四川省峨眉山市2013届九年级第二次调研考试数学试题(解析版)

2013年四川省乐山市峨眉山市中考数学二模试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

1．（3分）（2013•峨眉山市二模）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（ ） A． ﹣3

考点： 倒数．

分析： 根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，﹣3×（﹣）=1． 解答： 解：∵﹣3×（﹣）=1，

∴a是﹣． 故选B．

点评： 主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．（3分）（2013•峨眉山市二模）如图所示，已知∠BOC=55°，∠AOC=∠BOD=90°，则∠AOD为（ ）

B．

C． 3

D．

A． 35°

考点： 余角和补角．

分析： 根据∠BOC=55°，∠BOD=90°，求出∠DOC的度数，然后根据∠AOC=90°，求出∠AOD的度数即可． 解答： 解：∵∠BOC=55°，∠BOD=90°，

∴∠DOC=90°﹣55°=35°， ∵∠AOC=90°，

∴∠AOD=90°﹣35°=55°． 故选C．

点评： 本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和为90°是解题关键．

1 / 25

B． 45°

C． 55°

D． 65°

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

3．（3分）（2006•永州）在下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 轴对称图形；中心对称图形．

分析： 根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解． 解答： 解：A是中心对称图形，

B是轴对称图形， C两者都是，

D不是对称图形．故选C．

点评： 考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．特别注意观察组合图形各部分的对称性．

【链接】轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；

中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

4．（3分）（2013•峨眉山市二模）不等式组 A．

B．

考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

分析： 分别解出两个不等式，进而得到不等式组的解集，再在数轴上表示出解集即可． 解答：

解：

，

的解集在数轴上表示为（ ） C．

D．

由①得：x＞﹣3， 由②得：x≤1，

不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

在数轴上表示为故选：A．

，

点评： 此题主要考查了解一元一次不等式组，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，

“＞”要用空心圆点表示．：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．

5．（3分）（2013•峨眉山市二模）下列各式运算中，正确的是（ ） A． a+a=a

考点： 分式的乘除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 专题： 计算题．

分析： A、本选项不能合并，错误；

B、原式利用分式的乘方法则计算得到结果，即可作出判断； C、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断； D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．

解答： 解：A、本选项不能合并，错误；

B、（）=

3

4

72

3

2

5

B． C． a•a=a

3412

D． （a）=a

326

，本选项错误；

C、a•a=a，本选项错误； D、（a）=a，本选项正确． 故选D．

点评： 此题考查了分式的乘除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握法

则是解本题的关键．

6．（3分）（2008•仙桃）如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（ ）

3

2

6

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

A． DA=DE

考点： 菱形的性质． 专题： 压轴题．

分析： 依题意推出∠OAD+∠ODA=90°，四边形ABDE是平行四边形，然后基于推论得出AB=DA=DE，

∠E=∠ABD，∠EAD+∠ODA=90°，则∠EAC=90°，∠ABC=2∠E．

解答： 解：∵四边形ABCD是菱形

∴AB∥CE，AB=DA=DC=BC，∠ABC=2∠ABD，BD⊥AC ∴∠OAD+∠ODA=90°

又∵BD∥AE，∴四边形ABDE是平行四边形，∠EAD=∠OAD ∴AB=DA=DE，∠E=∠ABD ∴∠EAD+∠ODA=90°

即∠EAC=90°，∠ABC=2∠E，故不成立的是B． 故选B．

点评： 此题主要考查菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角

线平分一组对角．

7．（3分）（2013•峨眉山市二模）下列各命题正确的是（ ） A． 各角都相等的多边形是正多边形 B． 有一组对边平行的四边形是梯形 C． 对角线互相垂直的四边形是菱形

D． 有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形

考点： 直角三角形斜边上的中线；多边形；菱形的判定；梯形．

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B． BD=CE

C． ∠EAC=90°

D． ∠ABC=2∠E

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

专题： 应用题．

分析： A、根据正多边形的定义可判断；B、根据梯形的定义判断即可；C、根据菱形的定义可判断；D、根

据直角三角形的性质判断即可．

解答： 解：A、根据正多边形的定义：各个边、各个角都相等的多边形是正多边形；故本选项错误；

B、根据梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；故本选项错误； C、根据菱形的定义：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误；

D、根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；故本选项正确； 故选D．

点评： 本题考查了正多边形、梯形、菱形及直角三角形的定义、性质，掌握这些概念并能熟练运用是解答

本题的关键．

8．（3分）（2013•峨眉山市二模）下列图形中的每个小正方形都是一样大小的正方形，不能折成一个正方体表面的是（ ） A．

考点： 展开图折叠成几何体．

分析： 利用正方体及其表面展开图的特点解题即可得出答案． 解答： 解：A、B、D都可以折成正方体；

C、折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体． 故选C．

点评： 此题考查了展开图折叠成几何体，此题较简单，能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，

二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．

9．（3分）（2013•峨眉山市二模）有一块面积为150亩的绿化工程．现有甲、乙两工程队前来竞标，甲队计划比规定时间少4天，乙队按规划时间完成．若甲队每天的工作效率是乙队的1.5倍，设规定时间是x天，根据题意，下列方程正确的是（ ） A．

B．

C．

D．

B．

C．

D．

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

考点： 由实际问题抽象出分式方程．

分析： 根据完成工作需要的天数，可表示出甲、乙的工作效率，再由甲队每天的工作效率是乙队的1.5倍，

可得出方程．

解答： 解：设规定时间是x天，则甲完成需要（x﹣4）天，乙完成需要x天，

则甲的工作效率为：由题意得，故选B．

点评： 本题考查了由实际问题抽象分式方程的知识，解答本题的关键是表示出甲乙的工作效率，难度一般．

10．（3分）（2010•威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）

=1.5×

，乙的工作效率为：，

，

A．

考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质． 专题： 压轴题；规律型．

分析： 根据相似三角形的判定原理，得出△AA1B∽△A1A2B1，继而得知∠BAA1=∠B1A1A2；利用勾股定理计算

出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方形的面积，从中找出规律，问题也就迎刃而解了．

解答：

B．

C．

D．

解：设正方形的面积分别为S1，S2…S2010，

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2， ∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x（同位角相等）． ∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°， ∴△BAA1∽△B1A1A2，

在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=cot∠DAO=∵tan∠BAA1=∴BA1=AB=∴CA1=

+

=，

=cot∠DAO， ， =

××

， ×

， ， ×

2n﹣2

，

同理，得：C1A2=

由正方形的面积公式，得：S1=S2=

×

，S3=×（1+）

2×2010﹣2

×，

由此，可得Sn=∴S2010=5×（）=5×（）故选D

4018

，

，

．

点评： 本题综合考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识点，另外，在解题过程中，要

认真挖掘题中隐藏的规律，这样可以降低解题的难度，提高解题效率．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．（3分）（2013•峨眉山市二模）已知分式

考点： 分式有意义的条件． 专题： 常规题型．

分析： 根据“分式有意义⇔分母不为零”列式进行计算即可得解． 解答： 解：根据题意得，x﹣3≠0，

解得x≠3．

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有意义，则x的取值范围是 x≠3 ．

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

故答案为：x≠3．

点评： 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

12．（3分）（2013•峨眉山市二模）如图，已知∠B=110°，已知CD∥BE，则∠1= 70 度．

考点： 平行线的性质．

分析： 根据平行线的性质知∠2与∠B互为补角；又∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2，所以根据等量代换

推知∠1与∠B互为补角．

解答： 解：如图，∵CD∥BE，

∴∠2+∠B=180°． 又∠1=∠2， ∴∠1+∠B=180°． ∵∠B=110°， ∴∠1=70°． 故填：70．

点评： 本题考查了平行线的性质．注意挖掘出隐含在题干中的已知条件：对顶角∠1=∠2．

13．（3分）（2009•泉州）因式分解：x﹣6x+9= （x﹣3） ．

考点： 因式分解-运用公式法．

分析： 直接运用完全平方公式进行因式分解即可．

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2

2

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

解答： 解：x﹣6x+9=（x﹣3）．

点评： 本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．

14．（3分）（2013•峨眉山市二模）每个公民都应遵守交通规则．十字路口的交通信号灯如图所示，每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，绿灯的概率是

．

2

2

考点： 概率公式． 专题： 探究型．

分析： 由于1分钟有60秒，绿灯亮25秒，再求出其概率即可． 解答： 解：∵1分钟有60秒，绿灯亮25秒，

∴当你抬头看信号灯时，绿灯的概率=故答案为：

．

=

．

点评： 本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

15．（3分）（2013•峨眉山市二模）已知两圆的半径分别为方程x﹣4x+3=0的两根，并且两圆的圆心距为2，则两圆的位置关系是 内切 ．

考点： 圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．

分析： 先求出方程的根即两圆的半径R、r，再根据由数量关系来判断两圆位置关系的方法，确定两圆的

位置关系．设两圆圆心距为P，两圆半径分别为R和r，且R≥r，则有：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．

解答： 解：∵两圆的半径分别是方程x﹣4x+3=0的两根，

∴解方程得两圆半径分别为3，1． ∴半径差=3﹣1=2， 即圆心距等于半径差，

∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知两圆的位置关系是内切． 故答案为内切．

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2

2

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

点评： 本题考查了解一元二次方程和由数量关系来判断两圆位置关系的方法．注意此类题型可直接求出解

判断，也可利用根与系数的关系找到两个根的差或和．

16．（3分）（2013•峨眉山市二模）如图，将两个直角三角板拼在一起得到四边形ABCD，∠BCA=45°，∠ACD=30°，E为CD的中点，将△ADE沿直线AE翻折得△AD′E，若AB=m，则D′到AB边的距离为

．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： 过D′作D′F⊥AB于F点，由△ABC是等腰直角三角形，得AC=

直角三角形，得到AD=

=

AB=

m；由△ADC是含30°的

m；又根据斜边上的中线等于斜边的一半得到EA=ED=EC，于是有

m，∠EAD′=60′，得到 即可得到D′F的长．

∠D=∠EAD=60°，∠EAC=∠ECA=30°，根据折叠的性质得到AD′=AD=∠CAD′=30°，则∠D′AF=15°，由sin∠D′AF=sin15°=

解答： 解：过D′作D′F⊥AB于F点，如图，

∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=

AB=

m；

=

又∵△ADC是含30°的直角三角形， ∴AD=

=

m，

∵E为CD的中点， ∴EA=ED=EC，

∴∠D=∠EAD=60°，∠EAC=∠ECA=30°， 而△ADE沿直线AE翻折得△AD′E， ∴AD′=AD=

m，∠EAD′=60′，

∴∠CAD′=60°﹣30°=30°， ∴∠D′AF=45°﹣30°=15°，

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（如图，DB=

∴sin∠D′AF=sin15°=∴D′F=

•

m=

=m， m． =

+

，sin15°=，

=

），

即D′到AB边的距离为故答案为：

m．

点评： 本题考查了折叠的性质：折叠后得到的图形和原图形全等，也考查了等腰直角三角形和含30度的

直角三角形的三边关系以及求15度的三角函数值的知识，难度较大．

三、本大题共3小题，每小题9分，共27分． 17．（9分）（2013•峨眉山市二模）计算：

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 专题： 计算题．

分析： 分别根据0指数幂、负整数指数幂及数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计

算即可．

解答： 解：原式=1﹣+4÷（﹣1）

=1﹣﹣4 =﹣4 =﹣．

．

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点评： 本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．

18．（9分）（2013•峨眉山市二模）先化简，再求值：

，其中

．

考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题．

分析： 先将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法并因式分解，约分后代入求值即可． 解答： 解：原式=（

==﹣=﹣=

， •

•

﹣

）•

当时，原式==．

点评： 本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解是解题的关键．

19．（9分）（2013•峨眉山市二模）如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD，∠ABC=∠ABD，E、F分别为BC和BD中点，连结AE，AF．求证：∠AEB=∠AFB．

考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题．

分析： 求出BE=BF，根据SAS推出△ABE≌△ABF，根据全等三角形的性质推出即可． 解答： 证明：∵BC=BD，E、F分别为BC和BD中点，

∴BE=BF，

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又∵在△ABE和△ABF中

∴△ABE≌△ABF（SAS）， ∴∠BEA=∠BFA．

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等．

四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．

20．（10分）（2013•峨眉山市二模）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定每个学生每天体育锻炼时间不少于1小时．某校为了解学生参加体育锻炼的情况，对初三（5）班学生参加体育锻炼的时间进行调查，并将调查结果绘制成如两幅不完整的统计图，如图甲和图乙

（1）请将条形统计图补充完整；

（2）根据图中的信息填空：初三（5）班共有 50 人；体育锻炼时间的众数是 1 小时；本次调查的学生参加体育锻炼的平均活动时间是 1.18 ；

（3）从初三（5）班的学生中随机抽出一个学生进行调查，抽到学生参加体育锻炼时间不少于1小时的概率是多少？

考点： 条形统计图；扇形统计图；加权平均数；众数；概率公式．

分析： （1）根据0.5小时的人数是10，占20%，得出总人数，再用总人数、频率、频数、所占的百分比

之间的关系，即可求出答案，从而补全统计图；

（2）根据众数的定义和平均数的计算公式分别进行计算，即可求出答案；

（3）把参加体育锻炼时间不少于1小时的人数加起来，再除以总人数，即可得出参加体育锻炼时间不少于1小时的概率．

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解答： 解：（1）∵0.5小时的人数是10，占20%，

∴总人数是

=50（人），

∴1.5小时的人数是50×24%=12（人）， 2小时的人数所占的百分比是1小时的人数所占的百分比是补图如下：

×100%=16%， ×100%=40%，

（2）根据题意得： 总人数是

=50（人），

1小时出现的人数最多，出现了20次， 则体育锻炼时间的众数是1小时，

本次调查的学生参加体育锻炼的平均活动时间是（0.5×10+1×20+1.5×12+2×8）÷50=1.18（小时）；

（3）根据题意得：

抽到学生参加体育锻炼时间不少于1小时的概率是：故答案为：50，1，1.18．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信

息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

×100%=80%．

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21．（10分）（2013•峨眉山市二模）如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向．求货船的航行速度．（精确到0.1海里/时，参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 专题： 行程问题．

分析： 由已知可得AB⊥PQ，∠QAP=60°，∠A=30°，AP=56海里，要求货船的航行速度，即是求PB的长，

可先在直角三角形APQ中利用三角函数求出PQ，然后利用三角函数求出PB即可．

解答： 解：设货船速度为x海里/时，

4小时后货船在点B处，作PQ⊥AB于点Q． 由题意AP=56海里，PB=4x海里， 在直角三角形APQ中，∠APQ=60°， 所以PQ=28．

在直角三角形PQB中，∠BPQ=45°， 所以，PQ=PB×cos45°=2所以，2解得：x=7

x=28， ≈9.9．

x．

答：货船的航行速度约为9.9海里/时．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，两次运用了三角函数，并巧妙运用了两个三角形

的公共边PQ．

22．（10分）（2010•芜湖）如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC=∠AEB．

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（1）求证：△ADF∽△CAE；

（2）当AD=8，DC=6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积？

考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形． 专题： 综合题．

分析： （1）已知∠DFC=∠AEB，则它们的补角也相等；再由梯形的平行线得出的内错角相等，即可判定两

个三角形相似．

（2）欲求梯形的面积，首先须求出BC的长，那么求出CE的长是解答此题的关键；可在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AC的长，进而可求出AF的长；然后根据（1）的相似三角形得出的对应成比例线段，求出EC的长，由此得解．

解答： （1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAF=∠ACE；

∵∠DFC=∠AEB，∴∠DFA=∠AEC； ∴△ADF∽△CAE；

（2）解：由（1）知：△ADF∽△CAE， ∴

=

；

∵AD=8，DC=6，∠ADC=90°， ∴AC=

=10；

又F是AC的中点，∴AF=AC=5； ∴=

，解得CE=

；

∵E是BC的中点， ∴BC=2CE=

；

+8）×6=

．

∴直角梯形ABCD的面积=×（

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点评： 此题主要考查了直角梯形的性质以及相似三角形的判定和性质．

五、本大题共2小题，每小题10分，共20分，其中第24题为选做题.

23．（10分）（2008•孝感）已知关于x的一元二次方程x+（2m﹣1）x+m=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）当x1﹣x2=0时，求m的值．

考点： 根的判别式；根与系数的关系． 专题： 压轴题；分类讨论．

分析： （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的

取值范围；

（2）由x1﹣x2=0得x1+x2=0或x1﹣x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到﹣2m﹣1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．

解答： 解：（1）由题意有△=（2m﹣1）﹣4m≥0，

解得

，

；

2

2

2

2

2

2

2

2

2

即实数m的取值范围是

（2）由两根关系，得根x1+x2=﹣（2m﹣1），x1•x2=m， 由x1﹣x2=0得（x1+x2）（x1﹣x2）=0， 若x1+x2=0，即﹣（2m﹣1）=0，解得∵＞， ∴

不合题意，舍去，

， ，

2

2

2

若x1﹣x2=0，即x1=x2∴△=0，由（1）知故当x1﹣x2=0时，

2

2

．

点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的

条件．

24．（10分）（2013•峨眉山市二模）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．

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题甲：如图1，正比例函数

的图象与反比例函数

在第二象限的图象交于A点，过A

点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1． （1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数图象上的点，且B点的横坐标为﹣1，在x轴上一点P，使PA+PB最小，求P点的坐标．

题乙：如图2，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为BC的中点，DE⊥AC于E，DE=6，AC=16． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）求直径AB的长．

考点： 反比例函数综合题；切线的判定．

分析： 甲（1）设A（x，﹣x），根据△OAM的面积为1，求出x的值，进而求出反比例函数系数k；

（2）作B关于x轴的对称点N，连结AN，交x轴于P，AN就是PA+PB的最小值，求出N点坐标，由两点间距离公式求出AN的长；

乙（1）连结OD，BC，证明四边形CFDE是矩形，得到∠EDO是直角，相切证明； （2）首先求出CB的长，然后利用勾股定理求出AB的长．

解答： 题甲：解：点A是y=﹣x与y=（k≠0）的交点，设A（x，﹣x），

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∵△OAM的面积为1， ∴|AM|×|OM|=x×x=1， 解得x=±2，

∵点A在第二象限，所以x=﹣2， （﹣）（﹣2）=﹣，k=﹣2， 反比例函数的解析式为y=﹣；

（2）如图，作B关于x轴的对称点N，连结AN，交x轴于P， AN就是PA+PB的最小值， 过A作NB的垂线，交BN于G ∵B在y=﹣上，且横坐标为﹣1， ∴B的纵坐标为2， ∴N（﹣1，﹣2）， AN=

=

．

=

，

∴PA+PB的最小值为

题乙：证明：（1）如图连结OD，BC， ∵D为BC的中点， ∴OD⊥BC， 又∵AB是直径， ∴AC⊥BC，

∴四边形CFDE是矩形，

∴∠EDO是直角，所以DE与⊙O相切，

（2）∵DE=6， ∴CB=2CF=2ED=12， 又∵AC=16， ∴AB=

=

=20．

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点评： 本题主要考查反比例函数的综合题以及切线的判定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函

数图象上点的特点以及切线判定定理等知识，此题难度不大，但是综合在一起，还是有一定的难度．

六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共计25分.

25．（12分）（2013•峨眉山市二模）如图，AC是⊙O直径，△ABC内接于⊙O，E是BC边上一个动点（与B、C不重合），连结AE，并延长交⊙O于点D，连结CD．已知⊙O的半径为1，∠BAC=60°． （1）当E为BC的中点时，求（2）设CE为x，求

的值；

的值（用含x的代数式表示）；

=8﹣2

？如果能，求出点E的位置；如果不能，请说明理由．

（3）能否找到一个点E，使得

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考点： 圆的综合题．

分析： （1）求出BC、BE、CE的长，根据勾股定理求出AE，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出DC，代

入求出即可；

（2）求出BC、BE、CE的长，根据勾股定理求出AE，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出DC，代入求出即可；

（3）根据（2）的结果得出方程，求出发出的解即可．

解答： 解：（1）∵AC是⊙O直径，

∴∠ABE=∠ADC=90°， ∵∠BAC=60°，AC=1+1=2， ∴∠BCA=30°，

∴AB=1，由勾股定理得：BC=∵E为BC的中点， ∴CE=BE=

，

=

，

，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠DEC， ∴△AEB∽△CED， ∴

=

，

∴CD==，

∴==．

（2）∵CE=x， ∴BE=

﹣x，

，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠DEC， ∴△AEB∽△CED，

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∴

=

，

，

∴CD=

∴==．

（3）假设存在E点，使得

=8﹣2

，

则

解得：x=4+2

=8﹣2，

，

（大于直径AC的长2，舍去），x=4﹣2

=8﹣2

，此时CE=4﹣2

．

即存在E点，使得

点评： 本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，相似三角形的性质和判定等知

识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．

26．（13分）（2013•峨眉山市二模）已知，如图，抛物线的顶点为C（1，﹣2），直线y=kx+m与抛物线交于A、B两点，其中OA=3，B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线交于点E． （1）求直线AB的解析式；

（2）设点P的横坐标为x，求点E坐标（用含x的代数式表示）；

（3）点D是直线AB与这条抛物线对称轴的交点，是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

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分析： （1）首先设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）﹣2，由A点坐标为（3，0），则可将A点的坐标代

入函数解析式，利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式，当x=0时求出点C的坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入解析式，求出k，b的值即可得出AB的解析式； （2）根据点横坐标为x，且PE⊥x轴，可得E点横坐标为x，又知E点在抛物线上，代入x即可得出E点坐标；

（3）分别从当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP与当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP两种情况去分析，注意利用相似三角形的对应边成比例等性质，即可求得答案，注意不要漏解．

解答： 解：（1）解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）﹣2，

∵A（3，0）在抛物线上， ∴0=a（3﹣1）﹣2 ∴a=，

∴y=（x﹣1）﹣2， 当x=0时，y=﹣， ∴B（0，﹣），

∴设直线AB的解析式为y=kx+b， 把点A、B的坐标代入解析式得：

，

22

2

2

解得：，

∴直线AB的解析式为y=x﹣；

（2）∵P为线段AB上的一个动点，PE⊥x轴，且P点横坐标为x， ∴E点横坐标为x， ∵E在抛物线上，

∴E点坐标为（x，（x﹣1）﹣2）；

2

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（3）D点在抛物线y=（x﹣1）﹣2的对称轴上，横坐标为1， 又∵D点直线AB上， ∴D的坐标为：D（1，﹣1），

①当∠DEP=90°时，如图，△AOB∽△EDP， ∴

=

．

2

过点D作DQ⊥PE于Q， ∴xQ=xP=x，yQ=﹣1， ∴△DQP∽△AOB∽△EDP， ∴

=

，

，

又OA=3，OB=，AB=又DQ=x﹣1， ∴DP=

（x﹣1），

∴==，

解得：x=﹣1±∴P（

﹣1，

（负值舍去）．

）（如图中的P1点）；

②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP， ∴

=

．

2

由（2）PE=﹣x+x，DE=x﹣1，

∴=，

解得：x=1±∴P（1+

，

，（负值舍去）．

﹣1）（如图中的P2点）；

，

﹣1）或（

﹣1，

）．

综上所述，P点坐标为（1+

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点评： 此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题

的关键是方程思想，分类讨论思想与数形结合思想的应用．

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