物理实验教案方波的傅里叶分解与合成

方波的傅里叶分解与合成

一、实验目的:

1、用RLC串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系。 2、将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。 3、了解傅立叶分析的物理含义和分析方法。 二、实验仪器:

HLD-ZDF-II傅立叶分解合成仪、示波器、标准电感、电容箱等。

三、实验原理:

任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，

即：

1f(t)a0(ancosntbnsinnt)2n1

2a；第一项 0 为直流分量。

2T所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。

其中：T为周期，为角频率,＝

f (t) h - T - h 0 T - t

图 1 方波

如图1所示的方法可以写成：

T) 2 h (0≤t＜

f(t)= -h (-T≤t＜0) 2 此方波为奇函数，它没有常数项。

数学上可以证明此方波可表示为：

4h111f(t)(sintsin3tsin5tsin7t......)

3574h (n11)sin[(2n1)t]2n1

（1）周期性波形傅里叶分解的选频电路

我们用RLC串联谐振电路作为选频电路，对方波进行频谱分解。在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。

实验线路图如图2所示。这是一个简单的RLC电路，其中R、C是可变的。L一般取0.1H~1H范围。

1

当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率0为：

0=1LC 即： f02LC

1这个响应的频带宽度以Q值来表示：

LQ＝0

R当Q值较大时，在0附近的频带宽度较狭窄，所以实验中我们应该选择Q值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。

如果我们调节可变电容C，在n0频率谐振，我们将从此周期性

波形中选择出这个单元。它的值为： 图2 波形分解的RLC串联电路

V(t)bnsinn0t 这时电阻R两端电压为：

VR(t)I0Rsin(n0t)

bX，X为串联电路感抗和容抗之和；I0n，Z为串联电路的总阻抗。 RZ在谐振状态X＝0，此时，阻抗Z＝ｒ＋R＋RL＋RC＝ｒ＋R＋RL

其中，r为方波电源的内阻；R为取样电阻；RL为电感的损耗电阻；RC为标准电容的损耗电阻。 (RC值常因较小而忽略）

由于电感用良导体缠绕而成，由于趋肤效应，RL的数个将随频率的增加而增加。实验证明碳膜电阻及电阻箱的阻值在1KHz~7KHz范围内，阻值不随频率变化。 (2) 傅里叶级数的合成

本仪器提供振幅和相位连续可调的1KHz，3KHz，5KHz，7KHz四组正弦波。如果将这四组正弦波的初相位和振幅按一定要求调节好以后，输入到加法器，叠加后，就可以分别合成出方波等波形。

四、实验内容和方法:

1、方波的傅里叶分解

此式中tg1

1KHzsint 3KHzsint

5KHzsint

2

（1） 求RLC串联电路对1KHz，3KHz，5KHz正弦波谐振时的电容值C1、C3、C5，并与理值进

行比较。

实验中，要求观察在谐振状态时，电源总电压与电阻两端电压的关系。可从李萨如图为一直线，说明此时电路显示电阻性。 表1 谐振频率(fi) 实验值(f) 理论值(f) 1000Hz 0.253 0.253 3000Hz 0.0280 0.0280 5000Hz 0.0100 0.0101 表1为1KHz、3KHz、5KHz正弦波谐振时测得电容值(仅供参考)。 测量以上数据时所用电感电感L=0.1H(标准电感) ，电容为R×7/0 型十进式电容箱。

Ci1

i2L

（2）将1KHz方波进行频谱分解，测量基波和n阶谐波的相对振幅和相对相位。

将1KHz方波输入到RLC串联电路(如图2所示)。然后调节电容值至C1，C3，C5值附近，可以从示波器上读出只有可变电容调在C1，C3，C5时产生谐振，且可测得振幅分别为b1，b3，b5；而调节到其它电容值时，却没有谐振出现。 实验数据如下：(供参考) (一)取方波频率f=1000Hz，取样电阻R=22 ，信号源内阻测量得r=6.0电感L=0.100H。 表2 实验数据一 谐振时电容值Ci(f) 谐振频率(KHz) 相对振幅理论值(cm) 相对振幅测量值(cm) 李萨如图 与参考正弦波位相差 0.253 1 6.00 6.00 C1和C3之间 无谐振 ---- 0.028 3 2.00 1.80 C3和C5之间 无谐振 ---- 0.010 5 1.20 0.80    (二) 取方波频率f=1000Hz，取样电阻R=500，测得信号源内阻r=6.0，L=1.00H。(选做)

从上述数据中可以看出：

(a) 方波傅里叶分解时，只能得到1KHz、3KHz、5KHz 正弦波，而2KHz、4KHz、6KHz等正弦波是不存在的。 (b)电感用铜线缠绕，由于存在趋肤效应，其损耗电阻随频率升高而增加，因此使3KHz、5KHz谐波振幅数值比理论值偏小，此系统误差应进行校正。 表3 实验数据二 谐振时电容值Ci(f) 0.253 C1和C3之间 0.028 C3和C5之间 0.010 3

谐振频率(KHz) 相对振幅(cm) 李萨如图 与参考正弦波位相差 1 6.00 无谐振 ---- 3 1.60 无谐振 ---- 5 0.50    (c)基波和各次谐波与同一参数正弦波(1KHz)初相位关系均为，说明方波分解为基波和各次谐波初相位相同。

(3)不同频率电流通过电感损耗电阻的测定。

对1H空心电感可采用Q5型品质因素测量仪(低频Q表)测量。 如：我们测得某电感(1H)损耗电阻和使用频率关系： 使用频率f(KHz) 1.00 3.00 5.00 损耗电阻RL 307 362 602 图3

对于0.1H空心电感可用下述方法测定损耗电阻R 。

自己接一个如图3的串联谐振电路。测量在谐振状态时，信号源输出电压VAB 和取样电阻R 两端的电压VR，可计算出RL=RL+RC的值。RC为标准电容的损耗电阻，一般较小可忽略。 L=0.1H电感的损耗电阻和使用频率关系 使用频率f(KHz) 1.00 3.00 5.00 损耗电阻RL 26 34 53 测量VAB、VR电压可用示波器，也可用其它交流伏特表。 (4)相对振幅测量时，系统误差的校正。

可用分压原理校正。

若：b3为3KHZ谐波校正后振幅

b’3为3KHz谐波未被校正时振幅。 RL1为1KHz使用频率时损耗电阻。 RL3为3KHz使用频率时损耗电阻。

'b3:b3

RRRRr':b3b3L3RL1RrRL3Rr 则： RL1Rr

对5KHz，谐波也可作类似的校正。 例：基波1KHz, b1=6.00cm

4

谐波3KHz， b3=1.8034.022.06.02.07cm

26.022.06.053.022.06.01.20cm

26.022.06.011经校正后，基波和谐波的振幅基本为1::，与理论值符合较好。

352、傅里叶级数合成：

(1)方波的合成

4h111f(x)(sintsin3tsin5tsin7t)357

从以上式中可知，方波由一系列正弦波(奇函数)合成。

11 这一系列正弦波振幅比为1:::……它们的初相位为同相。

35谐波5KHz， b5=0.80 ×

a b 1KHz正弦波 1KHz、3KHz正弦波迭加图

c

1KHz、3KHz、5KHz、正弦波迭加图

图4方波的合成过程

实验步骤如下：

(a) 用李萨如图形反复调节各组移相器1KHz、3KHz、5KHz正弦波同位相。

调节方法是示波器X轴输入1KHz正弦波：而Y轴输入1KHz、3KHz、5KHz正弦波在示波器上显示如下波形时：

图5

此时，基波和各阶谐波初相位相同。

也可以用双踪示波器调节1KHz、3KHz、5KHz正弦波初相位同相。

5

11(b)调节1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波振幅比为1::。

35(c) 将1KHz、3KHz、5KHz正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化，最后可看到近似方

波图形。方波合成过程如图4所示。 从傅里叶级数迭加过程可以得出：

4(a) 合成的方波的振幅与它的基波振幅比为1:；

(b) 基波上迭加谐波越多，越趋近于方波。

(c) 通过观察可以发现迭加谐波越多，合成方波前沿、后沿越陡直。

五、数据记录及处理: 1、分解：

方波f=1000HZ ;取样电阻R= Ω;信号源内阻r=6.0Ω; L=0.10H 表 1 谐振频率(f) 理论值(μf ) 实验值(μf) 相对振幅理论值（cm） 相对振幅测量值 （cm） 1000HZ 0.2530 6.00 3000HZ 0.0280 2.00 5000HZ 0.0101 1.20

误差分析：1、由于电容和电感都有误差；2、取值时电路没有达到谐振状态，使得测量值与理

论值有一定误差。

相对振幅的修正：例:

谐波3KHz， b3= ？34.0?6.0?.??cm

26.0?6.053.0?6.0?.??cm

26.0?6.0谐波5KHz， b5= ？ X

(注:修正时代入自己测得的相对振幅和取样电阻)

2、合成

（1）将１KHz、３KHz、５KHz各正旋波的振幅分别调成4、1.33、0.80； （2）把１KHz、３KHz、５KHz各谐波的初相位调得相同；

（3）用坐标纸画出示波器上合成后的近似方波的波形图（画一个周期）。

六、思考题：

1、若增加串联电路中电阻R的值，将Q值减小，观察电路的选频效果，从中理解Q值的物理意义。

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