6三角函数的证明与求值含答案

6. 三角函数的证明与求值 知识结构

1. 与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：

{}Z k k ∈+?=,360|αββ

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

弧度与角度互换公式:1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°＝180 π≈0.01745（rad ）

3. 弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||22

s lr r α==?扇形

4.三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则

r =

y sin r α=,x cos r α=,y tan x α=,x cot y =,y sec x α=,r csc y

α=

5.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6.三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7.同角三角函数的基本关系式： (1)平方关系

：

22sin cos 1αα+=,22tan 1sec αα+=,221cot cos αα+= (2)商数关系：sin tan cos ααα=； cos cot sin α αα =

(3)倒数关系：1sin csc αα?=, 1tan cot αα?=,1cos sec αα?=

8.诱导公式：把2 k π

α±的三角函数化为

α的三角函数概括为： “函数名：奇变偶不变，±符号看象限” 9.两角和与差的公式：

(1)cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; (2) sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± (3)tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ ±±=

10.倍角公式：（1）sin 22sin cos ααα=；21tan α

αα =- （2）2 2 2 2

cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=+=-=- *特殊角的三角函数值：sin15cos75?=?= ；sin 75cos15?=?=

tan152?=tan 752?=

11.sin cos )y a x b x x ?=+=

+，其中tan b a =

3）22tan tan （一.选择题 αα α2 2

1.若α为第三象限，则α

cos 1sin 2sin 1cos -+ -的值为 （ ） A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1

B [解析]：∵α为第三象限，∴0cos ,0sin <<αα 则 αα α α2

2cos 1sin 2sin 1cos -+ -321|

sin |sin 2|cos |cos -=--=+αα αα

2.以下各式中能成立的是 （ ） A ．21cos sin = =αα B ．2 1

cos =α且2tan =α C ．21sin =α且3 3

tan =α D ．2tan =α且21cot -=α C [解析]： 若21sin =α且3 3

tan =α，则)(62Z k k ∈+

=ππα 3.sin7°cos37°－sin83°cos53°值 （ ） A ．21- B ．21 C ．23 D ．－2 3

A [解析]：sin7°cos37°－sin83°cos53°= sin7°cos37°－cos7°sin37°

=sin(7°- 37°) 4.若函数f(x)=3sin 21x, x ∈[0, 3 π

], 则函数f(x)的最大值是 ( ) A 21 B 32 C 22 D 2 3

D [解析]：|2 cos 2sin |)2cos 2(sin sin 12θ θθθθ+=+=

+, 故选D 5.条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2 cos 2sin θ θ，那么 （ ）

A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的充要条件 C ．甲是乙的必要不充分条件 D ．甲是乙的既不充分也不必要条件

D [解析]：函数f(x)=3sin 21x, ∵x ∈[0, 3π],∴21x ∈[0, 6 π], ∴3sin 21x 2

3≤ 6.α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）

A ．a ＞b B ．b ＞a C ．a =b

D ．不确定 B [解析]：∵α、β为锐角∴1cos 0, 1sin 0<<<<ββ

又sin(βα+)=βαβαsin cos cos sin +<ααcos sin +， ∴b a < 7.(1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( ) A -2 B 2 C 1 D -1

B [解析]：(1+tan25°)(1+tan20°)=1+0 00020tan 25tan 20tan 25tan ++ 0000000

252012520252011252025202

1tan()(tan tan )tan tan tan tan tan tan =++-+=+-+= 8.θ为第二象限的角，则必有 （ ） A ．2tan

θ＞2cot θ B ．2tan θ＜2cot θ C ．2sin θ＞2cos θ D ．sin θ＜cos θ

A [解析]：∵θ为第二象限的角 ∴2θ角的终边在如图区域内， ∴2tan θ＞2

cot θ 9.在△ABC 中，sinA=，cosB=13 12

-，则cosC 等于 （ ） A ．6556 B ．6516- C ．6556或6516- D ．6533 -

A [解析]：∵ cosB=13 12

-，∴B 是钝角，∴C 就是锐角，即cosC>0，故选A

10.若a >b >1, P =b a lg lg ?, Q =21(lg a +lg b )，R =lg 2 b

a +, 则 （ ） A ．R

B ．P C ．Q

D P b >1, ∴lga>0,lgb>0,且b a lg lg ≠ ∴b a lg lg ?< 2

lg lg )lg(212lg lg b a ab ab b a +<==+ 故选B 二.填空题

11.若tan θ=2，则2sin 2θ－3sin θcos θ= 。 52

[解析]：2sin 2θ－3sin θcos θ=1 tan tan 3tan 2cos sin cos sin 3sin 222 222+-=+-θθθθθθθθ 12.若θsin －5 7

cos =θ，θ∈（0，π），则tan θ= 。 34-或4

3

- [解析]： ∵θsin －57cos =θ>1，且θ∈（0，π）∴θ∈（2π，π）

∴ (θsin －22

)57()cos =θ ∴2sin θcos θ=2524-， ∴θsin +5 1cos ±=θ

∴sin θ= cos θ=53-或sin θ=53 cos θ=-， tan θ=34-或4 3 - 13.2 1

cos sin =?βα，则βαsin cos ?范围 。

-21,21 [解析]： ∵+?βαcos sin βαsin cos ?=)sin(βα+ ∴βαsin cos ?=21)sin(-+βα， ∴2

1

sin cos 23≤?≤-βα

又-?βαcos sin βαsin cos ?=)sin(βα-， ∴βαsin cos ?=)sin(2 1 βα--

∴23sin cos 21≤?≤-βα， 故2 1sin cos 21≤?≤-βα

14.下列命题正确的有_________。 （1）若－2π＜α＜β＜2 π

，则βα-范围为（－π，π）； （2）若α在第一象限，则2 α

在一、三象限；

（3）若θsin =53+-m m ，524cos +-=m m

θ，则m ∈（3，9）；

（4）④2sin θ=53，2cos θ= -，则θ在一象限。

②④[解析]：∵若－2π＜α＜β＜2 π

，则βα-范围为（－π，0）∴①错 ∵若θsin =53+-m m ，524cos +-=m m θ，则m ∈（3，9） 又由1cos sin 2

2=+θθ得m=0或 m=8， ∴m=8， 故③错 三.解答题

15.已知sin(α＋β)=－53，cos(βα-)=1312，且2 π＜β＜α＜43π，求sin2α. 解: ∵2 π＜β＜α＜43π ∴40,23π βαπβαπ<-<<

+< ∵sin(α＋β)=－53，cos(βα-)=1312 ∴cos(α＋β)=5 4- sin(βα-)=135

∴)]()sin[(2sin βαβαα-++==65 56 -.

16.（已知),2 ,4(,41)24 sin( )24 sin(π ππ π ∈=

-?+a a a 求1cot tan sin 22--+a a a 的值. 解: 由)24sin( )24sin(

a a -?+π π = )24 cos( )24sin( a a +?+π π

=,414cos 21)42sin(21==+a a π 得.214cos =a 又)2,4(ππ∈a ,所以12

5π =a . 于是 α

αααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222

-+ -=-+-=--+

==)65cot 265(cos ππ+-=32 5)3223(=---

17.在△ABC 中，sinA+cosA= 2 2

，AC=2，AB=3，求tgA 的值和△ABC 的面积. 解：∵sinA+cosA=2cos(A －45°)=2

2

， ∴cos(A －45°)= 21. 又0°131-+=－2－3.

∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=4 6

2+. ∴S ABC =21AC ·AbsinA=21·2·3·4 62+=43(2+6).

18.设关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β. (Ⅰ)求α的取值范围; (Ⅱ)求tan(α+β)的值 解: (Ⅰ)∵sinx+3cosx=2(21sinx+2

3cosx)=2 sin(x+3π), ∴方程化为sin(x+ 3 π)=-2a

. ∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解, ∴sin(x+3π)≠sin 3π=23 .

又sin(x+3π)≠±1 (∵当等于23 和±1时仅有一解), ∴|-2a |<1 . 且-2a ≠2

3. 即|a|<2 且a ≠-3. ∴ a 的取值范围是(-2, -3)∪(-3, 2). (Ⅱ) ∵α、 β是方程的相异解,

∴sin α+3cos α+a=0 ①. sin β+3cos β+a=0 ②. ①-②得(sin α- sin β)+3( cos α- cos β)=0. ∴ 2sin

2β α-cos 2β α+-23sin 2β α+sin 2 β α-=0,

又sin 2βα+≠0, ∴tan 2βα+=3 3.

∴tan(α+β)=2

tan 22tan 22 β

αβα+-+=3.