台州市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
台州市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A．4x+2y=5
B．4x﹣2y=5
C．x+2y=5
D．x﹣2y=5
2． 下列式子表示正确的是（ ）
A、00,2,3 B、22,3 C、1,2 D、0
3． 设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a﹣5|，9}，∁UA={5，7}，则实数a的值是（ ） A．2
B．8
C．﹣2或8 D．2或8
，函数
，其中b∈R，若函数y=f（x）
4． 已知函数
﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
5． 设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ） A．p或q
B．p且q
C．￢p或q
D．p且￢q
6． 已知抛物线x2=﹣2y的一条弦AB的中点坐标为（﹣1，﹣5），则这条弦AB所在的直线方程是（ ） A．y=x﹣4 B．y=2x﹣3 C．y=﹣x﹣6 D．y=3x﹣2
7． 阅读如右图所示的程序框图，若输入a0.45，则输出的k值是（ ） （A） 3 （ B ） 4 （C） 5 （D） 6
8． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A．4 B．8 C．12 D．20
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【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 9． P是双曲线
=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2
C．c
的内切圆圆心的横坐标为（ ） A．a 10．在区域A．0 常数），
B．b
D．a+b﹣c
22
内任意取一点P（x，y），则x+y＜1的概率是（ ）
B． C． D．
11．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|；②f（2x）=cf（x）（c为正若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c的值是（ ） A．1
B．±2
C．或3
D．1或2
12．执行下面的程序框图，若输入x2016，则输出的结果为（ ）
A．2015 B．2016 C．2116 D．2048
二、填空题
13．对于映射f：A→B，若A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射，若存在对应关系Φ，使A到B成为一一映射，则称A到B具有相同的势，给出下列命题： ①A是奇数集，B是偶数集，则A和B具有相同的势；
②A是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B不具有相同的势；
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③若区间A=（﹣1，1），B=R，则A和B具有相同的势． 其中正确命题的序号是 ．
14．若复数zsin34(cos)i是纯虚数，则tan的值为 . 55
【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力． 15．函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点 （填点的坐标）
16．椭圆C： +
=10）3） （a＞b＞0）的右焦点为（2，，且点（2，在椭圆上，则椭圆的短轴长为 ．
17．函数f（x）=loga（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为 ．
18．设函数f（x）=
若f[f（a）]
，则a的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知函数f（x）=2x﹣，且f（2）=． （1）求实数a的值； （2）判断该函数的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．
20．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5的学生颁发荣誉证书，现从A和B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：
A 7 7 7.5 9 9.5 B 6 x 8.5 8.5 y 由于表格被污损，数据x，y看不清，统计人员只记得x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．
（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率；
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（Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E是PD的中点. （1）证明：PB//平面AEC；
（2）设AP1，AD3，三棱锥PABD的体积V3，求A到平面PBC的距离. 4111]
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上． （Ⅱ）若
（I）求证：AD⊥PB；
，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？
（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．
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23．求下列函数的定义域，并用区间表示其结果． （1）y=（2）y=
24．设a＞0，（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
是R上的偶函数．
+
．
；
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台州市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
，kAB=
=﹣，
【解析】解：线段AB的中点为∴垂直平分线的斜率 k=
=2，
∴线段AB的垂直平分线的方程是 y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0， 故选B．
【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．
2． 【答案】D 【解析】
试题分析：空集是任意集合的子集。故选D。 考点：1.元素与集合的关系；2.集合与集合的关系。 3． 【答案】D
【解析】解：由题意可得3∈A，|a﹣5|=3， ∴a=2，或a=8， 故选 D．
4． 【答案】 D
【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x）， 由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
2
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0， 作出函数h（x）的图象如图：
22
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）+2﹣|2﹣x|=x﹣5x+8．
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22
当x≤0时，h（x）=2+x+x=（x+）+≥， 22
当x＞2时，h（x）=x﹣5x+8=（x﹣）+≥，
故当=时，h（x）=，有两个交点， 当=2时，h（x）=，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）=恰有4个根，
则满足＜＜2，解得：b∈（，4）， 故选：D．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
5． 【答案】 C
【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中
命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l， 显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确； 命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β， 直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l， 故选C．
显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；
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【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可， 否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
6． 【答案】A
22
【解析】解：设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=﹣2，x1=﹣2y1，x2=﹣2y2． 两式相减可得，（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣2（y1﹣y2） ∴直线AB的斜率k=1，
∴弦AB所在的直线方程是y+5=x+1，即y=x﹣4． 故选A，
7． 【答案】 D.
【解析】该程序框图计算的是数列前n项和，其中数列通项为an12n12n1
Sn11133512n12n111122n19Sn0.45nn最小值为5时满足
2Sn0.45，由程序框图可得k值是6． 故选D．
8． 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
112312，故选C. 39． 【答案】A
【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q， 则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同． 由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a． ∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，
∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a．
由圆的切线性质PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，
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故选A．
【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．
10．【答案】C
【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）， 分析可得区域
表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；
=
，
x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为
22
由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x+y＜1的概率是
=
；
故选C．
【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．
11．【答案】D
【解析】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|．
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当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|）， 此时当x=时，函数取极大值； 当2≤x≤4时， f（x）=1﹣|x﹣3|；
此时当x=3时，函数取极大值1； 当4＜x≤8时，2＜≤4，
则f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|）， 此时当x=6时，函数取极大值c．
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上， 即点（，），（3，1），（6，c）共线，
∴=，
解得c=1或2． 故选D．
【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．
12．【答案】D 【解析】
试题分析：由于20160，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到x2，从而可得y1，由于
20151，则进行y2y循环，最终可得输出结果为2048．1
考点：程序框图．
二、填空题
13．【答案】 ①③ ．
【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A→B是一一映射，故①正确；
对②设Z点的坐标（a，b），则Z点对应复数a+bi，a、b∈R，复合一一映射的定义，故②不正确；
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对③，给出对应法则y=tan③正确． 故选：①③
x，对于A，B两集合可形成f：A→B的一一映射，则A、B具有相同的势；∴
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．
14．【答案】3 4【解析】由题意知sin34430，且cos0，所以cos，则tan. 5554
15．【答案】 （0，2）
0
【解析】解：令x=0，得y=a+1=2 故答案为：（0，2）． 函数的图象必过的定点
16．【答案】 ．
【解析】解：椭圆C：可得c=2，2a=
b2=a2﹣c2=12，可得b=2椭圆的短轴长为：4故答案为：4
．
．
， +
x
∴函数y=a+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点 （0，2）
【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求
=1（a＞b＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，
=8，可得a=4，
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．
17．【答案】 （2，2） ．
【解析】解：∵loga1=0， ∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，
则函数y=loga（x﹣1）+2的图象恒过定点 （2，2）．
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故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1=0，属于基础题．
18．【答案】
【解析】解：当∵当
，由
，f（a）=2（1﹣a），
，则
，
时，
． ，解得：
，所以
或a=1 ．
；
∵0≤2（1﹣a）≤1，若分析可得a=1． 若由综上得：故答案为：中档题．
，即，得：或a=1． 或a=1．
．
，因为2[1﹣2（1﹣a）]=4a﹣2，
【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=2x﹣，且f（2）=， ∴4﹣=， ∴a=﹣1；（2分） （2）由（1）得函数∵∴函数
=
为奇函数．…（6分）
，定义域为{x|x≠0}关于原点对称…（3分）
，
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，…（7分）
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任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则
=
…（10分）
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x2﹣x1＞0，2x1x2﹣1＞0，x1x2＞0 ∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）， ∴f（x）在（1，+∞）上是增函数 …（12分）
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵=（6+x+8.5+8.5+y）， ∵∵
=∵
22
，得（x﹣8）+（y﹣8）=1，②
（7+7+7.5+9+9.5）=8，
，∴x+y=17，①
，
，
由①②解得或，
∵x＜y，∴x=8，y=9，
记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含共有∴P（C）=
个基本事件，
，
个基本事件，
即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．
（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3， P（X=0）=P（X=1）=
=
， =
，
P（X=2）==，
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P（X=3）=EX=
=，
=
．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】
313. 13试
题解析：（1）设BD和AC交于点O，连接EO，因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EO//PB，EO且平面AEC，PB平面AEC，所以PB//平面AEC.
3133，可得AB，作AHPB交PB于H.由题设知BC平PAABADAB，由V2664PAAB313面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC，又AH，所以A到平面PBC的距离为PB13313.1 13（2）V考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理. 22．【答案】
【解析】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB， ∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB， ∴AD⊥PB．
（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E为PA的中点， 当M为PD的中点时，EM∥AD， ∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM， ∴平面BEM⊥平面PAB． 此时，
．
（III）设CD的中点为F，连接BF，FM
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由（II）可知，M为PD的中点． ∴FM∥PC．
∵AB∥FD，FD=AB， ∴ABFD为平行四边形． ∴AD∥BF，又∵EM∥AD， ∴EM∥BF．
∴B，E，M，F四点共面．
∴FM⊂平面BEM，又PC⊄平面BEM， ∴PC∥平面BEM．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．
23．【答案】 【解析】解：（1）∵y=∴
，
+
，
解得x≥﹣2且x≠﹣2且x≠3，
∴函数y的定义域是（﹣2，3）∪（3，+∞）； （2）∵y=∴
， ，
解得x≤4且x≠1且x≠3，
∴函数y的定义域是（﹣∞，1）∪（1，3）∪（3，4]．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵a＞0，∴f（﹣x）=f（x），即
+
=
是R上的偶函数． ，
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∴2x（a﹣
+a•2x=）﹣
+，
（a﹣）=0，
x
）=0，∵2+
x
∴（a﹣）（2+
＞0，a＞0，
∴a﹣=0，解得a=1，或a=﹣1（舍去）， ∴a=1；
（2）证明：由（1）可知∴∵x＞0， ∴22x＞1， ∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
【点评】本题主要考查函数单调性的判断问题．函数的单调性判断一般有两种方法，即定义法和求导判断导数正负．
，
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