2019-2020学年上学期高三期末考试数学卷及答案解析

2019－2020学年上学期高三期末考试数学卷

（考试时间：120分钟 满分：150分）

参考公式：

1、三角函数的积化和差公式：

1sincos[sin()sin()]

21cossin[sin()sin()]

21coscos[cos()cos()]

21sinsin[cos()cos()]

22、三角函数和差化积公式：

sinsin2sin22 sinsin2cossin22 coscos2coscos22 coscos2sinsin22cos

第I卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。请把答案填在第II卷指定的位置上）

1．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，B={0，1，3}，则（ ） （A）A∪CUB=U （B）CUA∩B= （C）CUA∩CUB=U （D）CUA∩CUB=

－

2．已知函数y=f(x)的反函数为f1(x)=2x+1，则f(1)等于（ ） （A）0 （B）1 （C）－1 （D）4

3．在等比数列{an}中，a1+a2=1，a3+a4=9，那么a4+a5等于（ ） （A）27 （B）－27 （C）81或－36 （D）27或－27

4．在△ABC中，∠A=60°，b=1，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径是（ ）

（A）

23926329 （B） （C）33 （D） 3325．[x]表示不超过x的最大整数，（例如[5.5]=5，[－5.5]=－6），则不等式[x]2－5[x]+6≤0的解集是（ ） （A）（2，3） （B）2,4 （C）[2，3] （D）[2，4]

6．抛物线y2=4x按向量e 平移后的焦点坐标为（3，2），则平移后的抛物线的顶点坐标为（ ）

（A）（4，2） （B）（2，2） （C）（－2，－2） （D）（2，3） 7．线段AB的端点A、B到面a的距离分别是30cm和50cm，则线段AB中点M到平面a的距离为（ ） （A）40cm （B）10cm （C）80cm （D）40cm或10cm

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8．已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则f：y=－22x+2x+1，对于实数K∈B，在集中A中不存在原象，则k的取值范围是（ ）

（A）k>1 （B）k≥1 （C）k<1 （D）k≤1

9．圆x2+y2－2x－6y+9=0关于直线x－y－1=0对称的曲线方程为（ ） （A）x2+y2+2x+6y+9=0 （B）x2+y2－8x+15=0 （C）x2+y2－6x－2y+9=0 （D）x2+y2－8x－15=0 2x (x≤1)

10．已知函数f(x)= ，则函数y=f(1－x)的图象是（ ） log1x (x>1)

2

11．设数列{an}的通项公式为an=n2－an，若数列{an}为单调递增数列，则实数a的取值范围为（ ） （A）a<2 （B）a≤2 （C）a<3 （D）a≤3

12．一个人以匀速6m/s的速度去追停在交通灯前的公共汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车正以1m/s2的加速度开走，则（ ）

（A）人可在7s内追上汽车 （B）人会在7s后追上汽车

（C）人追不上汽车，其间最近距离为5m （D）人追不上汽车，其间最近距离为7m。

二、填空题（本大题共四小题，每小题4分，共16分。请把答案填在第II卷指定的位置上）

13．已知向量a = e1－e2，b = 4 e1+ 3 e2，其中 e1 =(0，1)， e2=(0, 1) ，则 a 与 b的夹角的余弦值等于 。

14．直线与椭圆x2+2y2=2交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线的斜率为k1（k1≠0），OP的斜率为k2，则k1k2的值为 1（x>0）

15．定义符号函数sgnx= 0 (x=0) ，则不等式x+2>(x－2)sgnx的解集是 。 －1 (x<0)

16．已知直线⊥平面，直线m平面，有下面四个命题：

①∥⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥；④⊥m∥ 其中正确命题序号是

三、解答题（本大题共6题74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题共12分，第①小题4分，第②小题4分，第③小题4分） 已知f(x)=2sin(x+

)cos (x+)+23cos2(x+)－3 222①求f(x)的最小正周期

②若0≤≤求使f(x)为偶函数的的值。

③在②条件下，求满足f(x)=1, x∈[－,]的x的集合。

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18．（本题12分。第①题5分，第②题7分） 如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AA1=的平面A1BMN交C1D1于点N。 ①求证：EM∥A1B1C1D1

②求二面角B—A1N—B1正切值。

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1AB，点E、M分别为A1B，C1C的中点，过A1、B、M三点2

19、（本题共12分，第（1）题3分，第（2）题4分，第（3）题5分。其中第（3）小题文理科不同） ．．．．．．．．．．．．． 设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1－an}（n∈N*）是等差数列，数列{bn－2} (n∈N*)是等比数列。

（1）设Cn=an+1－an，求数列{Cn}的通项公式 （2）求数列{an}和{bn}的通项公式。 （3）（文科做）设f(n)=an－bn，当n≥4时，试判断f(n)的增减性。 （理科做）是否存在k∈N*，使得ak－bk∈（0，

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1）？若存在，求出k；若不存在，请说明理由。 2

20．（本题12分）某学校为了解决教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总面积为A（m2）的宿舍楼。已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍。经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同，都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2。试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用。（总费用为建筑费用与征地费用之和。）

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21．（本题12分。第（1）题5分，第（2）题7分）

x2y225 已知椭圆C1：22=1（a>b>0）的一条准线方程为x。其左、右顶点分别是A、B；双曲线

4abx2y2C2：22=1的一条渐近线方程为3x－5y=0。

ab（1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率。

（2）在第一象限内，取双曲线C2上的一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=MP，求证：MN·AB=0

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22．（本题共14分，第（1）题3分，第（2）题4分，第（3）题7分） 已知函数f(x)=

x1a(a∈R且x≠a)

ax1，a+1]时，求f(x)的值域。 2（1）求证：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立 （2）当f(x)的定义域为[a+

（3）设函数g(x)=x2+|(x－a)f(x)|，求g(x)的最小值。

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参及评分标准

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 A 5 B 6 B 7 D 8 A 9 B 10 C 11 C 12 D 二、填空题（本大题共四小题，每小题4分，共16分） 13．

21 14. － 15.{x∈R|x>－5} 16.①③ 102三、解答题（本大题共6题74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解：①f(x)=sin(2x+)+3[2cos2 (x+

－1)] 2=sin (2x+)+3cos (2x+)=2cos (2x+－

（或f(x)=2sin(2x++

)…………………（3分） 6)） 32∴f(x)的最小正周期为…………………………………………4分

2②f(－x)=cos (－2x+－)=cos[2x－(－)]=cos2xcos (－)+sin2xsin(－)

6666f(x)=cos(2x+(－)=cos2xcos(－)－sin2xsin(－)……………………（6分）

666∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(－x)即sin2xsin(－)=0，∴sin(－)=0

665∵0≤≤，－≤－≤，∴(－)=0，=………………………（8分）

666661③由f(x)=1得2cos2x=1，∴cos2x=………………………………（10分）

25∵x∈[，]，∴x=±或x=±

6655所以x的集合是{－，，－，}…………………………（12分）

666618．解：（I）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F

==

∵E为A1B中点，∴EF∥

1BB1………………………………2分 2又∵M为CC1中点 ∴EF== ∥ C1M ∴四边形EFC1M为平行四边形

∴EM∥FC1……………………4分

而EM平面A1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1 ∴EM∥平面A1B1C1D1……………………5分

（II）由（I）EM∥平面A1B1C1D1 EM平面平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N ∴A1N∥∴N为C1D1中点

过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，根据三垂线定理∴∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角…………………8分

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A1BMN EM∥FC1 BH⊥A1N

设AA1=a，则AB=2a，∵A1B1C1D1为正方形 ∴A1N=5a，又∵△A1B1H∽△NA1D1 ∴B1H=

2a2a5a4a5

在Rt△BB1H，tan∠BHB1=

BB15a, ==

B1H4a455……………………………………12分 4即二面角B—A1N—B1的正切值为

（B）（I）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA1=a（a >0），则 A1(2a，0，a)，B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，2a，a）………………2分 ∵E为A1B的中点，M为CC1的中点 ∴E（2a，a，

aa），M（0，2a，） 22∴EM∥平面A1B1C1D1……………………………………5分

（II）设平面A1BM的法向量为n=（x，y，z） 又A1B=（0，2a，－a） BM=（－2a，0，由n⊥A1B，n⊥BM，得 2ay－az=0 zx ，∴ 4a） 2az －2ax+=0

2

∴取n=（

yz2aa,,a）………………………………9分 42而平面A1B1C1D1的法向量n1=（0，0，1），设二面角为，则

|cos||nn1|44又：二面角为锐二面角 ∴cos=，……………11分

|n||n1|2121从而tan=

5………………………………………………………………12分 419、解：（I）由已知a2－a1=－2，a3－a2=－1，则{Cn}的公差为1………………1分 ∴an+1－an=（a2－a1）+（n－1）=n－3，即Cn=n－3……………………3分 （II）n≥2时，an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+…+（a2－a1）+a1

n27n18 =（n－4）+（n－5）+…+（－1）+（－2）+6=

2n27n18当n=1也适合上式，∴an=（n∈N*）………………………………5分

2又b1－2=4、b2－2=2。而

1n121·()  ∴bn－2=（b1－2）

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即bn=2+()n3

12n27n181n3∴数列{an}、{bn}的通项公式为：an=，bn=2+()…………7分

22（III）（文科） f(n)=an－bn=

1271n－n+7－8·()n………………………………8分 222f（n+1）－f（n） =[

171n11271n(n+1)2－(n+1)+7－8·()]－[n－n+7－8·()] 222222=n－3+22－n…………………………………………10分

－

当n≥4时，由n－3>0，2n3>0，f（n+1）－f（n）>0……………………11分 故当n≥4时，f(n)单调递增…………………………………………12分 （理科）

1271k1771kk－K+7－8·()=(k－)2+－8·()……9分 22222821171k当k≥4时(k－)2+为k的增函数，－8·()也为k的增函数，

2282解法一：设f(k)=ak－bk=

∴当k≥4时f(k)=ak－bk为k的增函数………………………………10分

11，∴当k≥4时ak－bk≥……………………………………11分 221又f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在k，使f(k)∈（0，）……………………12分

2171k解法二：设f(k)= ak－bk=k2－K+7－8·()…………………………8分

222而f(4)= f(k+1)－f(k) =[

171k1171k(k+1)2－(k+1)+7－8·()]－[k2－K+7－8·()] 222222=k－3+22－k

当k≥4时，f(k+1)－f(k)>0，f(k)为k的增函数，……………………10分 以下同解法一。

20．解：设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为2分

楼层建筑费用为{445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+[445+30×（n－2）]}·

2.5A25970A元………………m，征地费用为

nnA n30+400）A……………………………………6分 n5970A30A从而y=+15Na++400A…………………………8分

nn6000y=（15n++400）A≥1000A（元）………………………………10分

n6000当且仅当15n=，n=20（层）时，总费用y最少。

n=（15n+

故当这幢宿舍档的楼高层数为20层时总费用最少，最少总费用为1000A元。……12分

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a225c4a5b321．解：（I）由已知 解之得：b3 ………………………3分

a5c4c2a2b2x2y2x2y21 ∴椭圆的方程为=1，双曲线的方程259259又C,=25934 ∴双曲线的离心率e2=

34………………………6分 5（Ⅱ）由（I）A（－5，0），B（5，0）。设M（x0,y0）则由得M为AP AMMP的中点

22x0y012592∴P点坐标淡（2x05,2y0）将M、P坐标代入c1、c2方程得 消去y0得2x0+5x0-25=0

2(2x05)24y01259解之得x0=

5或x0= -5(舍) 由此可得P（10，33）当P为 23333(x5)即y(x5) 1055（10，33）时，PB：y=

x2y251 得：2x2－15x+25=0 x=或x=5（舍） 代入

25925•0………………………（12分） ∴xN= xM MN⊥x轴 即MNAB2x1a2ax1ax1aax122．（I）证明：f(x)+2+f(2a－x)= 22axa2axaxxax1a2a2xax1=0∴结论成立………………………3分

ax(ax)111（Ⅱ）证明：f(x) =………………………………4分

axax11111 当a+≤x≤a+1时，－a-1≤-x≤-a-,-1≤a-x≤-,-2≤

ax2221则－3≤－1+≤－2，即f(x)值域为[－3，－2]…………………7分

ax∴xN=

（Ⅲ）解：g(x)=x2+|x+1－a|(x≠a)=x2x1a(xa1,xa)xx1a(xa1)123)+a 422……………8分

（1） 当x≥a－1且x≠a时，g(x)=x2+x+1－a=(x+

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如果a－1=－

12即a≧12时，则函数在[a－1,a]和（a,+）上单调调递增 g(x)min=g(a－1)=(a－1)2 如果a－1<－12即a<12且a≠－12时，g(x)13min=g(－2)=4－a 当a=－

12时，g(x)最小值不存在………………………………………………10分 （2）当x如果a－1>12即a>23时，g（x）15min=g(2)=a－4

如果a－1≤12即a≤32时g(x)在（－,a－1）上是减函数，g(x)>g(a－1)=

(a－1)2……………………………………………………………………………12分

当a>

32时(a－1)2－(a－)=（a－32）2>0,即（a－1）2>(a—) 当a<11122且a≠－2时，(a－1)2－(3－a)=(a－2)>0,即(a－1)24>( a)……………………………………………………………………………………13分

综合得：

a<12且≠－12是g(x)最小值是34－a

当12≤a≤32时 g(x)最小值是(a－1)2

当a>32时 g(x)最小值为a－

当a=－12时 g(x)最小值不存在…………………………………………………14分

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34－