高中数学竞赛专题讲座之六：立体几何

竞赛试题选讲之六：立体几何

一、选择题部分

1. （2006吉林预赛）正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直 线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l的条数为 （ C ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3 2.（2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱

AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成300角，则这样的直线l的条数为（B）

A. 1 B .2 C. 3 D .4

3．(集训试题)设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式

1PQ1PR1PS （ ）

A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值

C．既有最大值又有最小值，两者不等 D．是一个与面QPS无关的常数 解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=

△PQR

13S

·h=(1132PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则

113△PRS

vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，S△PQR·d=

3·d+

13S△PRS·d+

13△PQS

·d=

d312PQ·PRsin

α+

d312PS·PRsinα+

d312PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ1PQ1PR1PSsind=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常数。故选D。

4．（2006年江苏）过空间一定点P的直线中，与长方体ABCDA1B1C1D1的12条棱所在

直线成等角的直线共有（C） A．0条 B．1条

C．4条

D．无数多条

5.（2006天津）已知P为四面体SABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是 （ D ）

A．圆或椭圆

B．椭圆或双曲线

C．双曲线或抛物线 D．抛物线或椭圆 6．（2006年南昌市）四棱锥PABCD的底面ABCD是单位正方形(A,B,C,D按反时针

方向排列),侧棱PB垂直于底面,且PB＝3,记APD,则sin＝（C）

A．

22 B．

33 C．

55 D．

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7．（2005年浙江）正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱

形 (4) 正五边形 (5) 正六边形； 下述选项正确的是（B） A．(1)(2)(5) B．(1)(2)(4) C．(2)(3)(4) D．(3)(4)(5)

【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边

形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）选 【 B 】 8．(2005全国)如图，ABCDABCD为正方体。任作平面与对角线AC垂直，使得 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（ ）

A．S为定值，l不为定值 C．S与l均为定值

B．S不为定值，l为定值 D．S与l均不为定值

解：将正方体切去两个正三棱锥AABD与CDBC后，得到一个以平行平面

ABD与DBC为上、下底面的几何体V，V的每

个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱AB剪开，展平在一张平面上，得到一个

ABB1A1，而多边形W的周界展开后便成为一条与AA1平行的线段（如图中

，显然EE1AA1，故l为定值. EE1）

当E位于AB中点时，多边形W为正六边形，而当E移至A处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为选B.

9.（2006浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C）

A．2006

B．1003

2324l与

2336l，故S不为定值。

2C．10031221003 D．100321002.

解： 正2n边形A1A2A2n，对角线共有

2n(2n3)n(2n3)条.

计算与一边A1A2平行的对角线条数，因A1A2//An1An2，与A1A2平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C. 10．（200川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，

位于原立方体内部的有120条. 解：据题意新的立体图形有24个顶点，每两点连一条线， 共C241223276，其中所有的棱都在原立方体的表面， 有36条.原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以

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连

58220条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此

之外的直线都在原立方体的内部. 二、填空题部分

1．（2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为s,则s的最大值为_

12_. 2．（2006天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球

31在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 44 ．

33．（2006年上海）在△ABC中，已知A30,B105，过边AC上一点D作直线DE，

与边AB或者BC相交于点E，使得CDE60，且DE将△ABC的面积两等分，则

3CD ． AC624．（2006年上海）在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，

n平方米，p平方米，则它的体积为 立方米．

5．（2006陕西赛区预赛）用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和

焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为R1，能包容此框架的最小球的半

R1R233s24(mnp)(mnp)(pm)n(n mp )径为R2，则

等于 .

6．（2006年江苏）长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB14，AD13，则对角线AC1的

取值范围是 4,5 ．

167．(2005全国)如图，四面体DABC的体积为，且满足ACB45,ADBCAC23,

则CD解：133. AD(12BCACsin45)VDABC16,

即ADBCAC21.

第7题图

又3ADBCAC23ADBCAC23,

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等号当且仅当ADBCAC2DC这时AB1,AD面ABC，1时成立，3.

8．（2004 全国）如图、正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1A1的度数是____.

解：连结D1C,作CEBD1，垂足为E，延长CE交A1B于F，则FEBD1， 连结AE，由对称性知AEBD1,FEA是二面角

D1ABD1A1的平面角.连结AC，设AB=1，则

A1B1C1ACAD12,BD13.

23DFE

在RtABD1中，AEABAD1BD12，

ABC4

在AEC中,cosAECAECEAC2AECE222AEAC2AE22232431. 2 AEC120,而FEA是AEC的补角，FEA60.

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