全等三角形.第2讲.全等三角形与中点问题.学生版

第二讲

全等三角形与 中点问题

三角形中线的定义： 三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理：

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一 （底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合 三角形中位线定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.

）

中位线判定定理： 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边. 中线中位线相关问题（涉及中点的问题） 见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理

（以后还要学习中线长公式 ），尤其是

在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.

严云」例题精讲J

重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法

版块一倍长中线

【例1】（ 2002年通化市中考题）在厶ABC中，AB 5, AC 9，贝U BC边上的中线 AD的长的取值范围是 什么？

【补充】已知：

ABC中，AM是中线•求证:

AM -(AB AC) •

【例2】【例3】【例4】【例5】2

M

已知：如图，梯形 ABCD中，AD II BC,点E是CD的中点，BE的延长线与 AD的延长线相交于 点F .求证： BCE

如图，在 ABC中，D是BC边的中点, F , E分别是AD及其延长线上的点,

CF II BE .求证:

也FDE •

BDE也 CDF .

如图， ABC中，AB如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，延长 BE交AC于F , AF EF , 求证：AC BE •

【例6】【例7】

【例8】A

如图所示，在 ABC和 ABC中，AD、AD 分别是 BC、BC上的中线，且AB AB , AC AD AD，求证 ABC

AC ,

也 ABC .

C

E'

如图，在 ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点 F , 于点G，若交EF

BG CF，求证：AD为 ABC的角平分线.

已知AD为 ABC的中线， ADB , ADC的平分线分别交 AB于E、交AC于F .求证: BE CF EF .

【例9】在Rt ABC中,

A

A 90 ,点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED FD •以

线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角 三角形？

C

【例10】如图所示，在 ABC中, D是BC的中点,

DM垂直于 DN，如果BM 2 CN2

DM

2

2

DN ，求证

1 2 —2

AD - AB AC •

4

2

【例10】在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足 DFE 90 •若AD 3 ,

BE 4，则线段DE的长度为 _______________ •

A

图6

【例11】如图所示，

BAC DAE 90 , M是BE的中点， AB AC , AD AE，求证 AM CD .

E

版块二、中位线的应用

1

【例12】AD是 ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交 AC于E .求证：AE -AC .

3

【例13】如图所示，在 ABC中，AB AC,延长AB到D，使BD AB , E为AB的中点，连接 CE、

CD , 求证CD 2EC .

【例14】已知：ABCD是凸四边形，且 AC交BD于N, AC和BD交于 G点.求证: / GMN> / GNM .

A E A E

B

【例16】如图，在五边形ABCDE中，ABC

【例15】在ABC中， ACB 90 , AC

AE EB 且 AE BE .

1

-BC ,以BC为底作等腰直角 2

BCD , E是CD的中点，求证:

D

AED 90， BAC EAD , F 为 CD 的中点.求证：BF EF .

E

【例17】如图所示，P是 ABC内的一点， PAC PBC，过P作PM AC于 M , PL BC于

L , D为AB的中点，求证DM DL .

C

【例18】如图所示，在 ABC中，D为AB的中点，分别延长 CA、CB到点E、F ,使DE DF •过E、F

分别作直线CA、CB的垂线，相交于点 P，设线段PA、PB的中点分别为 M、N •求证：

(1) (2)

DEM 也 FDN ; PAE PBF •

F

【例19】已知，如图四边形 ABCD中，AD BC , E、F分别是AB和CD的中点, AD、EF、BC的延长

线分别交于 M、N两点. 求证： AME BNE •

M

C

【例20】已知：在 ABC中，BC

的顶点A逆时针旋转，且 AC，动点D绕ABC AD BC，连结DC •过

AB、DC的中点E、F作直线，直线 EF与直线AD、BC分别相交于点 M、

D

B

图

中位线定理和平行线的性质，可得结论 ⑵ 当点D旋转到图2或图3中的位置时，

图3

1 ⑴如图1,当点D旋转到BC的延长线上时，点 N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、 HF ,根据三角形

AMF

BNE（不需证明）•

AMF与 BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任

选一种情况证明.

1 2

【例21】如图，AE丄AB, BC丄CD，且AE=AB, BC=CD , F为DE的中点，FM丄AC.证明：FM=—AC

D

D

K

【例22】已知：在厶ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形 ABM ,和CAN , P是边BC的中点.求

家庭作业

证：PM = PN

【习题1】 如图，在等腰 ABC中，AB AC , D是BC的中点，过A作AE DE , AF DF，且AE AF . 求证： EDB FDC .

A

F

【习题2】如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC，延长BE交AC于

F , AF与EF相等吗？为什么？

【习题3】如右下图，在 ABC中，若 B 2 C，AD BC， E为BC边的中点.求证： AB 2DE .

月测备选

【备选1】如图，已知 AB=DC, AD=BC,

求证：/ E=Z F

O是BD中点，过0点的直线分别交A

、BC的延长线于E, .

DAF

【备选2】如图， ABC中，AB AC , BE AF , AE CF .

, 是BC中点，ED FD , 与AB交于E , F

与 AC 交于 F .求证：

BAC 90 DEDFD