二维谐振子与二维氢原子的能量及波函数关系_樊利芳

2004年5月JOURNALOFSOUTHCHINANORMALUNIVERSITY2004年第2期

(NATURALSCIENCEEDITION)May2004　　No.2,2004文章编号:1000-63(2004)02-0086-04

二维谐振子与二维氢原子的能量及波函数关系

樊利芳,陈　浩

(华南师范大学物理与电信工程学院,广东广州510631)

摘要:通过坐标转换,找出了二维谐振子与二维氢原子的能量及波函数之间的对应关系.关键词:二维谐振子;二维氢原子;能量;波函数中图分类号:O413.1　　　文献标识码:A

ENERGYANDWAVEFUNCTIONOFTHETWODIMENSIONALHARMONICOSCILLTORANDHYDROGENATOM

FANLi-fang,CHENHao

(SchoolofPhysicsandTelecommunicationsEngineering,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China)

Abstract:Bythecoordinatescounterchange,therelationshipbetweenenergyandwavefunctionofTwodimensionalHarmonicOscillatorandHydrogenAtomarefound.

Keywords:twodimensionalharmonicoscillator;twodimensionalhydrogenatom;energy;wavefunction

　　文献[1]借助于SU(1,1)代数,通过坐标变换将二维谐振子与二维氢原子的能量本征值方程化为同一算符的本征值方程,从而得出它们能量及本征函数间的关系.但从其结果上看两者间的关系是存在问题的.本文分析了文献[1]中某些做法的欠妥之处,并在此基础上将直角坐标系下二维氢原子的本征值方程转化成与曲线坐标系下二维谐振子的本征值方程相同的形式.从而得出他们间的能量及波函数的对应关系.

1　对问题的分析

文献[1]经过运算最后得出二维氢原子同二维谐振子的能级关系为

-2μesωEn=.

E2α

收稿日期:2003-01-03

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10204008)

作者简介:樊利芳(1979-),女,河南焦作人,华南师范大学2001级硕士研究生;陈浩(1959-),男,江苏无锡人,博士,华南师范大学教授.

4

2

　第2期樊利芳等:二维谐振子与二维氢原子的能量及波函数关系

　　　87

从其结果上看作者并没有说明上式中n和a的对应关系,容易使人误认为:n=a.实际上通过解薛定谔方程可得到二维氢原子的能级[2]:

μe4s135En=-22　其中n=……

2222n

则知:上式中n和a的对应关系为:n=a+1(其中a=0,2,4,6……).

22

再来比较文献[1]中的(10)式与(30)式:将Ea=(a+1) ω代入(10)式得到F 3在o-x.y坐标系下的本征值

E=

4

a+1　(a=0,1,2,3……)2

(1)

μes

将En=-22代入(30)式得F u.v坐标系下的本征值3在o-2n

135E=n　　n=……

222

系下的本征值是不相等的.由此说明文献[1]的运算过程是存在问题的.

下面讨论导致上述错误结果的原因.首先文献[1]在进行坐标变换

u=

ω22 ωx-y);v=2xy2(2eses

(2)

　　同一个算符在不同的坐标系下其本征值是相等的.但比较(1)式和(2)式知:F 3在两坐标

(3)

后,称新坐标系o-u.v为直角坐标系.本文认为这种说法是不正确的,因为在上述坐标变换

中原点保持不变,所以只有把直角坐标系o-x.y绕原点旋转后,得到的新坐标系才可能是直角坐标系.即只有当上述变换为正交变换时得到的新坐标系o-u.v才可能为直角坐标系.但由正交变换的性质判断上述变换显然不是正交变换[3].所以文献[1]在接下来的讨论中将o-u.v看作直角坐标系,从而用到直角坐标系的性质来处理问题就导致了上述错误结果的产生.实际上经过上述变换后得到的新坐标系是一个以u,v为参数的曲线坐标系.于是文献[1]中将o-x.y坐标系下的算符F v坐标系下的算符后,算符1,F2,F3经过变换得到o-u.中的r′=u2+v2不再代表两点间的距离.但是文中将o-u.v坐标系下的算符F F1作用3+ 在二维氢原子的本征值方程上

(F F1)H ′ψu,v)=(F F1)Enψu,v)3+ n(3+ n(

(4)

2

e2 s2

式中二维氢原子的能量算符H ′=- ′-为直角坐标系下的能量算符,r′代表氢原子的

2μr′

半径.显然它与上面r′=u2+v2中的r′所代表的意义不同,所以(4)式中将它们等同起来的做法是不对的.正确的做法应该是将氢原子的本征值方程也变换到o-u.v曲线坐标系下:

3

+ ω2u+v2--2

u2 v2μes

2

2

es

ψu,v)=Enψu,v)n(n(2u2+v2 ω

然后再将o-u.v坐标系下的算符F 3+ F1作用在该本征值方程上.那么再用文献[1]中的方法就不可能将氢原子的本征值方程化为F 3的本征值方程了.下面介绍另一种方法来寻求二维谐振子同二维氢原子的能级及波函数间的关系.　　88

华南师范大学学报(自然科学版)2004年　

2　二维谐振子同二维氢原子的能量及波函数关系

文献[4]给出哈密顿算符在曲线坐标系下的表示形式

22 ln|G| H =-∑Gij+∑Gij+V.

2ij qi qj4ij qi qj

式中Gij=∑a

qi qj1

;q,q为曲线坐标系的参数;xa为直角坐标系的参数.经计算得出o-ma xa xaij

u.v曲线坐标系下的哈密顿算符为:

223

ω22+2+V(u+vu,v),(5)H =-2 u2 vμes

(6)

其中v为势函数.二维谐振子在直角坐标系下的本征值方程

222

1222

-2μ2+2+2μω(x+y)-Ea (x,y)=0.

x y上式经过(3)式变换到o-u.v曲线坐标系下的本征值方程由(5)式可得

322

μωe2 s ω22-2u+vu2+v2ψ(u,v)=Eaψ(u,v).2+2+ μes u v

(7)

　　由(3)式坐标变换关系知:当x和y同时正负反号时,u和n的值不变.也即是说(6)式中

只有满足偶宇称的态经过(3)式才能变换到(7)式.所以(7)式中能级

Ea=(a1+a2+1) ω,a1+a2取零或偶数.　　下面将二维氢原子的本征值方程转化成(7)式的形式.二维氢原子在直角坐标系下的本征值方程为

222

+2--2μ x2 y

es

2

x2+y2-Enφ(x,y)=0.

(8)

方程两边同乘以

2 ω2x+y2并整理得2

es

2232 ωEn ω22-2x+y2+2-2 x yμeses

42x+y

22φ(x,y)=2 ωφ(x,y).

2(9)

方程两边同乘以

-μes2 En2 En并令ζ=-4x;η=-4y,则(9)式可变为22 Enμesμes

-μe4s

ζ+ηψ(ζ,η)=2 ωψ(ζ,η).(10)22 En

22223

μωe2 ω2 s2-2ζ+η2+2+ ζ η μes

比较(7)式与(10)式得

2

-2μe4-μe4sωs

即:En=.Ea=2 ω2

E22 Ena

(11)

a1+a2

　　令L==0,1,2,3…,则(11)式变为

2

En=-μe4s12 L+222.　第2期樊利芳等:二维谐振子与二维氢原子的能量及波函数关系

上式即二维氢原子的能量本征值,它与通过解薛定谔方程得到二维氢原子的能级是相同的[2].

下面来看二维谐振子与二维氢原子波函数间的关系,由(7)式与(10)式知:ψ(u,v)与ψ(ζ,η)是对应的.即只要求出ψ(u,v),将其中的参数u,v换成ζ,η即可求出ψ(ζ,η).e2e2ss22(u,v).(12)(u+v+u),(u2+v2-u)=ψ

ω ω

上式通过将直角坐标系下的二维谐振子的波函数转化到o-u.v坐标系下得到ψ(u,v).然后

(x,y)= 通过ψ(ζ,η)同φ(x,y)之间的转换关系求出二维氢原子在直角坐标系下的波函数φ(x,y).即:

ψ(ζ,η)=ψ2 En

x,-μe4s

22 En

(x,y).-4y=φ

μes

2(13)

　　通过(12)式和(13)式就可以将直角坐标系下二维谐振子的波函数转化成二维氢原子的波

函数.将直角坐标系下二维氢原子的本征值方程转化成与曲线坐标系下二维谐振子的本征值方程相同的形式.从而得出他们间的能量及波函数的对应关系.参考文献:

[1]　文盛乐.二维谐振子与二维氢原子的能量及波函数[J].量子电子学报,2002,19(3):200-204.[2]　曾谨言.量子力学(卷Ⅰ)[M].第3版.北京:科学出版社,2001:345-347.[3]　张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].第3版.北京:高等教育出版社,1983:321-329.

[4]　KJAERGAARDHG,MORTENSENOS.ThequantummechanicalHamiltonianincurvilinearcoordinates:Asimple

derivation[J].AmJPhys,1990,58(4):344.

【责任编辑　黄玉萍】

(上接第85页)参考文献:

[1]　AHARONOVY,BOHMD.Significanceofelectromagneticpotentialsinthequantumtheory[J].PhysRev,1959,

155(3):485.[2]　BERRYMV.Quantalphasefactoraccompanyingadiabaticchanges[J].ProcRoySocLondon,1984,A392:45.[3]　AHARONOVY,ANANDANJ.Phasechangeduringacyclicquantum[J].PhysRevLett,1987,58:1593.[4]　BULGACA.Ontheeffectiveactionforanonadiabaticquantumprocess[J].PhysRev,1988,A37:4084.[5]　RABIII,MILLMANS,KUSCHP,etal.Themolecularbeamresonancemethodformeasuringnuclearmagnetic

moments[J].PhysRev,1939,55:526.

[6]　NIELSINMA,CHUANGL.QuantumComputationandQuantumInformation[M].London:CambridgeUniversityPress,2000.

[7]　JONESJA,VEDRLV,EKERTA,etal.Geometricquantumcomputationusingnuclearmagneticresonance[J].

Nature,2000,403:869.

【责任编辑　黄玉萍】