2019年北京市高考文科数学试卷及答案(word版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试北京卷

文科数学

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.若集合A0,1,2,4，B1,2,3，则AB（ ）

A.0,1,2,3,4 B.0,4 C.1,2 D.3 2.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）

A.ye B.yx C.ylnx D.yx 3.已知向量a2,4，b1,1，则2ab（ ） A.5,7 B.5,9 C.3,7 D.3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） A.1 B.3 C.7 D.15

x开始否是输出结束 225.设a、b是实数，则“ab”是“ab”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件

数学试卷

C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 6.已知函数fx6log2x，在下列区间中，包含fx零点的区间是（ ） x A.0,1 B.1,2 C.2,4 D.4,

7.已知圆C:x3y41和两点Am,0，Bm,0m0，若圆C上存在点

22P，使得APB90，则m的最大值为（ ） A.7 B.6 C.5 D.4

8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 ，下p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系pat2btc（a、b、c是常数）

图

记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟

p0.80.70.5O345t

第2部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9.若xii12ixR，则x . 10.设双曲线C的两个焦点为2,0， . 11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 . 2,0，一个顶点式1,0，则C的方程为

数学试卷

22正（主）视图111侧（左）视图俯视图

12.在ABC中，a1，b2，cosC1，则c ；sinA . 4y113.若x、y满足xy10，则z3xy的最小值为 .

xy1014.顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

工序 时间 原料 原料A 原料B 则最短交货期为 工作日.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分）已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足

粗加工 精加工 9 6 15 21 b14，b420，且bnan是等比数列.

（1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列bn的前n项和.

16.（本小题满分13分）函数fx3sin2x的部分图象如图所示. 6（1）写出fx的最小正周期及图中x0、y0的值；

数学试卷

（2）求fx在区间,上的最大值和最小值. 212yy0Ox0x 17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，

ABBC，AA1AC2，E、F分别为A1C1、BC的中点. （1）求证：平面ABE平面B1BCC1； （2）求证：C1F//平面ABE；

（3）求三棱锥EABC的体积.

A1EB1C1ABFC

18. （本小题满分13分）

从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

数学试卷

（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a，b的值；

（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 19. （本小题满分14分） 已知椭圆C：x2y4. （1） 求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线y2，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值.

20. （本小题满分13分） 已知函数f(x)2x3x.

（1）求f(x)在区间[2,1]上的最大值；

（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；

（3）问过点A(1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？（只需写出结论）

322绝密★考试结束前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（文）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．C

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．2

22xy1 10．

2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．B

11．22 数学试卷

1512．2 8

13．1 14．42

三、解答题（共6小题，共80分） 15．（共13分）

【解析】⑴ 设等差数列an的公差为d，由题意得d所以ana1n1d3nn1，2，a4a11233 33．

设等比数列bnan的公比为q，由题意得 q3b4a420128，解得q2． b1a143所以bnanb1a1qn12n1． 从而bn3n2n1n1，2， ．

⑵ 由⑴知bn3n2n1n1，2，12n3n1数列3n的前n项和为nn1，数列2的前n项和为1×2n1．

1223所以，数列bn的前n项和为nn12n1．

216．（共13分）

【解析】⑴ fx的最小正周期为π

x07π． 6y03

ππ5ππ⑵ 因为x，，所以2x，0．

12662于是当2x当2x

17．（共14分） 解：

ππ0，即x时，fx取得最大值0； 612πππ，即x时，fx取得最小值3． 623数学试卷

（Ⅰ）在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC． 所以BB1AB． 又因为ABBC． 所以AB平面B1BCC1． 所以平面ABE平面B1BCC1．

（Ⅱ）取AB中点G，连结EG，FG． 因为E，F分别是A1C1，BC的中点，

1所以FG∥AC，且FGAC．

2因为AC∥AC11，且ACAC11， 所以FG∥EC1，且FGEC1． 所以四边形FGEC1为平行四边形． 所以C1F∥EG．

又因为EG平面ABE，C1F平面ABE， 所以C1F∥平面ABE．

（Ⅲ）因为AA1AC2，BC1，ABBC， 所以ABAC2BC23． 所以三棱锥EABC的体积

1113． VS△ABCAA13123323AGA1EB1C1BFC

18．（共13分） 解：

（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是

1010.9． 100从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．

（Ⅱ）课外阅读时间落在组[4，6)的有17人，频率为0.17，所以

频率0.170.085． 组距2课外阅读时间落在组[8，10)的有25人，频率为0.25， a所以b

（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．

频率0.250.125． 组距2数学试卷

19．（共14分） 解：

x2y2（Ⅰ）由题意，椭圆C的标准方程为1．

42所以a24，b22，从而c2a2b22．

因此a2，c2．

c2． a2（Ⅱ）设点A，B的坐标分别为t，2，x0，y0，其中x0≠0．

故椭圆C的离心率e因为OAOB， 所以OAOB0， 即tx02y00，解得t222y04，所以 又x02y0． x0ABx0ty02

2y2x00y02

x024y022x0y024

x0224x04x02x04 22x022x082240x0≤4． 2x02x082224时等号成立，所以AB≥8． ≤4，且当x0因为2≥40x02x02222故线段AB长度的最小值为22．

20.（共13分） 解：

（Ⅰ）由fx2x33x得fx6x23. 令fx0，得x22或x. 22数学试卷

2因为f210，f22，2f22，f11 21上的最大值为f所以fx 在区间2，22 . （Ⅱ）设过点P1，t的直线与曲线yfx相切于点x0，y0，

323x0，且切线斜率为k6x03， 则y02x02所以切线方程为yy06x03xx，

02因此ty06x031x0 .

326x0t30. 整理得4x0设gx4x36x2t3，

则“过点P1，t存在3条直线与曲线yfx相切”等价于“gx有3个不同零点”.

gx12x212x12xx1.

gx与gx的情况如下：

(，0)x  0 0 t3(0，1)  1 0 t1(1，)  g(x) g(x)↗ ↘ ↗ 所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值．

1和(1，当g(0)t3≤0，即t≤3时，此时g(x)在区间，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．

当g(1)t1≥0，即t≥1时，此时g(x)在区间(，0)和0，上分别至多有1

数学试卷

个零点，所以g(x)至多有2个零点．

当g00且g10，即3t1时，因为g1t70，g2t110，所

1和1，2上恰有1个零点.由于gx在区间，0和以gx 分别在区间1，0，0，1，上单调，所以gx分别在区间，0和1，上恰有1个零点.

综上可知，当过点P1，t存在3条直线与曲线yfx相切时，t的取值范围是

3，1 .

（Ⅲ）过点A1，2 存在3条直线与曲线yfx相切；

10 存在2条直线与曲线yfx相切； 过点B2，过点C0，2 存在1条直线与曲线yfx相切.：