.唯一性定理 定理 设(1)f1z和f2z在D内解析;(2)D内有一个收敛于aD的点列 znzna.在其上f1z和f2z等值，则f1z和f2z在D内恒等. 推论 点列子区域 (小弧段) 三、课堂练习 求sinz1的全部零点，并指出它们的阶. 四、课堂小结 解析函数零点及阶的概念，求阶数的方法，零点的孤立和唯一性 五、布置作业 P179—8 板 书 设 计

板书1 1、解析函数的零点 例题 (1)零点 (2)阶 (3)阶的求法 练习 板书2 2.零点的孤立性及唯一性 (2)唯一性 (1)孤立性 定理及推论 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 解析函数的洛朗展式 2015级数学教育 班 理论 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 1.掌握解析函数在圆环内及孤立奇点内的洛朗展式 教学目的 2.会求解析函数在其解析区域内及孤立奇点内的洛朗展式 3.培养学生归纳、总结的能力 教 学 重点和难点 教学(具)准备 教学方法 重点：解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式. 难点：洛朗定理的证明. 三角板、圆规 讲授法、讨论法 一、双边幂级数 教学 主要内容 二、解析函数的洛朗展式 三、洛朗级数和泰勒级数的关系 四、解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式

教 学 过 程 设 计 备 注 对比两个级数,经过变换后,找到两个级数的公共收敛区域,导出双边幂级数的概念 由学生找出洛朗定理和泰勒定理的异同之处 由学生猜测洛朗级数和泰勒级数的关系，教师给予及时评价 (1)题比较简单,由学生完成,(2)(3)两题较难,采取引导启发式教学法 从形象上认识孤立奇点的概念 (1)(2)两题比较简单,由学生完成,(3)(4)两题较难,采取引导启发式教学法 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 一、导入新课 上一章我们用泰勒级数来表示圆形区域内的解析函数，但某些函数在圆心无意义，无法表成泰勒级数.本章研究圆环rzaRr0,R内解析函数的级数表示，并以此为工具研究解析函数在孤立奇点邻域内的性质. 二、讲授新课 （一）双边幂级数 级数c0c1zac2za为幂级数，在zaR内表一解析函数 2级数c1c2112cc作变换后变为 它 在12zaza2zar10内表一解析函数，当且仅当rR时，二者有公共收敛区域rH:rzaR.则二者求和为 此为双边幂级数. （二）解析函数的洛朗展式 定理(洛朗定理) 在圆环H:rzaRr0,R内的解析函数fz必可展成双边幂级数fzncnza，其中cnn1fd. 为圆周n12iaarR，且展式唯一. 证 z为H内任一取定点，总存在圆周1:a1和2:a2，使得z含于1za2内（如图5-1），因为函数fz在1za2内解析. 于是有fz1fd 2i21z上述两积分分别记作①和② 图5-1 1f1fndcza,cd 对于①，nnn1222iz2ian0ff对于②，被积函数zzafaazazan01za1n1

1fa则②变为2i1zan1zan1d1fn dzan112ian1cn. 二者相加即得结果. nzan1（三）洛朗级数和泰勒级数的关系 圆是圆环的特殊情形，则泰勒级数是洛朗级数的特殊情形. 例 求fz1z1z2在其解析区域内的洛朗展式. 解 (1)在圆z1内，z1. 2(2)在圆环1z2内，z11,1. 2z21. z(3)在圆环2z内，（四）解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 1. 基本定义 定义 点a的去心邻域Ka:0zaR 定义 fz在0zaR内解析，点a是fz的奇点，则a为fz的一个孤立奇点. 2. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 若a为fz的一个孤立奇点，则必存在正数R，使fz在a的去心邻域Ka: 0zaR内可展成洛朗级数. 例 fz1z1z2在z平面内只有两个奇点z1,z2.试求fz分别在(1)0z11 (2)0z21 (3)1z1 (4)1z2内的洛朗展式. 解 (1)在0z11内 (2)在0z21内 (3)在1z1内，(4)在1z2内，11. z111. z2三、课堂练习

将z1分别在0z11和1z1内展成洛朗展式. 2zz1四、课堂小结 双边幂级数；洛朗展式；解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 五、布置作业 P217—1(1)(2)，P219—5 板 书 设 计 板书1 1、双边幂级数 2.洛朗展式 定理 证明 板书2 例题 3.泰勒级数、洛朗级数的关系 板书3 4、解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 例题 (1)基本概念 (2)解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 板书4 练习题 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 解析函数的孤立奇点 2015级数学教育 班 理论 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时 1.掌握孤立奇点的三种类型，会判别孤立奇点的类型 2.培养学生归纳总结的能力 重点：孤立奇点类型的判别. 难点：极点阶的求法. 三角板

教学方法 讲授法、讨论法 一、孤立奇点的三种类型 二、可去奇点 教学 主要内容 三、极点 四、本质奇点 五、判断奇点类型的方法 教 学 过 程 设 计 备 注 正则部分也孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型，以解析函数的洛朗展叫做解析全存 式为工具，我们能在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质，本节我强调主要部分是负数次们来研究孤立奇点的分类及性质. 幂部分 二、讲授新课 提示学生证（一）孤立奇点的三种类型 明思路，分组讨论完成nn 1.定义 fzcnzacnza前后两部分级数分别叫做函数fz的证明，教师n0n1给予及时评正则部分和主要部分. 价 定理可判断2.孤立奇点分类 a是否是极定义 设a为fz的孤立奇点 点，定理可判断极点的(1)fz在a的主要部分为零，称a为fz的孤立奇点； 阶 其他两步证cm1cmc1aafz(2)在的主要部分为有限项，设为，则称为明由学生讨zazamzam1论完成 fz的m阶极点； 观察定理至,找到突(3)fz在a的主要部分为无限多项，称a为fz的本质奇点. 破点,讨论（二）可去奇点 并总结判断定理 如果a为fz的可去奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条奇点类型的方法 都是可去奇点的特征. 例题的求解过程师生共(1)fz在点a的主要部分是零； 同完成 (2)limfzb； 练习题较例za题难,学生(3)fz在点a的某去心邻域内有界. 掌握起来略有困难，教证明思路：只要证明(1)(2),(2)(3),(3)(1)即可. 师给予学生充分时间思一、导入新课

（三）极点 定理 如果a为fz的极点limfz za定理 如果a为fz的m阶极点，则下列三条都是m阶极点的充要条件. (1) fz在点a的主要部分是m项； (2)fz在点a的某去心邻域内能表成fz析，且a0； (3)gz1以点a为m阶零点. fz1 fz考和求解,并给予提示 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 zzam，其中z在点a邻域内解证 这里只证明(2)(3)：若(2)为真，则在点a的某去心邻域内有gzm11za0，因此a为fz的可去奇其中在点a的某邻域内解析，且zaz点，作为解析点来看，只要令ga0,a就为gz的m阶零点. （四）本质奇点 定理 如果a为fz的本质奇点，则下列三条都是m阶极点的充要条件. (1)fz在点a的主要部分为无穷多项； b(2)limfz,即limfz不存在. zana（五）判断奇点类型的方法 1.求出函数的奇点，判断孤立性 (1)非孤立奇点(下结论)； (2)孤立奇点(进入2). b可去奇点2.limfz不存在本质奇点. za极点，进入33.根据定理判定极点的阶. 例 fz5z11以z1为一阶极点，z为二阶极点. 22z12z11z例 z0为e的本质奇点. 三、课堂练习 1.求出fz

1的有限奇点，并确定它们的类别. sinzcosz

1ez2. 求出fz的有限奇点，并确定它们的类别. 1ez四、课堂小结 孤立奇点类型的判别，极点阶数的确定 五、布置作业 P218—4，P219—8 （有限奇点部分） 板 书 设 计 板书1 1、孤立奇点的三种类型 3.极点 2.可去奇点 板书2 4.本质奇点 例题 5.判断奇点类型的方法 教学反思 章 节 授课班级 授课类型 教学目的 教 学 重点和难点 教学(具)准备 解析函数在无穷远点的性质 2015级数学教育 班 理论 1.掌握无穷远点的奇点类型的判别 2.培养学生类比、归纳猜想的能力 重点：无穷远点的奇点类型的判别. 难点：无穷远点处的洛朗展式的推导. 三角板、圆规 授课时间 学时数 20 年 月 日 学时

教学方法 教学 主要内容 讲授法、讨论法 一、孤无穷远点奇点类型 二、无穷远点奇点类型的判别方法 教 学 过 程 设 计 备 注 强调主要部分是正数次幂部分 类比有限奇点的判定方法，由学生讨论并总结判断无穷远点奇点类型的方法，注意区别和联系 极点阶数由学生完成 学生总结本堂课知识，不足的教师补充 一、导入新课 上一节讨论的是函数的孤立奇点为有限的情形,由于函数fz在无穷远点总是无意义的,所以无穷远点总是fz的奇点.本节我们来研究无穷远点奇点的性质. 二、讲授新课 （一）基本定义 1.定义 设fz在无穷远点的(去心)邻域N:0rz内解析，称点为fz的一个孤立奇点. 2.函数fz在点的洛朗展式的推导： 作变换z 1 得到结果如下(令bncn) z 此为函数在点的洛朗展式 在K0内解析 在N内解析 1n函数在点的洛朗展式的主要部分为cnzcnncnzbnzn znnn1n1n11（二）孤立奇点的分类 1.若已求出的孤立奇点中含k，则讨论limzk,判断是否是非孤立奇点. k2.若不含k，则讨论 3.判断极点的阶 (1)主要部分为b1zb2z2bmzmbm0 (2)fzzmz，其中z解析，且0 (3)gz1以z为m阶零点. fz例 求fz解 fztanz1的所有奇点，并确定其类别. z1sinz1的孤立奇点为z1,zk1k,kZ. limfz1 z1z1cosz12

则z1为fz的可去奇点.limfz则zzk为fz的极点，且为一阶极点. zzk对于点,当k时,zk，即zk以为聚点，则z为非孤立奇点. 三、课堂练习 1.求出fze的所有奇点，并确定它们的类别. ze1z1z1z12. 求出fze的所有奇点，并确定它们的类别. 四、课堂小结 无穷远点类型的判别 五、布置作业 P218—4，P219—8 （无穷远点部分） 板 书 设 计 板书1 1、基本定义 2.孤立奇点的分类 板书2 例题 练习题 教学反思