高考真题汇编——理科数学(解析版)13：概率

2021（高|考）真题分类汇编：概率

1.【2021（高|考）真题辽宁理10】在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形 ,领边长分别等于线段AC ,CB的长 ,那么该矩形面积小于32cm2的概率为 (A)

1124 (B) (C) (D) 6335【答案】C

【解析】设线段AC的长为xcm ,那么线段CB的长为(12x)cm,那么矩形的面积为

x(12x)cm2 ,

由x(12x)32 ,解得x4或x8 .又0x12 ,所以该矩形面积小于32cm2的概率为

2 ,应选C 3【点评】此题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算 ,以及分析问题的能力 ,属于中档题 .

2.【2021（高|考）真题湖北理8】如图 ,在圆心角为直角的扇形OAB中 ,分别以OA ,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB

内随机取一点 ,那么此点取自阴影局部的概率是

11 2π21C． D．

ππ【答案】A

A．1B．

【解析】令OA1 ,扇形OAB为对称图形 ,ACBD围成面积为S1 ,围成OC为S2 ,作对称轴OD ,那么过C点 .S2即为以OA为直径的半

圆

面

积

减

去

三

角

形

OAC

的

面

2 π第8题图

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S111112积 ,S2 .在扇形OAD中1为扇形面积减去三角形OAC面积

2222228和

2S2S11121S2212 , ,S1S2 ,扇形OAB面积S ,选A.

2442882163.【2021（高|考）真题广东理7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个 ,其个位数为0的概率是 A.

4121 B. C. D. 9399【答案】D

【解析】法一：对于符合条件 \"个位数与十位数之和为奇数的两位数〞分成两种类型：一是十位数是奇数 ,个位数是偶数 ,共有5525个 ,其中个位数为0的有10,30,50,70,90共5个；二是十位数是偶数 ,个位数是奇数 ,共有4520 ,所以P51．应选D．

25209法二：设个位数与十位数分别为x,y ,那么xy2k1 ,k1,2,3,4,5,6,7,8,9 ,所以x,y分别

11为一奇一偶 ,第|一类x为奇数 ,y为偶数共有C5C525个数；第二类x为偶数 ,y为奇数11共有C4C520个数 .两类共有45个数 ,其中个位是0 ,十位数是奇数的两位有

10,30,50,70,90这5个数 ,所以其中个位数是0的概率是

51 ,选D . 4594.【2021（高|考）真题福建理6】如下图 ,在边长为1的正方形OABC中任取一点P ,那么点P恰好取自阴影局部的概率为

A.

1111 B. C. D. 4567【答案】Ｃ.

【解析】根据定积分的几何意义可知阴影局部的面积

211S(xx)dx(x2x2)|1 ,而正方形的面积为１ ,所以点Ｐ恰好取自阴影局部0032613的概率为

1．应选Ｃ． 60x2, ,表示平面区域为D ,在区域D内随

0y25.【2021（高|考）真题北京理2】设不等式组公众号：惟微小筑

机取一个点 ,那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是 (A )

【答案】D

24 (B ) (C ) (D )

24460x2【解析】题目中表示的区域如图正方形所示 ,而动点D可

0y2以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积局部 ,因此

1222244 ,应选D . P224

6.【2021（高|考）真题上海理11】三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛 ,假设每人都

选择其中两个工程 ,那么有且仅有两人选择的工程完全相同的概率是 (结果用最|简分数表示 ) . 【答案】

2 3222【解析】三位同学从三个工程选其中两个工程有C3C3C327中 ,假设有且仅有两人选择的221工程完成相同 ,那么有C3C3C218 ,所以有且仅有两人选择的工程完成相同的概率为

182 . 2737.【2021（高|考）真题新课标理15】某个部件由三个元件按以下图方式连接而成 ,元件1或元件2正常工作 ,且元件3正常工作 ,那么部件正常工作 ,设三个电子元件的使用寿命 (单位：小时 )均服从正态分布N(1000,502) ,且各个元件能否正常相互独立 ,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

【答案】

3 82【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,50)

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p

1 2

3 42超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P11(1p)公众号：惟微小筑

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2p1p3. 88.【2021（高|考）江苏6】 (5分 )现有10个数 ,它们能构成一个以1为首|项 ,3为公比的等比数列 ,假设从这10个数中随机抽取一个数 ,那么它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】

3 . 5【考点】等比数列 ,概率 .

【解析】∵以1为首|项 ,3为公比的等比数列的10个数为1 ,－3 ,9 , -27 ,···其中有5个负数 ,1个正数1计6个数小于8 ,

∴从这10个数中随机抽取一个数 ,它小于8的概率是9.【2021（高|考）真题四川理17】(本小题总分值12分)

某居民小区有两个相互独立的平安防范系统 (简称系统 )A和B ,系统A和B在任意时

63= . 105刻发生故障的概率分别为

1和p . 1049 ,求p的值； 50 (Ⅱ )设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ,求的概率分布列

(Ⅰ )假设在任意时刻至|少有一个系统不发生故障的概率为及数学期望E .

【答案】此题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等根底知识 ,考查实际问题的数学建模能力 ,数据的分析处理能力和根本运算能力.

【解析】

10．【2021（高|考）真题湖北理】 (本小题总分值12分 )

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根据以往的经验 ,某工程施工期间的降水量X (单位：mm )对工期的影响如下表：

降水量X 工期延误天数Y X300 300X700 700X900 X900 0 2 6 10 历年气象资料说明 ,该工程施工期间降水量X小于300 ,700 ,900的概率分别为0.3 ,0.7 ,0.9. 求：

(Ⅰ )工期延误天数Y的均值与方差；

(Ⅱ )在降水量X至|少是300的条件下 ,工期延误不超过6天的概率.

【答案】 (Ⅰ )由条件和概率的加法公式有：

P(X300)0.3,P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4 ,

P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2. P(X900)1P(X900)10.90.1.

所以Y的分布列为：

0 2 6 10 Y 于

P 是 ,E(Y)00.320.460.2100.13；

D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.

故工期延误天数Y的均值为3 ,方差为9.8. (Ⅱ )由概率的加法公式 ,P(X300)1P(X300)0.7，

又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.

P(300X900)0.66. 由条件概率 ,得P(Y6X300)P(X900X300)P(X300)0.776故在降水量X至|少是300mm的条件下 ,工期延误不超过6天的概率是.

711.【2021（高|考）江苏25】 (10分 )设为随机变量 ,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条 ,当两条棱相交时 ,0；当两条棱平行时 ,的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时 ,1．

(1 )求概率P(0)；

(2 )求的分布列 ,并求其数学期望E()．

【答案】解： (1 )假设两条棱相交 ,那么交点必为正方体8个顶点中的一个 ,过任意1个顶点恰有3条棱 ,

∴共有8C32对相交棱 .

8C32834 . ∴ P(0)=2C126611公众号：惟微小筑

(2 )假设两条棱平行 ,那么它们的距离为1或2 ,其中距离为2的共有6对 , ∴

P(2)=661416 ,P(1)=1P(0)P(2)=1= . 2C126611111111 ∴随机变量的分布列是：

 P() 0 1 2 6 116162 ∴其数学期望E()=12= . 111111【考点】概率分布、数学期望等根底知识 .

4 111 11【解析】 (1 )求出两条棱相交时相交棱的对数 ,即可由概率公式求得概率P(0) . (2 )求出两条棱平行且距离为2的共有6对 ,即可求出P(2) ,从而求出

P(1) (两条棱平行且距离为1和两条棱异面 ) ,因此得到随机变量的分布列 ,求出其数学

期望 .

12.【2021（高|考）真题广东理17】 (本小题总分值13分 )某班50位学生期（中|考）试数学成绩的频率分布直方图如图4所示 ,其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]． (1 )求图中x的值；

(2 )从成绩不低于80分的学生中随机选取2人 ,该2人中成绩在90分以上 (含90分 )的人数记为 ,求得数学期望．

【答案】此题是在概率与统计的交汇处命题 ,考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望 ,考查学生应用数学知识解决实际问题的能力 ,难度中等 .

【解析】

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13.【2021（高|考）真题全国卷理19】 (本小题总分值12分 ) (注意：在试题卷上作答无效 ) ．．．．．．．．．乒乓球比赛规那么规定：一局比赛 ,双方比分在10平前 ,一方连续发球2次后 ,对方再连续发球2次 ,依次轮换.每次发球 ,胜方得1分 ,负方得0分.设在甲、乙的比赛中 ,每次发球 ,发球方得1分的概率为0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中 ,甲先发球. (Ⅰ )求开始第4次发球时 ,甲、乙的比分为1比2的概率； (Ⅱ )表示开始第4次发球时乙的得分 ,求的期望. 【答案】

14.【2021（高|考）真题浙江理19】(本小题总分值14分)箱中装有4个白球和5个黑球 ,且规定：取出一个白球的2分 ,取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回 ,且每球取到的时机均等)3个球 ,记随机变量X为取出3球所得分数之和．

(Ⅰ)求X的分布列； (Ⅱ)求X的数学期望E(X)．

【答案】此题主要考察分布列 ,数学期望等知识点 . (Ⅰ) X的可能取值有：3 ,4 ,5 ,6．

31C5C52C4520 P(X3)3； P(X4)3；

42C942C9123C5C415C42P(X5)； P(X6)3． 342C9C942公众号：惟微小筑

故 ,所求X的分布列为

X 3 5 424 201042215 15542146 214221P (Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为： E(X)＝iP(Xi)3i465105191456． 422114212115.【2021（高|考）真题重庆理17】 (本小题总分值13分 , (Ⅰ )小问5分 , (Ⅱ )小问8分. )

甲、乙两人轮流投篮 ,每人每次投一票.约定甲先投中者获胜 ,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为投篮互不影响.

(Ⅰ ) 求甲获胜的概率；

(Ⅱ )求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 【答案】

11 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次32

16.【2021（高|考）真题江西理29】 (此题总分值12分 )

如图 ,从A1 (1,0,0 ) ,A2 (2,0,0 ) ,B1 (0 ,2 ,0 ) ,B2 (0,2,0 ) ,C1 (0,0,1 ) ,C2 (0,0,2 )这6个点中随机选取3个点 ,将这3个点及原点O两两相连构成一个 \"立体〞 ,记该 \"立体〞的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内 ,此时 \"立体〞的体积V =0 ) .

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(1 )求V =0的概率；

(2)求V的分布列及数学期望 . 【答案】

【点评】此题考查组合数 ,随机变量的概率 ,离散型随机变量的分布列、期望等. （高|考）中 ,概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体 ,考查统计学中常见的数据特征：如平均数 ,中位数 ,频数 ,频率等或古典概型；二、以应用题为载体 ,考查条件概率 ,独立事件的概率 ,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第|一种方向的考查.

17.【2021（高|考）真题湖南理17】本小题总分值12分 )

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 ,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据 ,如下表所示. 一次购物量 1至|4件 顾客数 (人 ) x 结算时间 (分钟/人 ) 1 5至|8件 30 9至|12件 25 2 13至|16件 y 17件及以上 10 3 这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.

(Ⅰ )确定x ,y的值 ,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；

(Ⅱ )假设某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算 ,且各顾客的结算相互独立 ,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. (注：将频率视为概率 )

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【答案】 (1 )由,得25y1055,xy35,所以x15,y20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 ,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本 ,将频率视为概率得

153303251,p(X1.5),p(X2), 10020100101004201101,p(X3). p(X2.5)100510010X的分布为

p(X1) X 1 P X的数学期望为 E(X)1 2 3 33111 20104510331111.522.531.9. 20104510 (Ⅱ )记A为事件 \"该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟〞 ,Xi(i1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间 ,那么

P(A)P(X11且X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21). 由于顾客的结算相互独立 ,且X1,X2的分布列都与X的分布列相同 ,所以

P(A)P(X11)P(X21)P(X11)P(X21.5)P(X11.5)P(X21) 3333339. 202020101020809. 80【解析】

【点评】此题考查概率统计的根底知识 ,考查分布列及数学期望的计算 ,考查运算能力、分析问题能力.第|一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知

25y1010055%,xy35,从而解得x,y ,计算每一个变量对应的概率 ,从而求得

分布列和期望；第二问 ,通过设事件 ,判断事件之间互斥关系 ,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.

18.【2021（高|考）真题安徽理17】 (本小题总分值12分 )

某单位招聘面试 ,每次从试题库随机调用一道试题 ,假设调用的是A类型试题 ,那么使用后该试题回库 ,并增补一道A类试题和一道B类型试题入库 ,此次调题工作结束；假设调用的是B类型试题 ,那么使用后该试题回库 ,此次调题工作结束 .试题库中现共有nm道试题 ,其中有n道A类型试题和m道B类型试题 ,以X表示两次调题工作完成后 ,试题库中A类试题的数量 .

(Ⅰ )求Xn2的概率；

(Ⅱ )设mn ,求X的分布列和均值 (数学期望 ) .

【答案】此题考查根本领件概率、条件概率 ,离散型随机变量及其分布列 ,均值等根底知

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识 ,考查分类讨论思想和应用于创新意识 .

【解析】 (I )Xn2表示两次调题均为A类型试题 ,概率为 (Ⅱ )mn时 ,每次调用的是A类型试题的概率为p随机变量X可取n,n1,n2

nn1 mnmn21 , 2P(Xn)(1p)2X P 1112 ,P(Xn1)2p(1p) ,P(Xn2)p 424n n1 n2 1 41 21 4111EXn(n1)(n2)n1 .

424nn1答： (Ⅰ )Xn2的概率为 , mnmn2 (Ⅱ )求X的均值为n1 .

19.【2021（高|考）真题新课标理18】 (本小题总分值12分 )

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进假设干枝玫瑰花 ,然后以每枝10元的价格出售 ,

如果当天卖不完 ,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1 )假设花店一天购进16枝玫瑰花 ,求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n (单位：枝 ,nN )的函数解析式.

(2 )花店记录了100天玫瑰花的日需求量 (单位：枝 ) ,整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

(i )假设花店一天购进16枝玫瑰花 ,X表示当天的利润 (单位：元 ) ,求X的分布列 ,

数学期望及方差；

(ii )假设花店方案一天购进16枝或17枝玫瑰花 ,你认为应购进16枝还是17枝 ?

请说明理由. 【答案】 (1 )当n16时 ,y16(105)80 当n15时 ,y5n5(16n)10n80

10n80(n15) 得：y(nN)

80(n16) (2 ) (i )X可取60 ,70 ,80

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P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7 X的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7 EX600.1700.2800.776 DX1620.1620.2420.744 (ii )购进17枝时 ,当天的利润为

y(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4

76.476 得：应购进17枝

20.【2021（高|考）真题山东理19】 (19 ) (本小题总分值12分 ) 先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次 ,命中的概率为分；向乙靶射击两次 ,每次命中的概率为

3 ,命中得1分 ,没有命中得042,每命中一次得2分 ,没有命中得0分.该射手每3次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ )求该射手恰好命中一次得的概率；

(Ⅱ )求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX. 【答案】

解析： (Ⅰ )P31211127()C2； 4343336 (Ⅱ )X0,1,2,3,4,5

P(X0)112131111121().P(X1)()2,P(X2)C2, 43364312433931121121321P(X3)C2,P(X4)()2,P(X5)()2

43334394330 1 2 3 4 5 X P 1111 939121111411153. EX =0× +1× +2× +3× +4× +5× =

9393123612121 361 3

21.【2021（高|考）真题福建理16】 (本小题总分值13分 )

受轿车在保修期内维修费等因素的影响 ,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首|次出现故障的时间有关 ,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车 ,保修期均为2年 ,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆 ,统计书数据如下：

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将频率视为概率 ,解答以下问题：

(I )从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆 ,求首|次出现故障发生在保修期内的概率； (II)假设该厂生产的轿车均能售出 ,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1 ,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2 ,分别求X1 ,X2的分布列；

(III )该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 ,由于资金限制 ,只能生产其中一种品牌轿车 ,假设从经济效益的角度考虑 ,你认为应该产生哪种品牌的轿车 ?说明理由. 【答案】

22.【2021（高|考）真题北京理17】 (本小题共13分 )

近年来 ,某市为了促进生活垃圾的风分类处理 ,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类 ,并分别设置了相应分垃圾箱 ,为调查居民生活垃圾分类投放情况 ,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾 ,数据统计如下 (单位：吨 )： \"厨余垃圾〞 \"可回收物〞 \"其他垃圾〞箱 箱 箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 100 240 20 100 30 60 (Ⅰ )试估计厨余垃圾投放正确的概率；

(Ⅱ )试估计生活垃圾投放错误额概率；

(Ⅲ )假设厨余垃圾在 \"厨余垃圾〞箱、 \"可回收物〞箱、 \"其他垃圾〞箱的投放量分别为

a,b,c其中a＞0 ,abc =600 .当数据a,b,c的方差s2最|大时 ,写出a,b,c的值 (结论不

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要求证明 ) ,并求此时s的值 . (注：s221[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] ,其中x为数据x1,x2,,xn的平均数 ) n4002=6003

解：由题意可知：由题意可知：

200+60+403=100010

1由题意可知：s2(a2b2c2120000)因此有当a600b0c0时有s280000．

323.【2021（高|考）真题陕西理20】 (本小题总分值13分 )

某银行柜台设有一个效劳窗口 ,假设顾客办理业务所需的时间互相独立 ,且都是整数分钟 ,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

从第|一个顾客开始办理业务时计时 .

(1 )估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

(2 )X表示至|第2分钟末已办理完业务的顾客人数 ,求X的分布列及数学期望 . 【答案】

24.【2021（高|考）真题天津理16】 (本小题总分值13分 )

现有4个人去参加某娱乐活动 ,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性 ,约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏 ,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏 ,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

(Ⅰ )求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(Ⅱ )求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

用X ,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数 ,记XY ,求随机变量的

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分布列与数学期望E.

【答案】