2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1全册模块综合测评及答案答案解析.docx

模块综合测评

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列说法中正确的是( )

A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价

C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”

D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

【解析】 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性． 【答案】 D

2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aD．既不充分也不必要条件

【解析】 由(a－b)a2<0⇒a≠0且a3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A．－9 C．9

B．－3 D．15

【解析】 y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.

【答案】 C

4．如果命题“﹁p且﹁q”是真命题，那么下列结论中正确的是( )

【导学号：63470097】

A．“p或q”是真命题 C．“﹁p”为真命题

B．“p且q”是真命题 D．以上都有可能

【解析】 若“﹁p且﹁q”是真命题，则﹁p，﹁q均为真命题，即命题p、命题q都是假命题．

【答案】 C

5．下列命题的否定为假命题的是( ) A．对任意x∈R，都有－x2＋x－1<0成立 B．对任意x∈R，都有|x|>x成立

C．对任意x，y∈Z，都有2x－5y≠12成立 D．存在x∈R，使sin2x＋sin x＋1＝0成立

【解析】 对于A选项命题的否定为“存在x∈R，使－x2＋x－1≥0成立”，显然，这是一个假命题．

【答案】 A

x2y2

6．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角

93

形面积等于( )

A．3

3

B．2D.

y2＝12x

3

33x，

3

C．2 【解析】 抛物线

的准线为x＝－3，双曲线的渐近线为y＝±3)、(－3,

3＝3

3)． 3.

则准线与渐近线交点为(－3，－

1

∴所围成三角形面积S＝×3×2

2【答案】 A

7．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为( )

A．5 C．8

B．6 D．10

【解析】 抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值为y1＋y2＋2＝8.

【答案】 C

y2

8．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|

163有( )

【导学号：63470098】

A．最大值16 C．最大值4

B．最小值16 D．最小值4

x2

【解析】 由椭圆的定义知a＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×4＝8.由基本不等|PF1|＋|PF2|282

式知|PF1|·|PF2|≤＝2＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成2立，所以|PF1|·|PF2|有最大值16.

【答案】 A

9．如图1所示，四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )

图1

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【解析】 因为三次函数的导函数为二次函数，其图像为抛物线，观察四图，由导函数与原函数的关系可知，当导函数大于0时，其函数为增函数；当导函数小于0时，其函数为减函数，由此规律可判定③④不正确．

【答案】 B

10．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在

ab双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范

x2

y2

围为( )

A．[2，＋∞) C．(1,2]

【解析】 由双曲线的定义知， |PF1|－|PF2|＝2a，

又|PF1|＝3|PF2|，∴|PF2|＝a.

即双曲线的右支上存在点P使得|PF2|＝a. 设双曲线的右顶点为A，则|AF2|＝c－a. 由题意知c－a≤a， ∴c≤2a.又c>a，

∴e＝≤2且e>1，即e∈(1,2]．

a【答案】 C

11．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图2所示的是y＝x·f′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是( )

c

B．[

2，＋∞)

2]

D．(1，

图2

A．f(1)与f(－1) C．f(－2)与f(2)

B．f(－1)与f(1) D．f(2)与f(－2)

【解析】 由图像知，f′(2)＝f′(－2)＝0.∵x>2时，y＝x·f′(x)>0，∴f′(x)>0， ∴y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增；同理f(x)在(－∞，－2)上单调递增；在(－

2,2)上单调递减．

∴y＝f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2)，故选C. 【答案】 C

12．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )

A．y2＝±4x C．y2＝4x 【解析】

B．y2＝±8x D．y2＝8x

aa

a>0时，F，0，直线l方程为y＝2x－，

44令x＝0得y＝－.

21aa

∴S△OAF＝··－＝4.

242解得a＝8.

同理a<0时，得a＝－8. ∴抛物线方程为y2＝±8x. 【答案】 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)

a

13．若双曲线－2＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则右焦点坐标为

4b2________.

【导学号：63470099】

x2y2b

【解析】 由－2＝1得渐近线方程为y＝±x，

4b2b1

∴＝，b＝1， 22

∴c2＝a2＋b2＝4＋1＝5， ∴右焦点坐标为(【答案】 (

5，0)．

x2y21

5，0)

14．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________． 【解析】 f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)， 当x<－1或x>11时，f′(x)>0，f(x)增加； 当－115．已知命题p：对任意x∈[0,1]，都有a≥ex成立，命题q：存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是____________.

【导学号：63470100】

【解析】 因为对任意x∈[0,1]，都有a≥ex成立，所以a≥e.由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，可得判别式Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命题“p且q”是真命题，所以p、q同为真，所以e≤a≤4.

【答案】 [e,4]

16．已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点与抛物线C2：y2＝4x的焦

ab点F重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF|＝.则椭圆C1的方

3程为________．

【解析】 抛物线C2的焦点F的坐标为(1,0)，准线为x＝－1，设点P的坐标为(x0，y0)，依据抛物线的定义，由|PF|＝，得1＋x0＝，解得x0＝.因为点

3332266P在抛物线C2上，且在第一象限，所以y0＝.所以点P的坐标为，.333

2

x2y248

因为点P在椭圆C1：2＋2＝1上，所以2＋2＝1.又c＝1，所以a2＝b2＋

ab9a3bx2y2

1，联立解得a2＝4，b2＝3.所以椭圆C1的方程为＋＝1.

43

x2y2

【答案】 ＋＝1

43

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)求与⊙C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切，且与⊙C2：(x－1)2＋y2＝9相内切的动圆圆心P的轨迹方程．

【解】 设动圆圆心P的坐标为(x，y)，半径为r， 由题意得，|PC1|＝r＋1，|PC2|＝3－r， ∴|PC1|＋|PC2|＝r＋1＋3－r＝4>|C1C2|＝2，

5

5

2

5

x2

y2

由椭圆定义知，动圆圆心P的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为2a＝4的x2y2

椭圆，椭圆方程为＋＝1.

43

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．

【解】 f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.

∵曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，∴f′1＝g′1f1＝g1

，

2a＝3＋b

即a＋1＝1＋b＝c

a＝3

，解得

b＝3

.

∴a，b的值分别为3,3.

19．(本小题满分12分)已知命题p：函数f(x)＝x3＋ax＋5在区间(－2,1)上不单调，若命题p的否定是一个真命题，求a的取值范围．

【解】 考虑命题p为真命题时a的取值范围，因为f′(x)＝3x2＋a，令f′(x)＝0，得到

x2＝－

a，

3

当a≥0时，f′(x)≥0，函数f(x)在区间(－2,1)上是增加的，不合题意； 当a<0时，由

x2＝－

a3

，得到x＝±

a

－，要使函数f(x)＝x3＋ax＋5在

3

－>－2，即a>－12， 3aa

区间(－2,1)上不单调，则

－<1或－3

综上可知－12故命题p的否定是一个真命题时，a的取值范围是a≤－12或a≥0. 20．(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N＋)．

4x＋32

(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？

【解】 (1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．

因为次品率p＝

，

4x＋32

3x

3x

3x

当每天生产x件时，有x·件次品，

4x＋323x有x1－件正品． 4x＋32

3x3x所以T＝200x1－－100x·4x＋32 4x＋3264x－x2＝25·(x∈N＋)．

x＋8x＋32x－16

(2)T′＝－25·， 2x＋8

由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)． 当00； 当x>16时，T′<0；

所以当x＝16时，T最大．

即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．

21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2－2tx＋4t3＋t2－3t＋3，其中x∈R，t∈R，将f(x)的最小值记为g(t)．

(1)求g(t)的表达式；

(2)讨论g(t)在区间[－1,1]内的单调性；

(3)若当t∈[－1,1]时，|g(t)|≤k恒成立，其中k为正数，求k的取值范围． 【解】 (1)f(x)＝(x－t)2＋4t3－3t＋3，当x＝t时，f(x)取得其最小值g(t)，即g(t)＝4t3－3t＋3.

(2)∵g′(t)＝12t2－3＝3(2t＋1)(2t－1)， 列表如下：

1－2，t 1－1，－ 2－ 21 12 1 20 极小 值1g 21，12 g′(t) ＋ 0 － ＋ 极大值 g(t) 1g－ 2 1111由此可见，g(t)在区间－1，－和，1上单调递增，在区间－，上

2222

单调递减．

11(3)∵g(1)＝g－＝4，g(－1)＝g＝2，

22∴g(t)最大值＝4，g(t)最小值＝2， 又∵|g(t)|≤k恒成立，

k≥4，

∴－k≤g(t)≤k恒成立，∴

－k≤2，

∴k≥4.

x2y2

22．(本小题满分12分)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的短轴长为2

ab右焦点F与抛物线y2＝4x的焦点重合，O为坐标原点．

(1)求椭圆C的方程；

3，

→→

(2)设A、B是椭圆C上的不同两点，点D(－4,0)，且满足DA＝λDB，若λ31∈，，求直线AB的斜率的取值范围． 82

【解】 (1)由已知得b＝

3，c＝1，a＝2，

x2y2

所以椭圆的方程为＋＝1.

43

→→

(2)∵DA＝λDB，∴D，A，B三点共线，而D(－4,0)，且直线AB的斜率一x2y2

定存在，所以设AB的方程为y＝k(x＋4)，与椭圆的方程＋＝1联立得

43

(3＋4k2)y2－24ky＋36k2＝0， 由Δ＝144k2(1－4k2)>0，得

k2<

14.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＋y2＝

36k2

，

3＋4k2

24k

y1·y2＝

3＋4k2

， ①

→→

又由DA＝λDB得：(x1＋4，y1)＝λ(x2＋4，y2)， ∴y1＝λy2

②

1＋λy＝3＋4k，将②式代入①式得：36k

λy＝，3＋4k

2

2

2

2

2

2

24k

消去y2得：

16

3＋4k2

＝

1＋λ2

λ

＝＋λ＋2. λ

1

311当λ∈，时，h(λ)＝＋λ＋2是减函数，

λ829121

∴≤h(λ)≤， 224

916121215

2∴≤≤，解得≤k≤，

23＋4k22448436又因为

k2<5

1

，所以

4484

21≤k2≤

，

365

21215

即－≤k≤－或≤k≤. 622226∴直线AB的斜率的取值范围是

215215∪. －，－，622226