北京市首都师范大学附属中学2019届九年级数学12月月考试题

月月考试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是 A．（-2,3） B．（2,3）

C．（2,-3） D．（-3,2）

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值是（ ）

A．

B．

C．

D．

3. 如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为( )

A．

B．

C．3

D．

4. 如图，在△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A=100°，∠D=50°，则∠AOD的度数是（ ）

A．20°

B．30°

C．40°

D．50°

5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD＝2，DB＝1，△ADE、△ABC的面积分别为S1、S2，则

的值为( )

A．

B．

C．

D．2

6. 已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y=-的图象上三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）

A．y1＜0＜y2＜y3 B．y1＞0＞y2＞y3 C．y1＜0＜y3＜y2 D．y1＞0＞y3＞y2

7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△P的坐标为（ ）

由△

绕点P旋转得到，则点

A．（0， 1）

B．（1， -1）

C．（0， -1） D．（1， 0）

8. 如图，在平面直角坐标系中，，，一次函数线段有公共点，则的取值范围是（ ）

与

A．

B．

C． D．

二、填空题

9. 方程x（x﹣2）=x的根是____．

10. 在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________．

11. 如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为__________．

12. 已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 ______．

13. 如图，AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，若∠D=30°，OA=2，则CD=

______ ．

14. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是

____.

15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为 ______ ．

16. 如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC?AB=AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在“附中博识课程中”，小白菜们沿着紫禁城的中轴线，从内金水桥走到了太和殿，领略了古代建筑的宏伟.太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，设太和门到太和殿之间的距离为x丈，要求x，则可列方程为________________．

三、解答题

17. 阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线．已知：如图，∠BAC．求作：∠BAC的角平分线AP．

小欣的作法如下：

（1）如图，在平面内任取一点O；

（2）以点O为圆心，AO为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E； （3）连接DE，过点O作射线OP垂直于线段DE，交⊙O于点P； （4）过点P作射线AP． 所以射线AP为所求

根据小欣设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明． 证明：∵OPDE

∴ =______（________________________）（填推理的依据）， ∴∠BAP=______ （________________________）（填推理的依据）．

18. 已知m是方程值．

的一个实数根，求代数式的

19. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，以AC为边作△ACE，∠ACE=90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD=5，连接DE．求证：

△ABC∽△CED．

20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x的图象与反比例函数

的图象的一个交点为A（1，m）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在直线OA上，且满足PA=2OA，直接写出点P的坐

标．

21. 如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF=D A．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)连接AF交DE于 M，若AD=4，DE=5，求 EM 的长.

22. 已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；

（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点

A．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

23. 问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+B

A．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG ∵M是的中点， ∴MA=MC ……

请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

实践应用：

（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE=CE+ACBE=CE+AC； （2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为∠ACD=45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4长．

上一点，连接DB，

+2，BC=2，请求出AC的

24. 定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点． 例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点M是曲线C：上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M, 试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是

，点N的坐标是

时，求点P的坐标；

（2）如图3，当点M的坐标是，点N的坐标是时，求△MON的自相似点的坐标；

（3）是否存在点M和点N,使△MON无自相似点,？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．