2011海淀区高三期中练习文科数学试题及答案

海淀区高三年级第一学期期中练习

数 学(文科) 2010.11

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

要求的一项.

1．已知集合U1,2,3,4,5,6,7，A1,3,5,7，B1,3,5,6,7，则集合ðU(AB)是（ ）

A． 2,4,6} B． 1,3,5,7} C． 2,4} D．2,5,6} 2. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是（ ） A．ylog1x B．y21x C．yx3 D．ytanx

3．已知命题p:x0，使2x3，则

A．p:x0，使2x3 B．p:x0，使2x3 C．p:x0，使2x3 D．p:x0，使2x3 4．函数f(x)sin(x)(0)的一段图象如图所示，则 ＝（ ）

yA. C.414 B.

12

1 D.

222O12x15.已知a,blog23,csin160，则a,b,c的大小关系为（ ）

A．abc B．acb C． cab D． cba

6．已知向量a（1，0），b（0，1），cab（R），向量d如图所示.则（ ） A．存在0，使得向量c与向量d垂直 yB．存在0，使得向量c与向量d夹角为60

C．存在0，使得向量c与向量d夹角为30

dD．存在0，使得向量c与向量d共线

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7. 已知a1,a2,a3为一等差数列，b1,b2,b3为一等比数列，且这6个数都为实数，则下面四个结论中正确的是（ ）

①a1a2与a2a3可能同时成立； ②b1b2与b2b3可能同时成立； ③若a1a20，则a2a30； ④若b1b20，则b2b30

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 8．若存在负实数使得方程 2ax1x1成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．(2,) B. (0,) C. (0,2) D. (0,1)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.

9．已知角的终边经过点(1,1), 则sin的值是____________.

7410. 在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b5,c6,sinAcosA______,a__________.

,则

11．已知直线yex与函数f(x)e的图象相切，则切点坐标为 .

12．在矩形ABCD中，AB2,AD1, 且点E,F分别是边BC,CD的中点，则(AEAF)AC_________.

x

13．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.

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yyyOBAxOBAxOBAx(1)(2)(3)高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家

给出下说法：

①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；

②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．

其中所有说法正确的序号是 ．

14．设数列an的通项公式为an2n3,(nN*), 数列{bm}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最大值，则b2=____________，数列{bm}的通

项公式bm=________．

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15．（本小题共13分）

已知在等比数列{an}中，a11，且a2是a1和a31的等差中项. （I）求数列{an}的通项公式；

*（II）若数列{bn}满足bn2n1an(nN)，求{bn}的前n项和Sn.

16. （本小题共13分）

已知函数f(x)sin(2x6)cosx.

2（I）若f()1，求sincos的值； （II）求函数f(x)的单调增区间.

17．（本小题共14分）

x已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，f(x)().

12（I）求f(1)的值； （II）求函数f(x)的值域A； （III）设函数g(x)围.

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x(a1)xa的定义域为集合B，若AB，求实数a的取值范

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18．（本小题共13分）

已知定义在区间[0,6]上的二次函数f(x)ax2bxc满足f(0)f(6)0，且最

大值为9.过动点P(t,f(t))作x轴的垂线，垂足为A，连接OP（其中O为坐标原点）. （I）求f(x)的解析式；

（Ⅱ）记OAP的面积为S，求S的最大值. 19．（本小题共14分）

在数列{an}中，a1a2a3...annan（n1,2,3...）． （I）求a1,a2,a3的值；

（II）设bnan1，求证：数列{bn}是等比数列；

（III）设cnbn(nn2) （n1,2,3...），如果对任意nN*，都有cn最小值.

20．（本小题共13分）

1, x0对xR，定义sgn(x)0, x0．

1, x0t5，求正整数t的

（I）求方程x23x1sgn(x)的根；

（II）求函数f(x)sgn(x2)(xlnx)的单调区间； （III）记点集Sx,yxsgnx1ysgny110,x0,y0，

 点集Tlgx,lgyx,yS，求点集T围成的区域的面积．

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海淀区高三第一学期期中练习

数 学 (文科)

参及评分标准

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 答案 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） （9）

22（1） A （2） B （3） B (4) (5) (6) (7) (8) D C D B C （10）

34, 4 （11） (1,e) （12）

152 （13） ②③

（14）2， bmm3,m是奇数*2k1,m2k1(kN) 也可以写成：bm *m2,m是偶数k1,m2k(kN)2三、解答题(本大题共6小题,共80分) （15）（本小题共13分）

解：（I）设等比数列{an}的公比为 q a2是a1和a31的等差中项

2a2a1(a31)a3 ……………………………………….2分 qa3a22 ………………………………………4分

n1n1*2(nN)………………………………………6分 ana1q （II）bn2n1an

2n1 Sn(11)(32)(52)(2n12). ……….8分

[135(2n1)](12222n1)………..9分

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1(2n1)2n12n12 ……….11分

n22n1 ....……13分 16．（本小题共13分） 解：（I）f(x)sin2xcos326cos2xsin61cos2x2 ...3分（只写对一个公式给2分）

sin2x12 ..........5分

由f()1，可得sin2所以sincos1233 ............7分

sin2 ............8分

（II）当22k2x36 ............9分

2k,kZ， ...........11分

2即x[4k,4k],kZ时，f(x)单调递增.

所以，函数f(x)的单调增区间是[17．（本小题共14分）

4k,4k],kZ ........... 13分

解：（I） 函数f(x)是定义在R上的偶函数

f(1)f(1) ...........1分

x又 x0时，f(x)()

12f(1)f(1)1212 ...........2分 ...........3分

（II）由函数f(x)是定义在R上的偶函数，可得函数f(x)的值域A即为x0时，f(x)的取值范围. ..........5分

x当x0时，0()1 ...........7分

12 故函数f(x)的值域A=(0,1] ...........8分 （III）g(x)x(a1)xa

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定义域B{xx2(a1)xa0} ...........9分 方法一 ：由x2(a1)xa0得

x(a1)xa0，

2 即 (xa)(x1)0 ...........11分 AB

B[1,a],且a1 ...........13分 实数a的取值范围是{aa1} ...........14分 方法二：设h(x)x2(a1)xa

h(0)0 ...........11分 AB当且仅当h(1)0a0即 ...........13分

1(a1)a0实数a的取值范围是{aa1} ...........14分

18．（本小题共13分）

解：（I）由已知可得函数f(x)的对称轴为x3，顶点为(3,9) ..........2分 f(0)0b 方法一：由 32a4acb294a得a1,b6,c0 ...........5分 得f(x)6xx,x[0,6] ...........6分

方法二：设f(x)a(x3)9 ...........4分

由f(0)0，得a1 ...........5分

f(x)6xx,x[0,6] ...........6分

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（II）S(t)S'(t)6t1232tOAAP212t(6tt),t(0,6) ...........8分

232t(4t) ...........9分

列表

t (0,4) 4 0 极大值 (4,6) S'(t) S(t) ＋ － ...........11分

由上表可得t4时，三角形面积取得最大值. 即S(t)maxS(4)124(644)16. ...........13分

219．（本小题共14分） 解：（I）由已知可得 a11a1，得a112 ...........1分

34 a1a22a2，得a2 ...........2分

78a1a2a33a3，得a3 ...........3分

（II）由已知可得：Snnan n2时，Sn1(n1)an1

n2时，anSnSn11anan1 ……….4分

得an12an112 ..........5分

12an11212(an11) ……….6分

120 ...........7分 12n2时，an1即n2时，bn12bn1，b1a11数列{bn}是等比数列，且首项为12，公比为 ............8分

（III）由（II）可得，bn2122n ...........9分

cnbn(nn)2nn2n ...........10分

2cn1cn(n1)(n1)2n1nn2nn(3n)2n1 ...........11分

c1c2c3c4c5

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cn有最大值c3c434 ...........12分

t5对任意nN*，都有cn即t

20． （本小题共13分）

1，当且仅当

34t5， ...........13分

，故正整数t的最小值是4. ...........14分

解：（I）当x0时，sgn(x)1，解方程x23x11，得x0（舍）或x3

当x0时，sgn(x)0，0不是方程x23x10的解 当x0时，sgn(x)1，解方程x23x11，得x1（舍）或x2（舍） 综上所述，x3是方程x23x1sgn(x)的根. ...........3分 （每一种情况答对即得1分）

（II）函数f(x)的定义域是{xx0} ...........4分 当x2时，f(x)xlnx，f'(x)11x0恒成立 ...........5分 1x1

当0x2时，f(x)(xlnx)，f'(x)解f'(x)0得0x1 ...........6分 解f'(x)0得1x2 ...........7分 综上所述，函数f(x)sgn(x2)(xlnx)的单调增区间是(0,1),(2,)，单调减区间是

(1,2). ...........8分

（III）设点Px,yT，则10,10于是有(10x)sgn(10xxyS．

10，

1)(10)ysgn(101)y得xsgn101ysgn1011

xxx当x0时，1010,sgn(101)1,xsgn(101)x

xyxxx当x0时，1010,sgn(101)1,xsgn(101)x

xsgn(10x1)x

y同理，ysgn(101)y

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T{(x,y)xy1} ...........11分

点集T围成的区域是一个边长为2的正方形，面积为2． ...........13分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.

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