2009-2019年考研数学二真题及答案解析
、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
) (1)当X--+O时，若x-tan x与X是同阶无穷小，则k= (
(C)3.(A)l.(B)2.(D)4.
一
k
(2)曲线y= xsin x + 2cos x (-�< x < 27T)的拐点坐标为（
2
(A)(O, 2). (A)
(B)(1r, -2). (B)
）xe-x'dx.
01 -04题扫我听课
(3)下列反常积分发散的是（
cc)(;,;).
rctanx dx. 厂al+
x
o
2
(D)(D)
卢-3t)
x厂l+dx
x
o
2
2x)厂+e元，则a、b、c依次为（ayI + by = cex的通解为y= (C, +C(4)已知微分方程yII +
(A)l, 0, 1.(D)2, 1, 4.(C)2, 1, 3.(B)l, 0, 2.(5)已知平面区域D= {ex, y) lxl+ Ir:::::;
『sin
D
D
厂xe-dx.
o
x
『
o
\"'
(C)
）
Jx2+7dxd y, 13 =『CI-cos R勹）dxdy, 则（
< I2 < < I2 < l1.
f}, 八＝『五
）
了
5了dxdy,
I2 =
os -os题扫我听课
x-g(x) 0
(6)已知f(x),g(x)2阶可导且2阶导函数在X= a处连续，则limJ() = 是曲线2 x---+a (x-a)
） y =f(x)和y= g(x)在X= a对应的点处相切且曲率相等的（
(B)充分必要条件．(A)充分非必要条件
(C)必要非充分条件.(D)既非充分又非必要条件．
(7)设A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则
)*) = (r(A
(A)O.(B)l.(C)2.(D)3.
2r
(8)设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵．若A+A I=4 , 则二次型x= 2E, 且IAAx的
规范形为（
(A)yi +式+y;.(B)外+y; -Y�(Chi -y; -y;.(D) -Yi -y; -y;.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）
1__
x--->O
(A)/3 (C) It
I3.
(B)lz
(D) I2
< I1 <
l3,
< I3 < It.
L卓..:飞丫飞心了
元
+ (9) lim (x 2）无＝
(10)曲线{
x = t -sin t, 在=竺对应点处的切线在轴上
的截距为yt
2 osl c= y t -—
．
．
l
—
2az＿-L=+2-zuyx则可导)设＇数）函fcaz,f（lla y xyax .nSxo2的弧长为）曲线y＝l（lc）卫（
x6.2s、巳f_＿x1t．xtd） d3(数（函f ）丿f（,Xlx儿f nt
＼
．(。V/V/,
10则0lII＼.．＿-2l-11A＿A、tA子式，则A元数余代）示的中A2II表I（已］矩4阵= （，，”l 计-知 l23 丿 2 \\4丿 0 3 知。
—三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）(15)(本题满分10分）X > 0, 产，求f'(x)'并求J(x)的极值巳函数J(x)= {Xe+1, X ::::; 0.x 15 -17题扫我听课知(16)(本题满分10分）求不定积分J扣飞6. dx. (17)(本题满分10分）设函数y(x)是微分方程y'-xy = l e尽满足条件y(l)=石的特解2五(I)求y(x);求D绕x轴旋转所得旋转体(II)设平面区域D= 1 (x,y) I 1 ::::; x::;;; 2,0 ::::; y::;;; y(x) f, 的体积．—2— (18)(本题满分10分）
ff
2
3�y勹，计算二重积分巳知平面区域D= 1 (x ,y) I I x I�y, (x+ y)
x + y dd.
xy
2
vJx2+7
(19)(本题满分10分）
设n为正整数，记凡为曲线y= e-xsin x(O�x�n'IT)与x轴所围图形的面积，求S\并limS旷求n--+oo
(20)(本题满分11分）
已知函数u(x,y)满足2ev(X ,y)
ax+by
a切
如如
-2 扩u+3—+3— = 0, 求a,b的值，使得在变换u(x,y)= 矿矿加切
下，上述等式可化为v(x,y)不含一阶偏导数的等式
—
3
—
(21)(本题满分11分）
已知函数f(x)在[0, 1]上具有2阶导数，且八0)= 0 , f(I) = 1
i�; !!! : ��·.:: ·. 言;��)
,f1 c
dx = 1 证明：, x)
=<�2
髻
21 -23题扫我听课
(22)(本题满分11分）
巳知向最组I, a, = [:]. a, =P, =
[矿；J
[n [矿;�} {�J ;』
a,
=
P
TI , ,
,
P{
若向显组I与II等价，求a的取值，并将P,正，a,,a,线性表示．
(23)(本题满分11分）
巳知矩阵A
c
[-,2
(I)求x,y;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP= B.
。
-.
2
0 -2
_尸[� _1,
0
0
�]相似
y
—
4
—
2019年真题参考答案一、选择题(l)C. (2)B. (3)D. (4)D. (5)A. (6)A. (7)A. (8)C.二、填空题(9)4e气(10)三、解答题罕+2. (11) Y. 飞）．1 1 (12)—ln 3. (13)—(cos 1 -1) . (14) -4. 4 2 (15)f'(x) = X 父(x+,l){e+ 2e让In元(lnx I) , x x 一、选择题（本题共８小题，每小题４分，共３２分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（１）若ｌｉｍ（ｅｘ＋ａｘ２＋ｂｘ）ｘ＝１，则（ ） ｘ→０ ２ １ （Ａ）ａ＝（Ｃ）ａ＝ （Ａ）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ．（Ｃ）ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ． （Ｂ）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎ（Ｄ）ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ≥０． （３）设函数ｆ（ｘ）＝ 则（ ） ｘ≥０， ｇ（ｘ）＝ （Ａ）ａ＝３，ｂ＝１． 纪（Ｃ）当ｆ′（ｘ）（５）设Ｍ＝ （Ａ）当ｆ′（ｘ）＜０时，ｆ１ ２ 高０ （４）设函数ｆ（ｘ）在［０，１］上二阶可导，且ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，则（ ） （Ｃ）ａ＝－３，ｂ＝１． 世（Ａ）Ｍ＞Ｎ＞Ｋ．（Ｃ）Ｋ＞Ｍ＞Ｎ． ０ ２－ｘ２ －１ ∫ π２ －２ π （１＋ｘ）２ ｄｘ，Ｎ＝ １＋ｘ２ ()＜０． ＞０时，ｆ(１)＜０． ２ ∫ π２ 教在ｘ，ｘ－ｂ， {１， －１， ｘ＜０， { ２－ａｘ， ｘ≤－１， －１＜ｘ＜０，若ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）在Ｒ上连续， （Ｂ）ａ＝３，ｂ＝２． ∫ １ （Ｄ）ａ＝－３，ｂ＝２． （Ｂ）当ｆ″（ｘ）＜０时，ｆ１ ２（Ｄ）当ｆ″（ｘ） －２ π １＋ｘ ｄｘ，Ｋ＝ｅｘ ∫ π２ －２ π （Ｂ）Ｍ＞Ｋ＞Ｎ．（Ｄ）Ｋ＞Ｎ＞Ｍ． ７．３ （１＋ （６） ∫ｄｘ∫ （Ａ） æ１ （７）下列矩阵中，与矩阵ç０ çè０ æ１（Ａ）ç０ çè０ １０１ －１ö ÷１÷．１ø ５．３ －ｘ （１－ｘｙ）ｄｙ＋ ∫ｄｘ∫ １０ ２－ｘ２ｘ （Ｂ）１１０ ０ö÷ １÷相似的为（ ）１ø ５．６ （１－ｘｙ）ｄｙ＝（ ） （Ｃ） 线ｘ． ０１０ －１ö ÷１÷．１ø （２）下列函数中，在ｘ＝０处不可导的是（ ） １ ，ｂ＝１．２ １ ，ｂ＝－１．２ （Ｂ）ａ＝－（Ｄ）ａ＝－ １ ，ｂ＝－１．２１ ，ｂ＝１．２ ｘ．()＜０． ＞０时，ｆ(１)＜０． ２ ｃｏｓｘ）ｄｘ，则（ ） （Ｄ） ７．６ — １— æ１（Ｂ）ç０ çè０ （８）设Ａ，Ｂ为ｎ阶矩阵，记ｒ（Ｘ）为矩阵Ｘ的秩，（Ｘ，Ｙ）表示分块矩阵，则（ ） （Ａ）ｒ（Ａ，ＡＢ）＝ｒ（Ａ）． （Ｃ）ｒ（Ａ，Ｂ）＝ｍａｘ｛ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）｝． ． （Ｂ）ｒ（Ａ，ＢＡ）＝ｒ（Ａ）．（Ｄ）ｒ（Ａ，Ｂ）＝ｒ（ＡＴ，ＢＴ）． æ１（Ｃ）ç０ çè０ １１０－１ö ÷０÷．１øæ１（Ｄ）ç０ çè０ ０１０－１ö ÷０÷．１ø ．∂ｚ∂ｘ （１４）设Ａ为３阶矩阵，α１，α２，α３为线性无关的向量组．若Ａα１＝２α１＋α２＋α３，Ａα２＝α２＋２α３， Ａα３＝－α２＋α３，则Ａ的实特征值为．三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（１５）（本题满分１０分） 求不定积分ｅ２ｘａｒｃｔａｎ （１６）（本题满分１０分） （Ⅰ）求ｆ（ｘ）； 世纪高∫ ｘ０ ∫ ｅｘ－１ｄｘ． 已知连续函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｔ）ｄｔ＋ （Ⅱ）若ｆ（ｘ）在区间［０，１］上的平均值为１，求ａ的值． 教在∫ｔｆ（ｘ－ｔ）ｄｔ＝ａｘ． ｘ０ ２ （１３）设函数ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）由方程ｌｎｚ＋ｅｚ－１＝ｘｙ确定，则 — ２— 线(２，１)２ （１０）曲线ｙ＝ｘ２＋２ｌｎｘ在其拐点处的切线方程是 ＋∞ １ （１１）ｄｘ＝． ５ｘ２－４ｘ＋３ ｘ＝ｃｏｓ３ｔ，π （１２）曲线在ｔ＝对应点处的曲率为 ４ｙ＝ｓｉｎ３ｔ （９）ｌｉｍｘ２［ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ］＝ ｘ→＋∞ 二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．） ． ∫ { ＝． （１７）（本题满分１０分） 设平面区域Ｄ由曲线 ∬（ｘ＋２ｙ）ｄｘｄｙ． Ｄ {ｙ＝１－ｃｏｓｔ ｘ＝ｔ－ｓｉｎｔ， （０≤ｔ≤２π）与ｘ轴围成，计算二重积分 （１９）（本题满分１０分） 最小值？若存在，求出最小值． （２０）（本题满分１１分） 已知曲线Ｌ：ｙ＝ 世时间ｔ的变化率． 线ＡＰ及曲线Ｌ所围图形的面积．若Ｐ运动到点（３，４）时沿ｘ轴正向的速度是４，求此时Ｓ关于 纪４２ ｘ（ｘ≥０），点Ｏ（０，０），点Ａ（０，１）．设Ｐ是Ｌ上的动点，Ｓ是直线ＯＡ与直９ — ３— 高将长为２ｍ的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在 教在线（１８）（本题满分１０分） 已知常数ｋ≥ｌｎ２－１．证明：（ｘ－１）（ｘ－ｌｎ２ｘ＋２ｋｌｎｘ－１）≥０． （２１）（本题满分１１分） 设数列｛ｘｎ｝满足：ｘ１＞０，ｘｎｅｘｎ＋１＝ｅｘｎ－１（ｎ＝１，２，…）．证明｛ｘｎ｝收敛，并求ｌｉｍｘｎ． ｎ→∞ （２２）（本题满分１１分） （Ⅱ）求ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）的规范形． （２３）（本题满分１１分） （Ⅱ）求满足ＡＰ＝Ｂ的可逆矩阵Ｐ． 世纪（Ⅰ）求ａ； 高３７ æ１ 已知ａ是常数，且矩阵Ａ＝ç１ çè２ 教在２ — ４— ａöæ１÷ç０÷可经初等列变换化为矩阵Ｂ＝０ çè－１－ａø 线ａ２ö ÷１１÷．１１ø （Ⅰ）求ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝０的解； 设实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝（ｘ１－ｘ２＋ｘ３）２＋（ｘ２＋ｘ３）２＋（ｘ１＋ａｘ３）２，其中ａ是参数． ２０１８年真题参考答案 一、选择题 （１）Ｂ． （２）Ｄ． （３）Ｄ． （４）Ｄ． （５）Ｃ． （６）Ｃ． （７）Ａ． （８）Ａ．二、填空题 （９）１． （１０）ｙ＝４ｘ－３． （１１）三、解答题 １２１ ｌｎ２． （１２）． （１３）． （１４）２．２３４ （１６）（Ⅰ）ｆ（ｘ）＝２ａ（１－ｅ－ｘ）．（１７）３π２＋５π．（１８）证明略．（２０）１０． （Ⅱ）ａ＝ ｅ ．２ （１９）三个图形的面积之和存在最小值，最小值为（２１）证明略．ｌｉｍｘｎ＝０． ｎ→∞ （Ⅱ）满足ＡＰ＝Ｂ的可逆矩阵为 纪（２３）（Ⅰ）ａ＝２． ２２２２ （Ⅱ）当ａ≠２时，ｆ的规范形为ｆ＝ｙ２１＋ｙ２＋ｙ３；当ａ＝２时，ｆ的规范形为ｆ＝ｚ１＋ｚ２． ＝０的解为（ｘ１，ｘ２，ｘ３）Ｔ＝ｋ（－２，－１，１）Ｔ，其中ｋ为任意常数． 高（２２）（Ⅰ）当ａ≠２时，ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝０的解为（ｘ１，ｘ２，ｘ３）Ｔ＝（０，０，０）Ｔ；当ａ＝２时，ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） 世其中ｋ１，ｋ２，ｋ３为任意常数，且ｋ２≠ｋ３． æ－６ｋ１＋３ ç Ｐ＝ç２ｋ１－１ ç ｋ１è 教在１ ． π＋４＋３３－６ｋ２＋４２ｋ２－１ｋ２ — ５— 线－６ｋ３＋４ö ÷ ２ｋ３－１÷， ÷ｋ３ø ３ｅ２ｘａｒｃｔａｎｅｘ－１１１ －（ｅｘ－１）２－（１５） ２６２ ｅｘ－１＋Ｃ，其中Ｃ为任意常数． ２０１７年全国硕士研究生招生考试试题 、一 选择题 （ 本题共 ８小题 ， 每小题 ４分 ， 共 ３２ 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（１）若函数ｆ（ｘ）＝ （Ａ）ａｂ＝ １ ．２ { １－ｃｏｓｘ， ａｘｂ， ｘ＞０，ｘ≤０１．２ 在ｘ＝０处连续，则（ ） （Ｃ）ａｂ＝０． （Ｄ）ａｂ＝２． ） （Ｂ）ａｂ＝－ （３）设数列｛ｘｎ｝收敛，则（ （Ｂ）当ｌｉｍ（ｘｎ＋ ｎ→∞ｎ→∞ｎ→∞ －１ ０ 教在－１ ｎ→∞ －１ ∫（Ｃ）∫ （Ａ） １ －１０ ｆ（ｘ）ｄｘ＞０． １ ｆ（ｘ）ｄｘ＞ ∫ｆ（ｘ）ｄｘ． ２ｎ （Ｂ） （Ａ）当ｌｉｍｓｉｎｘｎ＝０时，ｌｉｍｘｎ＝０． ｎ→∞ ） ∫（Ｄ）∫ １ －１０ ｆ（ｘ）ｄｘ＜０．ｆ（ｘ）ｄｘ＜ ０ （Ｃ）当ｌｉｍ（ｘｎ＋ｘ）＝０时，ｌｉｍｘｎ＝０． ｎ→∞ ｎ→∞ ２ｘ ｎ→∞ ｘｎ）＝０时，ｌｉｍｘｎ＝０． （４）微分方程ｙ″－４ｙ′＋８ｙ＝ｅ（１＋ｃｏｓ２ｘ）的特解可设为ｙ∗＝（ ） 纪（５）设ｆ（ｘ，ｙ）具有一阶偏导数，且对任意的（ｘ，ｙ），都有 （Ｃ）Ａｅ２ｘ＋ｘｅ２ｘ（Ｂｃｏｓ２ｘ＋Ｃｓｉｎ２ｘ）．（Ａ）ｆ（０，０）＞ｆ（１，１）．（Ｃ）ｆ（０，１）＞ｆ（１，０）． （Ａ）Ａｅ２ｘ＋ｅ２ｘ（Ｂｃｏｓ２ｘ＋Ｃｓｉｎ２ｘ）． 高（Ｄ）当ｌｉｍ（ｘｎ＋ｓｉｎｘｎ）＝０时，ｌｉｍｘｎ＝０． （Ｄ）Ａｘｅ２ｘ＋ｘｅ２ｘ（Ｂｃｏｓ２ｘ＋Ｃｓｉｎ２ｘ）．（Ｂ）ｆ（０，０）＜ｆ（１，１）． （Ｂ）Ａｘｅ２ｘ＋ｅ２ｘ（Ｂｃｏｓ２ｘ＋Ｃｓｉｎ２ｘ）． ｆ（ｘ，ｙ）ｆ（ｘ，ｙ） ＞０，＜０，则（ ） ｙｘ （６）甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方１０（单位：ｍ）处，图中，实线表示甲的速度曲线三块阴影部分面积的数值依次为１０，２０，３．计时开始后乙追上甲的时刻记为ｔ０（单位：ｓ），则（ ）（Ａ）ｔ０＝１０．（Ｃ）ｔ０＝２５．（Ｄ）ｔ０＞２５．（Ｂ）１５＜ｔ０＜２０． ０１０ ０ö ÷０÷，则２ø ｖ＝ｖ１（ｔ）（单位：ｍ／ｓ），虚线表示乙的速度曲线ｖ＝ｖ２（ｔ）， æ０ （７）设Ａ为３阶矩阵，Ｐ＝（α１，α２，α３）为可逆矩阵，使得ＰＡＰ＝ç０ çè０ — １— 世（Ｄ）ｆ（０，１）＜ｆ（１，０）． 线１ （２）设二阶可导函数ｆ（ｘ）满足ｆ（１）＝ｆ（－１）＝１，ｆ（０）＝－１且ｆ″（ｘ）＞０，则（ ∫ｆ（ｘ）ｄｘ． Ａ（α１＋α２＋α３）＝（ ）æ２ （８）已知矩阵Ａ＝ç０ çè０ （Ａ）α１＋α２． ０２０ （Ｂ）α２＋２α３．０öæ２÷ç１÷，Ｂ＝０ çè０１ø １２０ （Ａ）Ａ与Ｃ相似，Ｂ与Ｃ相似． ０öæ１ ÷ç０÷，Ｃ＝０ çè０１ø （Ｃ）α２＋α３． ０２０ （Ｃ）Ａ与Ｃ不相似，Ｂ与Ｃ相似． （Ｂ）Ａ与Ｃ相似，Ｂ与Ｃ不相似． ０ö ÷ ０÷，则（ ）２ø （Ｄ）α１＋２α２． （Ｄ）Ａ与Ｃ不相似，Ｂ与Ｃ不相似． 二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．）（９）曲线ｙ＝ｘ１＋ａｒｃｓｉｎ （１３） 三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ｘ→０＋ ０ （１６）（本题满分１０分） 世纪ｘ３（１５）（本题满分１０分） ∫求ｌｉｍ ｘ ｘ－ｔｅｔｄｔ ． 高æ４ ç （１４）设矩阵Ａ＝ç１ ç３è ∫ｄｙ∫ １０ ｆ（ｘ，ｙ）＝ １ｙ ｔａｎｘ ｄｘ＝ｘ ． ２１ １ －２öæ１ö ÷ ａ÷的一个特征向量为ç１÷，则ａ＝ ç÷ －１÷è２øø ． 教在ｘ （１２）设函数ｆ（ｘ，ｙ）具有一阶连续偏导数，且ｄｆ（ｘ，ｙ）＝ｙｅｙｄｘ＋ｘ（１＋ｙ）ｅｙｄｙ，ｆ（０，０）＝０，则 （１１） ∫ ＋∞ ０ ｌｎ（１＋ｘ） ｄｘ＝ （１＋ｘ）２ ． ｄｙ 设函数ｆ（ｕ，ｖ）具有２阶连续偏导数，ｙ＝ｆ（ｅ，ｃｏｓｘ），求 ｄｘ — ２— 线．ｄ２ｙ，２ｘ＝０ｄｘ ｘ＝０ ｄ２ｙ （１０）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由参数方程确定，则２ ｄｘｙ＝ｓｉｎｔ ( ２ ｘ )的斜渐近线方程为 ． ＝ ． { ｘ＝ｔ＋ｅｔ， ｔ＝０ ． （１７）（本题满分１０分） 求ｌｉｍ ｎ→∞ｋ＝１ ｎ ｋｋ ｌｎ１＋ ｎｎ２ ( )． （１８）（本题满分１０分） 已知函数ｙ（ｘ）由方程ｘ３＋ｙ３－３ｘ＋３ｙ－２＝０确定，求ｙ（ｘ）的极值． （１９）（本题满分１０分） 教在ｘ→０＋ 设函数ｆ（ｘ）在区间［０，１］上具有２阶导数，且ｆ（１）＞０，ｌｉｍ （２０）（本题满分１１分） 世纪已知平面区域Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２≤２ｙ｝，计算二重积分（ｘ＋１）２ｄｘｄｙ． Ｄ 高（Ⅰ）方程ｆ（ｘ）＝０在区间（０，１）内至少存在一个实根； （Ⅱ）方程ｆ（ｘ）ｆ″（ｘ）＋［ｆ′（ｘ）］２＝０在区间（０，１）内至少存在两个不同实根． — ３— 线ｆ（ｘ） ＜０．证明：ｘ ∬ （２１）（本题满分１１分） 的坐标（ｘ，ｙ）满足的方程． ｌ在点Ｐ处的切线与ｙ轴相交于点（０，ＹＰ），法线与ｘ轴相交于点（ＸＰ，０），若ＸＰ＝ＹＰ，求ｌ上点 设ｙ（ｘ）是区间０， ( ３２ )内的可导函数，且ｙ（１）＝０．点Ｐ是曲线ｌ∶ｙ＝ｙ（ｘ）上的任意一点， （２２）（本题满分１１分） （Ⅰ）证明ｒ（Ａ）＝２； （Ⅱ）若β＝α１＋α２＋α３，求方程组Ａｘ＝β的通解． （２３）（本题满分１１分） 世２ 形为λ１ｙ２１＋λ２ｙ２，求ａ的值及一个正交矩阵Ｑ． ２２设二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２ｘ２１－ｘ２＋ａｘ３＋２ｘ１ｘ２－８ｘ１ｘ３＋２ｘ２ｘ３在正交变换ｘ＝Ｑｙ下的标准 纪高— ４— 教在设３阶矩阵Ａ＝（α１，α２，α３）有３个不同的特征值，且α３＝α１＋２α２． 线２０１７年真题参考答案 一、选择题 （１）Ａ． （２）Ｂ． （３）Ｄ． （４）Ｃ． （５）Ｄ． （６）Ｃ． （７）Ｂ． （８）Ｂ．二、填空题 （９）ｙ＝ｘ＋２． （１０）－三、解答题 １ ． （１１）１． （１２）ｘｙｅｙ． （１３）－ｌｎ（ｃｏｓ１）． （１４）－１．８ ｄｙ（１６） ｄｘ（１７） ｘ＝０ （１８）极大值：ｙ（１）＝１．极小值：ｙ（－１）＝０．（２０）（１９）证明略． ５π．４ 世æ－１ç２ç （２３）ａ＝２，Ｑ＝ç０ çççç１è２（Ⅱ）ｋ（１，２，－１）Ｔ＋（１，１，１）Ｔ为线性方程组Ａｘ＝β的通解，其中ｋ为任意常数． 纪－１３１３高１３（２１）ｌｎ（ｘ２＋ｙ２）＋２ａｒｃｔａｎ（２２）（Ⅰ）证明略． ｙ ＝０，ｘ∈ｘ ２ 形为ｆ＝６ｙ２１－３ｙ２． １ö ６÷÷æ６２÷ ，且ＱＴＡＱ＝ç０ ç６÷ ÷è０１÷÷６ø 教在(０，３)． ２ －３００ ０ö÷ ０÷，即ｆ在正交变换ｘ＝Ｑｙ下的标准０ø — ５— １．４ ｄ２ｙ ＝ｆ′１（１，１）． ｄｘ２ ｘ＝０ ＝ｆ′″（１，１）－ｆ′１（１，１）＋ｆ１１２（１，１）． 线（１５） ２ ．３ ２０１６年全国硕士研究生招生考试试题 、一 选择题 （ 本题共 ８小题 ， 每小题 ４分 ， 共 ３２ 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） ３（１）设α１＝ｘ（ｃｏｓｘ－１），α２＝ｘｌｎ（１＋ｘ），α３＝ 量按照从低阶到高阶的排序是（ ）（Ａ）α１，α２，α３． ３ｘ＋１－１．当ｘ→０＋时，以上３个无穷小 （Ｄ）α３，α２，α１． ｘ＜１，ｘ＜１，ｘ≥１． （２）已知函数ｆ（ｘ）＝ （Ａ）Ｆ（ｘ）＝ （３）反常积分① （Ａ）函数ｆ（ｘ）有２个极值点，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）有２个拐点．（Ｄ）函数ｆ（ｘ）有３个极值点，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）有２个拐点．ｙ＝ｆ２（ｘ）的曲率，则在ｘ０的某个邻域内，有（ （５）设函数ｆｉ（ｘ）（ｉ＝１，２）具有二阶连续导数，且ｆｉ″（ｘ０）＜０（ｉ＝１，２）．若两条曲线ｙ＝ｆｉ（ｘ） 世（ｉ＝１，２）在点（ｘ０，ｙ０）处具有公切线ｙ＝ｇ（ｘ），且在该点处曲线ｙ＝ｆ１（ｘ）的曲率大于曲线（Ａ）ｆ１（ｘ）≤ｆ２（ｘ）≤ｇ（ｘ）． （Ｄ）ｆ２（ｘ）≤ｇ（ｘ）≤ｆ１（ｘ）．（Ｃ）ｆｘ′－ｆｙ′＝ｆ． （Ｄ）ｆｘ′＋ｆｙ′＝ｆ． （Ｂ）ｆ２（ｘ）≤ｆ１（ｘ）≤ｇ（ｘ）． ） ｅｘ（６）已知函数ｆ（ｘ，ｙ）＝，则（ ） ｘ－ｙ （Ａ）ｆｘ′－ｆｙ′＝０． （Ｂ）ｆｘ′＋ｆｙ′＝０． （Ｃ）ｆ１（ｘ）≤ｇ（ｘ）≤ｆ２（ｘ）． （７）设Ａ，Ｂ是可逆矩阵，且Ａ与Ｂ相似，则下列结论错误的是（ ） （Ａ）ＡＴ与ＢＴ相似．（Ｃ）Ａ＋ＡＴ与Ｂ＋ＢＴ相似．则（ ）（Ａ）ａ＞１． 纪（Ｃ）函数ｆ（ｘ）有３个极值点，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）有１个拐点． （Ｂ）函数ｆ（ｘ）有２个极值点，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）有３个拐点． 高（４）设函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）内连续，其导函数的图形如图所示， 则（ ） （Ｃ）①发散，②收敛． （Ａ）①收敛，②收敛． ∫ ０ －∞ １１ ｅｘｄｘ，②２ｘ ∫ ＋∞ ０ １１ ｅｘｄｘ的敛散性为（ ）２ｘ ２２ （８）设二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ａ（ｘ２１＋ｘ２＋ｘ３）＋２ｘ１ｘ２＋２ｘ２ｘ３＋２ｘ１ｘ３的正、负惯性指数分别为１，２， （Ｂ）ａ＜－２． 教在— １— {ｘ（ｌｎｘ－１），ｘ≥１．（ｘ－１），ｘ＜１， （Ｃ）Ｆ（ｘ）＝{ｘ（ｌｎｘ＋１）＋１，ｘ≥１． ２ （ｘ－１）２，ｘ＜１， {ｘ（ｌｎｘ＋１）－１， （ｘ－１）， （Ｄ）Ｆ（ｘ）＝{ｘ（ｌｎｘ－１）＋１， （Ｂ）Ｆ（ｘ）＝ ２ 线（ｘ－１）２， {ｌｎｘ， ２（ｘ－１）， （Ｂ）α２，α３，α１． ｘ＜１， （Ｃ）α２，α１，α３． ｘ≥１， 则ｆ（ｘ）的一个原函数是（ ） ｘ≥１． （Ｄ）①发散，②发散． （Ｂ）①收敛，②发散． （Ｂ）Ａ－１与Ｂ－１相似．（Ｄ）Ａ＋Ａ－１与Ｂ＋Ｂ－１相似． （Ｃ）－２＜ａ＜１．（Ｄ）ａ＝１或ａ＝－２． 二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．）ｘ３ ＋ａｒｃｔａｎ（１＋ｘ２）的斜渐近线方程为（９）曲线ｙ＝２ １＋ｘ（１０）极限ｌｉｍ ｎ→∞ （１２）已知函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上连续，且ｆ（ｘ）＝（ｘ＋１）＋２ｆ（ｔ）ｄｔ，则当ｎ≥２时，ｆ（ｎ）（０） ２ （１１）以ｙ＝ｘ２－ｅｘ和ｙ＝ｘ２为特解的一阶非齐次线性微分方程为 ＝ ． １１２ｎ ＋２ｓｉｎ＋…＋ｎｓｉｎ２ｓｉｎｎｎｎｎ ．． ()＝ ∫ ． ｘ ０ （１３）已知动点Ｐ在曲线ｙ＝ｘ３上运动，记坐标原点与点Ｐ间的距离为ｌ．若点Ｐ的横坐标对时间的æａ （１４）设矩阵ç－１ çè－１ 变化率为常数ｖ０，则当点Ｐ运动到点（１，１）时，ｌ对时间的变化率是 －１ａ－１ －１öæ１ ÷ç－１÷与矩阵ç０ è１ａø －１０１ ０ö ÷ １÷等价，则ａ＝１ø ． ． 求极限ｌｉｍ（ｃｏｓ２ｘ＋２ｘｓｉｎｘ）ｘ４． ｘ→０ １ （１６）（本题满分１０分） 设函数ｆ（ｘ）＝ （１７）（本题满分１０分） 值． 世已知函数ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）由方程（ｘ２＋ｙ２）ｚ＋ｌｎｚ＋２（ｘ＋ｙ＋１）＝０确定，求ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）的极 纪∫ １ ０ ｔ２－ｘ２ｄｔ（ｘ＞０），求ｆ′（ｘ），并求ｆ（ｘ）的最小值． 高教在— ２— 三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（１５）（本题满分１０分） 线（１８）（本题满分１０分） 设Ｄ是由直线ｙ＝１，ｙ＝ｘ，ｙ＝－ｘ围成的有界区域，计算二重积分 ∬ Ｄ ｘ２－ｘｙ－ｙ２ ｄｘｄｙ． ｘ２＋ｙ２ 解．若ｕ（－１）＝ｅ，ｕ（０）＝－１，求ｕ（ｘ），并写出该微分方程的通解． 已知ｙ１（ｘ）＝ｅｘ，ｙ２（ｘ）＝ｕ（ｘ）ｅｘ是二阶微分方程（２ｘ－１）ｙ″－（２ｘ＋１）ｙ′＋２ｙ＝０的两个 纪２（２０）（本题满分１１分） 高１－ｘ（０≤ｘ≤１）与 设Ｄ是由曲线ｙ＝ 世ｘ轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积． 教在)围成的平面区域，求Ｄ绕{ｙ＝ｓｉｎｔ(０≤ｔ≤π２ ３ ｘ＝ｃｏｓ３ｔ， — ３— 线（１９）（本题满分１０分） （２１）（本题满分１１分） ｃｏｓｘ 的一个原函数，且ｆ（０）＝０．已知函数ｆ（ｘ）在０，３π上连续，在０，３π内是函数 ２ｘ－３π２２ []() （Ⅱ）证明ｆ（ｘ）在区间０，３π内存在唯一零点． ２ （Ⅰ）求ｆ（ｘ）在区间０，３π上的平均值； ２ [] () （２２）（本题满分１１分） （Ⅱ）求方程组ＡＴＡｘ＝ＡＴβ的通解． （Ⅰ）求ａ的值； １ （２３）（本题满分１１分） 世（Ⅰ）求Ａ９９； æ０ 已知矩阵Ａ＝ç２ çè０ （Ⅱ）设３阶矩阵Ｂ＝（α１，α２，α３）满足Ｂ２＝ＢＡ．记Ｂ１００＝（β１，β２，β３），将β１，β２，β３分别表示为α１，α２，α３的线性组合． 纪－３０－１ 高１ö÷０÷．０ø — ４— 教在æ１ 设矩阵Ａ＝ç１ ç èａ＋１ ０ １ １－ａöæ０ö ÷ç÷ ａ÷，β＝ç１÷，且方程组Ａｘ＝β无解． è２ａ－２øａ＋１ø 线２０１６年真题参考答案 一、选择题 （１）Ｂ． （２）Ｄ． （３）Ｂ． （４）Ｂ． （５）Ａ． （６）Ｄ． （７）Ｃ． （８）Ｃ．二、填空题（９）ｙ＝ｘ＋ π ． （１０）ｓｉｎ１－ｃｏｓ１． （１１）ｙ′－ｙ＝２ｘ－ｘ２．２ （１２）５·２ｎ－１． （１３）２２ｖ０． （１４）２．三、解答题（１６）ｆ′（ｘ）＝（１８）１－ π．２ （１５）ｅ３． １ （１９）ｙ＝ｋ１ｅｘ－ｋ２（２ｘ＋１），其中ｋ１，ｋ２为任意常数．１ （２１）（Ⅰ）平均值为． ３π（２２）（Ⅰ）ａ＝０．（２３）（Ⅰ）Ａ９９ （Ⅱ）证明略．（２０）体积 １８１６π，表面积π． ５３５ 世＋（２－２９９）α２． （Ⅱ）β１＝（２９９－２）α１＋（２１００－２）α２，β２＝（１－２９９）α１＋（１－２１００）α２，β３＝（２－２９８）α１ æ２９９－２ ＝ç２１００－２ççè０ 纪０ （Ⅱ）ｋ（０，１，－１）Ｔ＋（１，－２，０）Ｔ，其中ｋ为任意常数． １－２９９１－２１００ ２－２９８ö ÷ ２－２９９÷． ÷０ø 高教在— ５— （１７）点（－１，－１）为极大值点，极大值为１． {２ｘ， ４ｘ２－２ｘ，０＜ｘ＜１， ｘ≥１． 最小值ｆ (１)２ ＝ １ ．４ 线２０１５年全国硕士研究生招生考试试题 、一 选择题 （ 本题共 ８小题 ， 每小题 ４分 ， 共 ３２ 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ，只有一项符合题目要（１）下列反常积分中收敛的是（ ） （Ａ） 求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （２）函数ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ１＋ｓｉｎｔ ｔ→０ｘ ∫ ＋∞ ２ １ｄｘ．ｘ（Ｂ） ( ∫ ＋∞ ２ ｌｎｘ ｄｘ．ｘ （Ｃ） ) ｘ２ ｔ ∫ ＋∞ ２ １ ｄｘ．ｘｌｎｘ （Ｄ） ∫ ＋∞ ２ ｘｄｘ．ｅｘ 在（－∞，＋∞）内（ ） （４）设函数在（－∞，＋∞）内连续，其２阶导函数ｆ″（ｘ）的图形如右图所 示，则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点个数为（ ） （Ｃ）２．（Ａ）０． （Ｂ）１．（Ｄ）３． ｖ＝１ （Ａ）α－β＞１．（Ｂ）０＜α－β≤１． 教在（Ｃ）α－β＞２． ２ （３）设函数ｆ（ｘ）＝ { ０， ｘαｃｏｓ １ ， ｘ＞０， （α＞０，β＞０）．若ｆ′（ｘ）在ｘ＝０处连续，则（ ）ｘβ ｘ≤０ 高１．２ （５）设函数ｆ（ｕ，ｖ）满足ｆｘ＋ｙ，ｙ ｘ ()＝ｘ （Ａ） ｆ（ｘ，ｙ）在Ｄ上连续，则ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝（ （Ａ）（Ｃ） 纪（６）设Ｄ是第一象限中由曲线２ｘｙ＝１，４ｘｙ＝１与直线ｙ＝ｘ，ｙ＝３ｘ围成的平面区域，函数 １，０．２ －ｙ２，则 ｆｕ，ｕ＝１ ｆｖ （Ｂ）０， （Ｃ）－ １，０．２ 线ｕ＝１ｖ＝１１２ｓｉｎ２θ１ｓｉｎ２θ１２ｓｉｎ２θ１ｓｉｎ２θ （Ａ）连续．（Ｂ）有可去间断点．（Ｃ）有跳跃间断点．（Ｄ）有无穷间断点． （Ｄ）０＜α－β≤２．依次是（ ）（Ｄ）０，－ １．２ 世æ１ （７）设矩阵Ａ＝ç１ çè１ ∫ｄθ∫ π４π３ ∫ｄθ∫π４π３ １２ｓｉｎ２θ１ｓｉｎ２θ １ｓｉｎ２θ ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｒｄｒ． ∬ Ｄ ） （Ｂ）（Ｄ） １２ｓｉｎ２θ ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｄｒ． １２４ ∫ｄθ∫ π４π３π４π３ ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｒｄｒ．ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｄｒ． 充分必要条件为（ １öæ１ö ÷，ｂ＝ç÷．若集合Ω＝｛１，２｝，则线性方程组Ａｘ＝ｂ有无穷多解的ａ÷çｄ÷ èｄ２øａ２ø） （Ｂ）ａ∉Ω，ｄ∈Ω．（Ｄ）ａ∈Ω，ｄ∈Ω． ∫ｄθ∫（Ａ）ａ∉Ω，ｄ∉Ω．（Ｃ）ａ∈Ω，ｄ∉Ω． ２２ （８）设二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）在正交变换ｘ＝Ｐｙ下的标准形为２ｙ２１＋ｙ２－ｙ３，其中Ｐ＝（ｅ１，ｅ２，ｅ３）．若 Ｑ＝（ｅ１，－ｅ３，ｅ２），则ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）在正交变换ｘ＝Ｑｙ下的标准形为（ ） — １— ２２２２２２２２２２２ （Ａ）２ｙ２１－ｙ２＋ｙ３． （Ｂ）２ｙ１＋ｙ２－ｙ３． （Ｃ）２ｙ１－ｙ２－ｙ３． （Ｄ）２ｙ１＋ｙ２＋ｙ３． 二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．）ｄ２ｙ（９）设则２ ｄｘｙ＝３ｔ＋ｔ３， { ｘ＝ａｒｃｔａｎｔ， ｔ＝１ ＝． ｘ ２ （１０）函数ｆ（ｘ）＝ｘ２２ｘ在ｘ＝０处的ｎ阶导数ｆ（ｎ）（０）＝（１１）设函数ｆ（ｘ）连续，φ（ｘ）＝ ＝ ． （１２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）是微分方程ｙ″＋ｙ′－２ｙ＝０的解，且在ｘ＝０处ｙ（ｘ）取得极值３，则ｙ（ｘ）（１３）若函数ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）由方程ｅｘ＋２ｙ＋３ｚ＋ｘｙｚ＝１确定，则ｄｚ ． （０，０） ∫ ０ ｘｆ（ｔ）ｄｔ．若φ（１）＝１，φ′（１）＝５，则ｆ（１）＝ ． ． ＝． ＝ 三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 设函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋ａｌｎ（１＋ｘ）＋ｂｘｓｉｎｘ，ｇ（ｘ）＝ｋｘ３．若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在ｘ→０时是等价无穷 小，求ａ，ｂ，ｋ的值． （１６）（本题满分１０分） （１７）（本题满分１１分） ｆ（ｘ，ｙ）的极值． 世已知函数ｆ（ｘ，ｙ）满足ｆｘｙ″（ｘ，ｙ）＝２（ｙ＋１）ｅｘ，ｆｘ′（ｘ，０）＝（ｘ＋１）ｅｘ，ｆ（０，ｙ）＝ｙ２＋２ｙ，求 纪设Ａ＞０，Ｄ是由曲线段ｙ＝Ａｓｉｎｘ０≤ｘ≤ ππ 及直线ｙ＝０，ｘ＝所围成的平面区域，２２ Ｖ１，Ｖ２分别表示Ｄ绕ｘ轴与绕ｙ轴旋转所成旋转体的体积．若Ｖ１＝Ｖ２，求Ａ的值． 高( 教在) — ２— （１５）（本题满分１０分） 线（１４）设３阶矩阵Ａ的特征值为２，－２，１，Ｂ＝Ａ２－Ａ＋Ｅ，其中Ｅ为３阶单位矩阵，则行列式Ｂ （１８）（本题满分１０分） 计算二重积分ｘ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２≤２，ｙ≥ｘ２｝． Ｄ ∬ （１９）（本题满分１１分） 已知函数ｆ（ｘ）＝ （２０）（本题满分１０分） 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比．现将一初始温度为１２０℃的物体在２０℃的恒温介质中冷却，３０ｍｉｎ后该物体温度降至３０℃，若要将该物体的温度继续降至２１℃，还需冷却多长时间？ 世纪高— ３— 教在∫ １ ｘ １＋ｔｄｔ＋ ２ ∫ ｘ２ １ １＋ｔｄｔ，求ｆ（ｘ）零点的个数． 线（２１）（本题满分１０分） 已知函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，＋∞）上具有２阶导数，ｆ（ａ）＝０，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ″（ｘ）＞０．设ｂ＞ａ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｂ，ｆ（ｂ））处的切线与ｘ轴的交点是（ｘ０，０），证明ａ＜ｘ０＜ｂ． （Ⅱ）若矩阵Ｘ满足Ｘ－ＸＡ２－ＡＸ＋ＡＸＡ２＝Ｅ，其中Ｅ为３阶单位矩阵，求Ｘ． 世æ０ 设矩阵Ａ＝ç－１ çè１ 纪－２３２ （２３）（本题满分１１分） 高－３öæ１ ç÷ －３÷相似于矩阵Ｂ＝ç０ è０ａø －２３ｂ ０ö ÷０÷．１ø — ４— （Ⅱ）求可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ为对角矩阵． （Ⅰ）求ａ，ｂ的值； 教在（Ⅰ）求ａ的值； １ ａ 线（２２）（本题满分１１分） æａ 设矩阵Ａ＝ç１ çè０ １ ０ö ３÷ －１÷，且Ａ＝Ｏ．ａø ２０１５年真题参考答案 一、选择题 （１）Ｄ． （２）Ｂ． （３）Ａ． （４）Ｃ． （５）Ｄ． （６）Ｂ． （７）Ｄ． （８）Ａ．二、填空题 （９）４８． （１０）ｎ（ｎ－１）（ｌｎ２）ｎ－２． （１１）２． （１２）２ｅｘ＋ｅ－２ｘ． （１３）－三、解答题（１５）ａ＝－１，ｂ＝－（１６） ８．π １２ ｄｘ－ｄｙ． （１４）２１．３３ （２０）３０ｍｉｎ． （１９）ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上共有两个零点．（２１）证明略．（２２）（Ⅰ）ａ＝０． （１８） 世æ１ ç （Ⅱ）Ｐ＝ç１ çè－１ 纪２１０ æ３１－２öç÷ （Ⅱ）Ｘ＝ç１１－１÷． ç÷２１－１èø （２３）（Ⅰ）ａ＝４，ｂ＝５． ３ö÷ ０÷，Ｐ－１ＡＰ＝÷－１ø 高æ５ç０ççè０ ０１０ ０ö÷０÷．÷１ø— ５— 教在（１７）极小值ｆ（０，－１）＝－１． π２－．５４ 线１１ ，ｋ＝－． ３２ ２０１４年全国硕士研究生招生考试试题 、一 选择题 （ 本题共 ８小题 ， 每小题 ４分 ， 共 ３２ 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） １ （１）当ｘ→０＋时，若ｌｎα（１＋２ｘ），（１－ｃｏｓｘ）α均是比ｘ高阶的无穷小量，则α的取值范围是（ ）（２）下列曲线中有渐近线的是（ ） （Ａ）（２，＋∞）． （Ｂ）（１，２）． （Ｃ）１，１． ２ () （Ｄ）０，１． ２ () （３）设函数ｆ（ｘ）具有２阶导数，ｇ（ｘ）＝ｆ（０）（１－ｘ）＋ｆ（１）ｘ，则在区间［０，１］上，（ 线）） （Ａ）ｙ＝ｘ＋ｓｉｎｘ． （Ｂ）ｙ＝ｘ２＋ｓｉｎｘ．（Ａ）当ｆ′（ｘ）≥０时，ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）． （Ｃ）ｙ＝ｘ＋ｓｉｎ １．ｘ （Ｄ）ｙ＝ｘ２＋ｓｉｎ ） １．ｘ （４）曲线 （Ａ） {ｙ＝ｔ １０．５０ｘ＝ｔ２＋７， ２ ＋４ｔ＋１ 上对应于ｔ＝１的点处的曲率半径是（ （Ｂ） １０．１００（Ｃ）１０１０．教在（Ｃ） １．２ — １— （Ｃ）当ｆ″（ｘ）≥０时，ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）．（Ｄ）当ｆ″（ｘ）≥０时，ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）． （Ｂ）当ｆ′（ｘ）≥０时，ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）． （Ｄ）５１０． ξ２ （５）设函数ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ．若ｆ（ｘ）＝ｘｆ′（ξ），则ｌｉｍ２＝（ ｘ→０ｘ （Ａ）１． 高（Ｂ） 世（Ａ）ｕ（ｘ，ｙ）的最大值和最小值都在Ｄ的边界上取得．（Ｂ）ｕ（ｘ，ｙ）的最大值和最小值都在Ｄ的内部取得． ００ｃａｃ ｂ０ （Ｃ）ｕ（ｘ，ｙ）的最大值在Ｄ的内部取得，最小值在Ｄ的边界上取得． ａ００ ００ ｂ （Ｄ）ｕ（ｘ，ｙ）的最小值在Ｄ的内部取得，最大值在Ｄ的边界上取得． ｄ ０ ＝（ ） （Ｂ）－（ａｄ－ｂｃ）２． （Ｃ）ａ２ｄ２－ｂ２ｃ２． （Ｄ）ｂ２ｃ２－ａ２ｄ２． ２ｕ２ｕ ＋＝０，则（ ）ｘ２ｙ２ （７）行列式 （８）设α１，α２，α３均为３维向量，则对任意常数ｋ，ｌ，向量组α１＋ｋα３，α２＋ｌα３线性无关是向量组α１， α２，α３线性无关的（ ）（Ｃ）充分必要条件．（Ａ）必要非充分条件． （Ｄ）既非充分也非必要条件．（Ｂ）充分非必要条件． （Ａ）（ａｄ－ｂｃ）２． 纪２ｕ （６）设函数ｕ（ｘ，ｙ）在有界闭区域Ｄ上连续，在Ｄ的内部具有２阶连续偏导数，且满足≠０及 ｘｙ ２．３ （Ｄ） １．３ ｄ 二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．）（９） ７ ＝确定的函数，则ｄｚ．１４(１)２，２ （１２）曲线Ｌ的极坐标方程是ｒ＝θ，则Ｌ在点（ｒ，θ）＝π，π处的切线的直角坐标方程是 ２２（１１）设ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）是由方程ｅ２ｙｚ＋ｘ＋ｙ２＋ｚ＝ （１０）设ｆ（ｘ）是周期为４的可导奇函数，且ｆ′（ｘ）＝２（ｘ－１），ｘ∈［０，２］，则ｆ（７）＝ ∫ １ －∞ １ ｄｘ＝ ｘ２＋２ｘ＋５ ． ． () ． （１３）一根长度为１的细棒位于ｘ轴的区间［０，１］上，若其线密度ρ（ｘ）＝－ｘ２＋２ｘ＋１，则该细棒 的质心坐标ｘ＝是 ． ． ２ （１４）设二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘ２１－ｘ２＋２ａｘ１ｘ３＋４ｘ２ｘ３的负惯性指数为１，则ａ的取值范围 三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（１５）（本题满分１０分） 求极限ｌｉｍ ｘ→＋∞ １ ｘｌｎ１＋１ ｘ ２ () 已知函数ｙ＝ｙ（ｘ）满足微分方程ｘ２＋ｙ２ｙ′＝１－ｙ′，且ｙ（２）＝０，求ｙ（ｘ）的极大值与极小 值． （１７）（本题满分１０分） 设平面区域Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）１≤ｘ＋ｙ≤４，ｘ≥０，ｙ≥０｝．计算 ２ ２ 世纪∬ Ｄ 高（１６）（本题满分１０分） 教在． ｘｓｉｎ（πｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ． ｘ＋ｙ — ２— ∫ｘ ［ｔ２（ｅｔ－１）－ｔ］ｄｔ １ 线（１８）（本题满分１０分） 设函数ｆ（ｕ）具有２阶连续导数，ｚ＝ｆ（ｅｘｃｏｓｙ）满足 ２ｚ２ｚ ＋２＝（４ｚ＋ｅｘｃｏｓｙ）ｅ２ｘ．２ ｙｘ若ｆ（０）＝０，ｆ′（０）＝０，求ｆ（ｕ）的表达式． （１９）（本题满分１０分） （Ⅰ）０≤（Ⅱ） ｘａ 设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，且ｆ（ｘ）单调增加，０≤ｇ（ｘ）≤１．证明： ∫ ａ＋ａ ∫ａｇ（ｔ）ｄｔ ｂ ｆ（ｘ）ｄｘ≤ ∫ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ． ｂａ （２０）（本题满分１１分） 设函数ｆ（ｘ）＝ 纪ｆ１（ｘ）＝ｆ（ｘ）， 世ｘ ，ｘ∈［０，１］．定义函数列：１＋ｘ ｆ２（ｘ）＝ｆ（ｆ１（ｘ））， 高记Ｓｎ是由曲线ｙ＝ｆｎ（ｘ），直线ｘ＝１及ｘ轴所围平面图形的面积．求极限ｌｉｍｎＳｎ． ｎ→∞ 教在…， ｆｎ（ｘ）＝ｆ（ｆｎ－１（ｘ））， …． — ３— ∫ｇ（ｔ）ｄｔ≤ｘ－ａ，ｘ∈［ａ，ｂ］； 线（２１）（本题满分１１分） 已知函数ｆ（ｘ，ｙ）满足 ｆ ＝２（ｙ＋１），且ｆ（ｙ，ｙ）＝（ｙ＋１）２－（２－ｙ）ｌｎｙ，求曲线ｙ ｆ（ｘ，ｙ）＝０所围图形绕直线ｙ＝－１旋转所成旋转体的体积． （Ⅱ）求满足ＡＢ＝Ｅ的所有矩阵Ｂ． （Ⅰ）求方程组Ａｘ＝０的一个基础解系； （２３）（本题满分１１分） 世æ１ç１ 证明ｎ阶矩阵ç çç︙è１ 纪１１１ ………︙ 高１öæ０１÷ç０÷与ç︙÷÷çç︙１øè０ ……… ０︙００ １ö２÷ ÷相似．︙÷÷ｎø — ４— 教在æ１ 设矩阵Ａ＝ç０ çè１ －２１２ －１０ ３ －４ö ÷ １÷，Ｅ为３阶单位矩阵．－３ø 线（２２）（本题满分１１分） ２０１４年真题参考答案 一、选择题 （１）Ｂ． （２）Ｃ． （３）Ｄ． （４）Ｃ． （５）Ｄ． （６）Ａ． （７）Ｂ． （８）Ａ．二、填空题（９） ３π１２π１１． （１０）１． （１１）－（ｄｘ＋ｄｙ）． （１２）ｘ＋ｙ－＝０． （１３）． （１４）［－２，２］．８２π２２０１．２ 三、解答题 （１９）证明略．（２０）１． （１８）ｆ（ｕ）＝ （２１）２ｌｎ２－ （２３）证明略． 世— ５— 纪ｋ２ æ２－ｋ１ç －１＋２ｋ１ （Ⅱ）Ｂ＝ç ç－１＋３ｋ１çç ｋ１è 高－４＋３ｋ２－３＋２ｋ２６－ｋ２ （２２）（Ⅰ）（－１，２，３，１）Ｔ． ( ５４ )π． 教在－１－ｋ３ö ÷ １＋２ｋ３÷ ，其中ｋ１，ｋ２，ｋ３为任意常数． １＋３ｋ３÷ ÷÷ｋ３ø （１７）－ （１６）极大值ｙ（１）＝１，极小值ｙ（－１）＝０． ３．４ １２ｕ１－２ｕ１ｅ－ｅ－ｕ．１６１６４ 线（１５） ２０１３年全国硕士研究生招生考试试题 、 选择题 （ 本题共 ８小题 ， 每小题 ４分 ， 共 ３２ 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ，只有一项符合题目要一 求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） ＜ （１）设ｃｏｓｘ－１＝ｘｓｉｎα（ｘ），其中α（ｘ） （Ｃ）与ｘ同阶但不等价的无穷小量．（Ａ）２． （Ｂ）１． （Ａ）比ｘ高阶的无穷小量． π ，则当ｘ→０时，α（ｘ）是（ ）２ （Ｄ）与ｘ等价的无穷小量．（Ｂ）比ｘ低阶的无穷小量． （Ａ）ｘ＝π是函数Ｆ（ｘ）的跳跃间断点．（Ｃ）Ｆ（ｘ）在ｘ＝π处连续但不可导． １ì，１＜ｘ＜ｅ，ï ï（ｘ－１）α－１ 若反常积分（４）设函数ｆ（ｘ）＝í １ïïα＋１，ｘ≥ｅ．îｘｌｎｘ（５）设ｚ＝ ｘｚｚｙ ｆ（ｘｙ），其中函数ｆ可微，则＋＝（ ） ｙｘｙｘ 高００ｂ （Ａ）α＜－２．（Ｂ）α＞２． 教在∫ ＋∞１ （３）设函数ｆ（ｘ）＝ {２， ｓｉｎｘ，０≤ｘ＜π， π≤ｘ≤２π， Ｆ（ｘ）＝ ∫ （Ｃ）－１． ｘ０ ｆ（ｔ）ｄｔ，则（ ） （Ｂ）ｘ＝π是函数Ｆ（ｘ）的可去间断点．（Ｄ）Ｆ（ｘ）在ｘ＝π处可导． （Ｃ）－２＜α＜０． ２ ｆ（ｘｙ）．ｘ 线Ｄｋ （２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）由方程ｃｏｓ（ｘｙ）＋ｌｎｙ－ｘ＝１确定，则ｌｉｍｎｆ２－１＝（ ） ｎ→∞ｎ （Ｄ）－２． [()] ｆ（ｘ）ｄｘ收敛，则（ ） （Ｄ）０＜α＜２． ２ ｆ（ｘｙ）．ｘ 纪（Ａ）２ｙｆ′（ｘｙ）．（Ｂ）－２ｙｆ′（ｘｙ）．（Ｃ） （Ｄ）－ （６）设Ｄｋ是圆域Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２≤１｝在第ｋ象限的部分．记Ｉｋ＝ 世３，４），则（ （７）设Ａ，Ｂ，Ｃ均为ｎ阶矩阵．若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ ） （Ａ）矩阵Ｃ的行向量组与矩阵Ａ的行向量组等价．（Ｂ）矩阵Ｃ的列向量组与矩阵Ａ的列向量组等价．（Ｃ）矩阵Ｃ的行向量组与矩阵Ｂ的行向量组等价．æ１ （８）矩阵çａ çè１ ａａｂ １öæ２÷çａ÷与ç０１øè０ （Ｄ）矩阵Ｃ的列向量组与矩阵Ｂ的列向量组等价． （Ａ）Ｉ１＞０． ） ∬（ｙ－ｘ）ｄｘｄｙ（ｋ＝１，２， （Ｄ）Ｉ４＞０． （Ｂ）Ｉ２＞０．（Ｃ）Ｉ３＞０． （Ｃ）ａ＝２，ｂ＝０． （Ａ）ａ＝０，ｂ＝２． ０ö÷ ０÷相似的充分必要条件为（ ）０ø — １— （Ｄ）ａ＝２，ｂ为任意常数． （Ｂ）ａ＝０，ｂ为任意常数． 二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．）（９）ｌｉｍ２－ｌｎ（１＋ｘ） ｘ→０ｘ [ （１０）设函数ｆ（ｘ）＝ ． ∫ ] １ ｘ ＝． ｄｘｄｙ ＝ ｘ －１ １－ｅｔｄｔ，则ｙ＝ｆ（ｘ）的反函数ｘ＝ｆ－１（ｙ）在ｙ＝０处的导数 ｙ＝０ （１１）设封闭曲线Ｌ的极坐标方程为ｒ＝ｃｏｓ３θ－π≤θ≤π，则Ｌ所围平面图形的面积是６６ () ． （１２）曲线 { ｘ＝ａｒｃｔａｎｔ，ｙ＝ｌｎ （１３）已知ｙ１＝ｅ３ｘ－ｘｅ２ｘ，ｙ２＝ｅｘ－ｘｅ２ｘ，ｙ３＝－ｘｅ２ｘ是某二阶常系数非齐次线性微分方程的３个解， （ｉ，ｊ＝１，２，３），则Ａ ＝ ． １＋ｔ ２ 上对应于ｔ＝１的点处的法线方程为． （１５）（本题满分１０分） 当ｘ→０时，１－ｃｏｓｘ·ｃｏｓ２ｘ·ｃｏｓ３ｘ与ａｘｎ为等价无穷小量，求ｎ与ａ的值． （１６）（本题满分１０分） ｙ轴旋转一周所得旋转体的体积．若Ｖｙ＝１０Ｖｘ，求ａ的值． （１７）（本题满分１０分） 世纪设Ｄ是由曲线ｙ＝ｘ３，直线ｘ＝ａ（ａ＞０）及ｘ轴所围成的平面图形，Ｖｘ，Ｖｙ分别是Ｄ绕ｘ轴， １ 高设平面区域Ｄ由直线ｘ＝３ｙ，ｙ＝３ｘ及ｘ＋ｙ＝８围成，计算ｘ２ｄｘｄｙ． Ｄ 教在— ２— 三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 线∬ （１４）设Ａ＝（ａｉｊ）是３阶非零矩阵，Ａ为Ａ的行列式，Ａｉｊ为ａｉｊ的代数余子式．若ａｉｊ＋Ａｉｊ＝０ 则该方程满足条件ｙ ｘ＝０ ＝０，ｙ′ ｘ＝０ ＝１的解为ｙ＝． （１８）（本题满分１０分） 设奇函数ｆ（ｘ）在［－１，１］上具有２阶导数，且ｆ（１）＝１．证明：（Ⅰ）存在ξ∈（０，１），使得ｆ′（ξ）＝１； （Ⅱ）存在η∈（－１，１），使得ｆ″（η）＋ｆ′（η）＝１． （１９）（本题满分１０分） 求曲线ｘ３－ｘｙ＋ｙ３＝１（ｘ≥０，ｙ≥０）上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 设函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ 世（Ⅱ）设数列｛ｘｎ｝满足ｌｎｘｎ＋ （Ⅰ）求ｆ（ｘ）的最小值； 纪（２０）（本题满分１１分） 高１，ｘ ｘｎ＋１１ ＜１，证明ｌｉｍｘｎ存在，并求此极限． ｎ→∞ 教在— ３— 线（２１）（本题满分１１分） 设曲线Ｌ的方程为ｙ＝（Ⅰ）求Ｌ的弧长； １１２ ｘ－ｌｎｘ（１≤ｘ≤ｅ）， ２４ （Ⅱ）设Ｄ是由曲线Ｌ，直线ｘ＝１，ｘ＝ｅ及ｘ轴所围平面图形，求Ｄ的形心的横坐标． （２２）（本题满分１１分） 设Ａ＝阵Ｃ． １æç è１ 纪（２３）（本题满分１１分） 设二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２（ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３）２＋（ｂ１ｘ１＋ｂ２ｘ２＋ｂ３ｘ３）２，记 æａ１öç÷α＝çａ２÷， ç÷èａ３ø æｂ１öç÷β＝çｂ２÷． ç÷èｂ３ø 世（Ⅰ）证明二次型ｆ对应的矩阵为２ααＴ＋ββＴ； ２ （Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明ｆ在正交变换下的标准形为２ｙ２１＋ｙ２． 高教在— ４— ａöæ０÷，Ｂ＝ç è１０ø１ö ÷．当ａ，ｂ为何值时，存在矩阵Ｃ使得ＡＣ－ＣＡ＝Ｂ，并求所有矩ｂø 线２０１３年真题参考答案 一、选择题 （１）Ｃ． （２）Ａ． （３）Ｃ． （４）Ｄ． （５）Ａ． （６）Ｂ． （７）Ｂ． （８）Ｂ．二、填空题（９）ｅ． （１０） ｅππ１ ． （１１）． （１２）ｘ＋ｙ＝＋ｌｎ２． （１３）ｅ３ｘ－ｅｘ－ｘｅ２ｘ．（１４）－１．ｅ－１１２４２ 三、解答题 （１７） （２０）（Ⅰ）１．（２１）（Ⅰ） （１９）最长距离２，最短距离１． （Ⅱ）证明略．ｌｉｍｘｎ＝１． １２ （ｅ＋１）．４ ｎ→∞ 世— ５— 纪æｋ１＋ｋ２＋１ （２２）ａ＝－１，ｂ＝０时，Ｃ＝ç ｋ２ è （２３）证明略． 高３（ｅ４－２ｅ２－３）（Ⅱ）． ４（ｅ３－７） 教在－ｋ２ö ÷，其中ｋ１，ｋ２为任意常数．ｋ１ø （１８）证明略． ４１６ ．３ 线（１５）ｎ＝２，ａ＝７．（１６）ａ＝７７．２０１２年全国硕士研究生招生考试试题 、一 选择题 （ 本题共 ８小题 ， 每小题 ４分 ， 共 ３２ 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）ｘ２＋ｘ（１）曲线ｙ＝２的渐近线的条数为（ ） ｘ－１ （Ａ）０． （Ｂ）１． （２）设函数ｆ（ｘ）＝（ｅｘ－１）（ｅ２ｘ－２）…（ｅｎｘ－ｎ），其中ｎ为正整数，则ｆ′（０）＝（ ） （３）设ａｎ＞０（ｎ＝１，２，…），Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ，则数列｛Ｓｎ｝有界是数列｛ａｎ｝收敛的（ ） （Ｃ）２．（Ｄ）３． （４）设Ｉｋ＝ （５）设函数ｆ（ｘ，ｙ）可微，且对任意的ｘ，ｙ都有 （Ａ）Ｉ１＜Ｉ２＜Ｉ３． ∫ ｋπ ０ ｅｘｓｉｎｘｄｘ（ｋ＝１，２，３），则有（ ） ２ （Ｂ）Ｉ３＜Ｉ２＜Ｉ１． 教在（Ｃ）－２． （Ａ）充分必要条件． （Ｃ）必要非充分条件． （Ｂ）充分非必要条件． （Ｄ）既非充分也非必要条件．（Ｃ）Ｉ２＜Ｉ３＜Ｉ１． （Ｄ）Ｉ２＜Ｉ１＜Ｉ３． 世æ０öæ０öæ１öæ－１ö （７）设α１＝ç０÷，α２＝ç１÷，α３＝ç－１÷，α４＝ç１÷，其中ｃ１，ｃ２，ｃ３，ｃ４为任意常数，则下列向量 çç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ èｃ３øèｃ４øèｃ１øèｃ２ø 组线性相关的为（ ）（Ａ）α１，α２，α３． （Ｂ）α１，α２，α４． （Ｃ）α１，α３，α４． ０１０ （Ｄ）α２，α３，α４． （Ａ）π． 纪（６）设区域Ｄ由曲线ｙ＝ｓｉｎｘ，ｘ＝± （Ｂ）２． （Ｃ）ｘ１＜ｘ２，ｙ１＜ｙ２． 高æ１（Ｂ）ç０ çè０ ０１０ ０ö÷０÷．２ø （Ａ）ｘ１＞ｘ２，ｙ１＜ｙ２． ｆ（ｘ２，ｙ２）成立的一个充分条件是（ ） ｆ（ｘ，ｙ）ｆ（ｘ，ｙ） ＞０，＜０，则使不等式ｆ（ｘ１，ｙ１）＜ ｙｘ （Ｂ）ｘ１＞ｘ２，ｙ１＞ｙ２． π ，ｙ＝１围成，则（ｘｙ５－１）ｄｘｄｙ＝（ ）２Ｄ （Ｄ）ｘ１＜ｘ２，ｙ１＞ｙ２． ∬ æ１ （８）设Ａ为３阶矩阵，Ｐ为３阶可逆矩阵，且Ｐ－１ＡＰ＝ç０ çè０ æ１（Ａ）ç０ çè０ Ｑ＝（α１＋α２，α２，α３），则Ｑ－１ＡＱ＝（ ０２０ ０ö÷０÷．１ø ） æ２（Ｃ）ç０ çè０ 线０１０ ０ö÷０÷．２ø （Ａ）（－１）ｎ－１（ｎ－１）！．（Ｃ）（－１）ｎ－１ｎ！． （Ｂ）（－１）ｎ（ｎ－１）！．（Ｄ）（－１）ｎｎ！． （Ｄ）－π． ０ö÷ ０÷．若Ｐ＝（α１，α２，α３），２ø æ２（Ｄ）ç０ çè０ ０２０ ０ö÷０÷．１ø — １— 二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．）ｄ２ｙ （９）设ｙ＝ｙ（ｘ）是由方程ｘ－ｙ＋１＝ｅ所确定的隐函数，则２ ｄｘ １１１ ＝．（１０）ｌｉｍｎ＋２＋…＋２ ２２ｎ→∞２＋ｎｎ＋ｎ２１＋ｎ ｚｚ （１１）设ｚ＝ｆｌｎｘ＋１，其中函数ｆ（ｕ）可微，则ｘ＋ｙ２＝ ｘｙｙ ２ ｙ ( () ) ｘ＝０ ＝． ． ． （１２）微分方程ｙｄｘ＋（ｘ－３ｙ２）ｄｙ＝０满足条件ｙ（１３）曲线ｙ＝ｘ２＋ｘ（ｘ＜０）上曲率为 （１４）设Ａ为３阶矩阵，Ａ ＢＡ∗＝． ２的点的坐标是．２＝３，Ａ∗为Ａ的伴随矩阵，若交换Ａ的第１行与第２行得矩阵Ｂ，则 ｘ＝１ ＝１的解为ｙ＝ 三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（１５）（本题满分１０分） 已知函数ｆ（ｘ）＝ １＋ｘ１ －，记ａ＝ｌｉｍｆ（ｘ）． ｘ→０ｓｉｎｘｘ （Ⅰ）求ａ的值； （Ⅱ）若当ｘ→０时，ｆ（ｘ）－ａ与ｘｋ是同阶无穷小量，求常数ｋ的值． （１６）（本题满分１０分） 求函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｅ （１７）（本题满分１２分） 世过点（０，１）作曲线Ｌ：ｙ＝ｌｎｘ的切线，切点为Ａ，又Ｌ与ｘ轴交于Ｂ点，区域Ｄ由Ｌ与直线ＡＢ 围成．求区域Ｄ的面积及Ｄ绕ｘ轴旋转一周所得旋转体的体积． 纪ｘ２＋ｙ２－２ 高的极值． — ２— 教在线（１８）（本题满分１０分） 计算二重积分ｘｙｄσ，其中区域Ｄ由曲线ｒ＝１＋ｃｏｓθ（０≤θ≤π）与极轴围成． Ｄ ∬ （１９）（本题满分１０分） 已知函数ｆ（ｘ）满足方程ｆ″（ｘ）＋ｆ′（ｘ）－２ｆ（ｘ）＝０及ｆ″（ｘ）＋ｆ（ｘ）＝２ｅｘ．（Ⅱ）求曲线ｙ＝ｆ（ｘ） ２ ∫ ｘ ０ ｆ（－ｔ２）ｄｔ的拐点． （２０）（本题满分１０分） 世ｘ２１＋ｘ 证明：ｘｌｎ＋ｃｏｓｘ≥１＋（－１＜ｘ＜１）． １－ｘ２ 纪高— ３— 教在（Ⅰ）求ｆ（ｘ）的表达式； 线（２１）（本题满分１０分） 根； （Ⅰ）证明方程ｘｎ＋ｘｎ－１＋…＋ｘ＝１（ｎ为大于１的整数）在区间１，１内有且仅有一个实 ２ ｎ→∞ () （Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为ｘｎ，证明ｌｉｍｘｎ存在，并求此极限． １００ （Ⅰ）计算行列式Ａ； （Ⅱ）当实数ａ为何值时，方程组Ａｘ＝β有无穷多解，并求其通解． 世（Ⅱ）求正交变换ｘ＝Ｑｙ将ｆ化为标准形． （Ⅰ）求实数ａ的值； æ１ç０ 已知Ａ＝ç çç－１è０ 纪０１０ａ （２３）（本题满分１１分） 高１ö１÷ ÷，二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘＴ（ＡＴＡ）ｘ的秩为２．ａ÷÷－１ø — ４— 教在线（２２）（本题满分１１分） æ１ç０ 设Ａ＝ç çç０èａ ａ ０ ０öæ１ö ç－１÷ａ０÷ ÷，β＝ç÷．１ａ÷ç÷ç０÷÷ è０ø０１ø ２０１２年真题参考答案 一、选择题 （１）Ｃ． （２）Ａ． （３）Ｂ． （４）Ｄ． （５）Ｄ． （６）Ｄ． （７）Ｃ． （８）Ｂ．二、填空题（９）１． （１０）三、解答题 π ． （１１）０． （１２）ｘ． ４ （１３）（－１，０）． （１４）－２７． （１６）极大值ｆ（１，０）＝ｅ－２，极小值ｆ（－１，０）＝－ｅ－２．（１８） ２π （１７）Ｄ的面积为２，旋转体的体积为（ｅ２－１）． ３（１９）（Ⅰ）ｆ（ｘ）＝ｅｘ． （Ⅱ）（０，０）．１６．１５ １１ （２０）证明略．（２１）证明略． （Ⅱ）ａ＝－１时，方程组Ａｘ＝β有无穷多解，其通解为ｋ（１，１，１，１）Ｔ＋（０，－１，０，０）Ｔ，其中ｋ为任意常数．æçç （Ⅱ）Ｑ＝ç ççççè １６世２ ｆ＝６ｙ２１＋２ｙ２． 纪１６２６－１２０１２（２３）（Ⅰ）ａ＝－１． 高（２２）（Ⅰ）Ａ＝１－ａ４． １ö３÷÷１÷ ，正交变换ｘ＝Ｑｙ将二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）变成标准形３÷÷１÷－÷３ø 教在— ５— 线（１５）（Ⅰ）ａ＝１． （Ⅱ）ｋ＝１． ２０１１年全国硕士研究生招生考试试题 一 、 选择题 （ 本题共 ８小题 ， 每小题 ４分 ， 共 ３２ 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （１）已知当ｘ→０时，函数ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎｘ－ｓｉｎ３ｘ与ｃｘｋ是等价无穷小量，则（ ） （Ａ）ｋ＝１，ｃ＝４．（Ｂ）ｋ＝１，ｃ＝－４．（Ｃ）ｋ＝３，ｃ＝４．（Ｄ）ｋ＝３，ｃ＝－４．ｘ２ｆ（ｘ）－２ｆ（ｘ３）（２）设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，且ｆ（０）＝０，则ｌｉｍ＝（ ｘ→０ｘ３ （Ａ）－２ｆ′（０）．（Ｂ）－ｆ′（０）．（Ｃ）ｆ′（０）． ）（Ｄ）０． 数ｚ＝ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）在点（０，０）处取得极小值的一个充分条件是（ ）（Ａ）ｆ″（０）＜０，ｇ″（０）＞０．（Ｃ）ｆ″（０）＞０，ｇ″（０）＞０． 世（７）设Ａ为３阶矩阵，将Ａ的第２列加到第１列得矩阵Ｂ，再交换Ｂ的第２行与第３行得单位矩阵． æ１００öæ１００ö 记Ｐ１＝ç１１０÷，Ｐ２＝ç００１÷，则Ａ＝（ ） ç÷ç÷è００１øè０１０ø （Ａ）Ｐ１Ｐ２．（Ｂ）Ｐ１－１Ｐ２．（Ｃ）Ｐ２Ｐ１．（Ｄ）Ｐ２Ｐ１－１． 个基础解系，则Ａ∗ｘ＝０的基础解系可为（ ）（Ａ）α１，α３．（Ｂ）α１，α２．（Ｃ）α１，α２，α３． １ （Ａ）Ｉ＜Ｊ＜Ｋ． 高（６）设Ｉ＝ ∫ π ４ ０ ｌｎ（ｓｉｎｘ）ｄｘ，Ｊ＝ （Ｂ）Ｉ＜Ｋ＜Ｊ． ∫ π４ ０ ｌｎ（ｃｏｔｘ）ｄｘ，Ｋ＝ 教在∫ π４ （Ａ）０．（Ｂ）１．（Ｃ）２．（Ｄ）３．（４）微分方程ｙ″－λ２ｙ＝ｅλｘ＋ｅ－λｘ（λ＞０）的特解形式为（ ） （Ａ）ａ（ｅλｘ＋ｅ－λｘ）．（Ｂ）ａｘ（ｅλｘ＋ｅ－λｘ）．（Ｃ）ｘ（ａｅλｘ＋ｂｅ－λｘ）．（Ｄ）ｘ２（ａｅλｘ＋ｂｅ－λｘ）． （５）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）均有二阶连续导数，满足ｆ（０）＞０，ｇ（０）＜０，且ｆ′（０）＝ｇ′（０）＝０，则函 （Ｂ）ｆ″（０）＜０，ｇ″（０）＜０．（Ｄ）ｆ″（０）＞０，ｇ″（０）＜０． ０ ｌｎ（ｃｏｓｘ）ｄｘ，则Ｉ，Ｊ，Ｋ的大小关系为（（Ｃ）Ｊ＜Ｉ＜Ｋ． 线．． （３）函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）的驻点个数为（ ） （Ｄ）Ｋ＜Ｊ＜Ｉ． ） （８）设Ａ＝（α１，α２，α３，α４）是４阶矩阵，Ａ∗为Ａ的伴随矩阵．若（１，０，１，０）Ｔ是方程组Ａｘ＝０的一 （Ｄ）α２，α３，α４． 二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．） ｘｘ １＋２（９）ｌｉｍ＝．ｘ→０２ （１０）微分方程ｙ′＋ｙ＝ｅ－ｘｃｏｓｘ满足条件ｙ（０）＝０的解为ｙ＝ ｘ （１１）曲线ｙ＝ｔａｎｔｄｔ０≤ｘ≤π的弧长ｓ＝． ０４ () 纪∫ () （１２）设函数ｆ（ｘ）＝ {０， λｅ－λｘｘ＞０， ｘ≤０， λ＞０，则 — １— ∫ ＋∞ －∞ ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝ （１３）设平面区域Ｄ由直线ｙ＝ｘ，圆ｘ２＋ｙ２＝２ｙ及ｙ轴所围成，则二重积分ｘｙｄσ＝（１４）二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘ＋３ｘ＋ｘ＋２ｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３＋２ｘ２ｘ３，则ｆ的正惯性指数为 ２１ ２２ ２３ Ｄ ∬ ．． 三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（１５）（本题满分１０分） 已知函数Ｆ（ｘ） ∫＝ ｘ ０ ｌｎ（１＋ｔ２）ｄｔ ｘα ．设ｌｉｍＦ（ｘ）＝ｌｉｍＦ（ｘ）＝０，试求α的取值范围． ｘ→＋∞ ｘ→０＋ （１６）（本题满分１１分） （１７）（本题满分９分） 世设函数ｚ＝ｆ（ｘｙ，ｙｇ（ｘ）），其中函数ｆ具有二阶连续偏导数，函数ｇ（ｘ）可导且在ｘ＝１处取得２ｚ 极值ｇ（１）＝１，求 ｘｙ ｘ＝１ｙ＝１ 纪． — ２— 高凹凸区间及拐点． １１ìïｘ＝ｔ３＋ｔ＋， ï３３ 确定，求ｙ＝ｙ（ｘ）的极值和曲线ｙ＝ｙ（ｘ）的设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由参数方程í １１ïïｙ＝ｔ３－ｔ＋î３３ 教在线（１８）（本题满分１０分） 设函数ｙ（ｘ）具有二阶导数，且曲线ｌ：ｙ＝ｙ（ｘ）与直线ｙ＝ｘ相切于原点．记α为曲线ｌ在点 ｄαｄｙ ＝，求ｙ（ｘ）的表达式．ｄｘｄｘ （ｘ，ｙ）处切线的倾角，若 （２０）（本题满分１１分） 一容器的内侧是由图中曲线绕ｙ轴旋转一周而成的曲面，该 成． 世（Ⅰ）求容器的容积；多少功？ （Ⅱ）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做（长度单位：ｍ，重力加速度为ｇｍ／ｓ２，水的密度为１０３ｋｇ／ｍ３） 纪曲线由ｘ２＋ｙ２＝２ｙｙ≥ ( 高１２ )与ｘ 教在２ （Ⅱ）设ａｎ＝１＋ １１＋…＋－ｌｎｎ（ｎ＝１，２，…），证明数列｛ａｎ｝收敛．２ｎ ＋ｙ２＝１ｙ≤ ( １ ２ )连接而 — ３— 线（１９）（本题满分１０分） （Ⅰ）证明：对任意的正整数ｎ，都有 １ ＜ｌｎ１＋１ｎ＋１ｎ ()＜ １ 成立；ｎ （２１）（本题满分１１分） 已知函数ｆ（ｘ，ｙ）具有二阶连续偏导数，且ｆ（１，ｙ）＝ｆ（ｘ，１）＝０，ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝ａ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝，计算二重积分Ｉ＝ ∬ｘｙｆ″（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ． ｘｙ Ｄ ∬ Ｄ 设向量组α１＝（１，０，１）Ｔ，α２＝（０，１，１）Ｔ，α３＝（１，３，５）Ｔ不能由向量组β１＝（１，１，１）Ｔ，（Ⅱ）将β１，β２，β３用α１，α２，α３线性表示． 设Ａ为３阶实对称矩阵，Ａ的秩为２，且 纪（２３）（本题满分１１分） 高æ１Ａç０çè－１ １ö÷０÷＝１ø æ－１çç０è１ １ö÷０÷．１ø — ４— 世（Ⅱ）求矩阵Ａ． （Ⅰ）求Ａ的所有特征值与特征向量； 教在（Ⅰ）求ａ的值； β２＝（１，２，３）Ｔ，β３＝（３，４，ａ）Ｔ线性表示． 线（２２）（本题满分１１分） ２０１１年真题参考答案 一、选择题 （１）Ｃ． （２）Ｂ． （３）Ｃ． （４）Ｃ． （５）Ａ． （６）Ｂ． （７）Ｄ． （８）Ｄ．二、填空题 （９）２． （１０）ｅ－ｘｓｉｎｘ． （１１）ｌｎ（２＋１）． 三、解答题 （１２） １７ ． （１３）． （１４）２．λ１２ （１７）ｆ′１（１，１）＋ｆ″１１（１，１）＋ｆ″１２（１，１）．（１９）证明略． ｅｘπ （１８）ｙ＝ａｒｃｓｉｎ－． ４２９π３ （ｍ）．４ （２０）（Ⅰ） （２１）ａ． （２３）（Ⅰ）特征值－１，１，０，分别对应特征向量ｋ１（１，０，－１）Ｔ，ｋ２（１，０，１）Ｔ，ｋ３（０，１，０）Ｔ，其中 æ０（Ⅱ）ç０ çè１ 世ｋ１，ｋ２，ｋ３为任意非零常数． ０００ １ö÷０÷．０ø 纪（２２）（Ⅰ）ａ＝５． （Ⅱ）β１＝２α１＋４α２－α３，β２＝α１＋２α２，β３＝５α１＋１０α２－２α３． 高２７×１０３ πｇ（Ｊ）．（Ⅱ） ８ 教在— ５— １．，(１)３３ 线（１５）１＜α＜３． （１６）极大值ｙ（－１）＝１，极小值ｙ５ ３ ()＝－ １ ，凹区间１，＋∞，凸区间－∞，１，拐点３３３ () () ２０１０年全国硕士研究生招生考试试题 一 、 选择题 （ 本题共 ８小题 ， 每小题 ４分 ， 共 ３２ 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） １＋ ｘ２－ｘ（１）函数ｆ（ｘ）＝２ ｘ－１ （Ａ）０． １ 的无穷间断点的个数为（ ）ｘ２ （Ｃ）２． （２）设ｙ１，ｙ２是一阶线性非齐次微分方程ｙ′＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｑ（ｘ）的两个特解，若常数λ，μ使λｙ１＋μｙ２ 是该方程的解，λｙ１－μｙ２是该方程对应的齐次方程的解，则（ ） １１１１ （Ａ）λ＝，μ＝．（Ｂ）λ＝－，μ＝－． ２２２２ １２２２ （Ｄ）λ＝，μ＝．（Ｃ）λ＝，μ＝． ３３３３（Ａ）４ｅ． （Ｂ）３ｅ． （Ｂ）１．（Ｄ）３． （３）曲线ｙ＝ｘ２与曲线ｙ＝ａｌｎｘ（ａ≠０）相切，则ａ＝（ ）（４）设ｍ，ｎ均是正整数，则反常积分 （Ａ）仅与ｍ的取值有关．（Ｃ）与ｍ，ｎ的取值都有关． 教在ｍ ∫ １ ０ ｌｎ２（１－ｘ） ｄｘ的收敛性（ｎ ｘ（Ｃ）２ｅ．（Ｂ）仅与ｎ的取值有关． ２ （ ）（Ａ）ｘ． ｎ （６）ｌｉｍ ｎ→∞ｉ＝１ｊ＝１ ｎ （７）设向量组Ⅰ：α１，α２，…，αｒ可由向量组Ⅱ：β１，β２，…，βｓ线性表示．下列命题正确的 是（ ） （Ｃ）若向量组Ⅱ线性无关，则ｒ≤ｓ．（Ａ）若向量组Ⅰ线性无关，则ｒ≤ｓ． （Ｂ）若向量组Ⅰ线性相关，则ｒ＞ｓ．（Ｄ）若向量组Ⅱ线性相关，则ｒ＞ｓ． ∫ｄｘ∫（Ｃ）∫ｄｘ∫ （Ａ） １０１０ ０ ｘ ｎ ＝（ （ｎ＋ｉ）（ｎ２＋ｊ２）１ ｄｙ． （１＋ｘ）（１＋ｙ２） １ ｄｙ． （１＋ｘ）（１＋ｙ） 纪（Ｂ）ｚ． 高( ） （５）设函数ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）由方程Ｆｙ，ｚ ｘｘｚｚ＋ｙ＝)＝０确定，其中Ｆ为可微函数，且Ｆ′≠０，则ｘｘｙ （Ｃ）－ｘ． １ ｘ （Ｄ）与ｍ，ｎ的取值都无关． ０ １ １ ｄｙ．∫∫（１＋ｘ）（１＋ｙ） １ （Ｄ）∫ｄｘ∫ｄｙ． （１＋ｘ）（１＋ｙ）（Ｂ）ｄｘ ０１０ ０１０ ２ （８）设Ａ为４阶实对称矩阵，则Ａ２＋Ａ＝Ｏ．若Ａ的秩为３，则Ａ相似于（ ） æ１öæ１öç÷ç÷１１（Ａ）ç（Ｂ）ç÷．÷． １－１ç÷ç÷ç÷ç÷ èøè００ø — １— 世线（Ｄ）ｅ．） （Ｄ）－ｚ． æ１ç（Ｃ）ç ççè －１ －１ ö÷÷．÷÷０ø æ－１ç（Ｄ）ç ççè －１ －１ ö÷÷．÷÷０ø ． （９）３阶常系数线性齐次微分方程ｙ‴－２ｙ″＋ｙ′－２ｙ＝０的通解为ｙ＝２ｘ３ （１０）曲线ｙ＝２的渐近线方程为 ｘ＋１ ． ． （１１）函数ｙ＝ｌｎ（１－２ｘ）在ｘ＝０处的ｎ阶导数ｙ（ｎ）（０）＝ ． ５ｃｍ时，它的对角线增加的速率为． 二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．） （１２）当０≤θ≤π时，对数螺线ｒ＝ｅθ的弧长为（１４）设Ａ，Ｂ为３阶矩阵，且Ａ（１５）（本题满分１０分） 求函数ｆ（ｘ）＝ ＝３，Ｂ ＝２，Ａ－１＋Ｂ 线ｎ→∞ （１３）已知一个长方形的长ｌ以２ｃｍ／ｓ的速率增加，宽ｗ以３ｃｍ／ｓ的速率增加，则当ｌ＝１２ｃｍ，ｗ＝ ＝２，则Ａ＋Ｂ－１ ＝ ． ∫ ｘ２ １ （ｘ２－ｔ）ｅ－ｔｄｔ的单调区间与极值． ２ （１６）（本题满分１０分） 纪∫ １０ 世（Ⅱ）记ｕｎ＝ （Ⅰ）比较ｌｎｔ［ｌｎ（１＋ｔ）］ｄｔ与ｔｎｌｎｔｄｔ（ｎ＝１，２，…）的大小，说明理由； ｎ ∫ １ ０ ｌｎｔ［ｌｎ（１＋ｔ）］ｎｄｔ（ｎ＝１，２，…），求极限ｌｉｍｕｎ． 高∫ １０ 教在— ２— 三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （１７）（本题满分１１分） 设函数ｙ＝ｆ（ｘ）由参数方程 ５ｄ２ｙ３ ψ（１）＝，ψ′（１）＝６，已知２＝，求函数ψ（ｔ）． ２４（１＋ｔ）ｄｘ {ｙ＝ψ（ｔ） ｘ＝２ｔ＋ｔ２， （ｔ＞－１）所确定，其中ψ（ｔ）具有２阶导数，且 （１８）（本题满分１０分） 一个高为ｌ的柱体形贮油罐，底面是长轴为２ａ，短轴为２ｂ的椭 油的质量．（长度单位为ｍ，质量单位为ｋｇ，油的密度为常量ρ，单位为ｋｇ／ｍ３）． （２０）（本题满分１０分） 计算二重积分Ｉ＝０≤θ≤ π ．４ 世纪∬ｒｓｉｎ ２Ｄ ２ｕ 的值，使等式在变换ξ＝ｘ＋ａｙ，η＝ｘ＋ｂｙ下简化为＝０． ξη 高θ （１９）（本题满分１１分） ２ｕ２ｕ２ｕ 设函数ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ）具有二阶连续偏导数，且满足等式４２＋１２＋５２＝０．确定ａ，ｂ ｘｙｘｙ 教在１－ｒ２ｃｏｓ２θｄｒｄθ，其中Ｄ＝ — ３— 线{（ｒ，θ） ０≤ｒ≤ｓｅｃθ， 圆．现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 ３ ｂ时（如图），计算２ } （２１）（本题满分１０分） 设函数ｆ（ｘ）在闭区间［０，１］上连续，在开区间（０，１）内可导，且ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝证明：存在ξ∈０，１，η∈ ２ () ，１)，使得：ｆ′（ξ）＋ｆ′（η）(１２ ＝ξ２＋η２． １．３ （２２）（本题满分１１分） æλ 设Ａ＝ç０ çè１ λ－１１１ （Ⅱ）求方程组Ａｘ＝ｂ的通解． （Ⅰ）求λ，ａ； 世ａ，Ｑ．æ０ 设Ａ＝ç－１ çè４ （２３）（本题满分１１分） ３ａ 纪－１ ４ö １ＴＴ÷ ａ÷，正交矩阵Ｑ使ＱＡＱ为对角矩阵，若Ｑ的第１列为（１，２，１），求 ６０ø — ４— 高教在１öæａö ÷，ｂ＝ç÷．已知线性方程组Ａｘ＝ｂ存在两个不同的解．０÷ç１÷ è１øλø 线２０１０年真题参考答案 一、选择题 （１）Ｂ． （２）Ａ． （３）Ｃ． （４）Ｄ． （５）Ｂ． （６）Ｄ． （７）Ａ． （８）Ｄ．二、填空题 （９）Ｃ１ｅ２ｘ＋Ｃ２ｃｏｓｘ＋Ｃ３ｓｉｎｘ，其中Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３为任意常数． （１０）ｙ＝２ｘ． （１１）－２ｎ（ｎ－１）！． （１２）２（ｅπ－１）． 三、解答题 （１３）３ｃｍ／ｓ． （１４）３． （Ⅱ）ｌｉｍｕｎ＝０． ｎ→∞ （１７）ψ（ｔ）＝ｔ３＋ ３öç２π（１８）ａｂρｌæ＋÷． è３４ø（１９）（２０） ３２ ｔ（ｔ＞－１）．２ ｂ＝－ （２２）（Ⅰ）λ＝－１，ａ＝－２． （２１）证明略． 纪Ｔ １π－．３１６ 世（Ⅱ）ｋ（１，０，１）＋ １ ６ æçç （２３）ａ＝－１，Ｑ＝ç ççççè ( ３１，－，０２２１２０ 高ｂ＝－２． １ö３÷÷æ２１÷－，ＱＴＡＱ＝ç０ ÷ç３÷è０１÷÷３ø { ａ＝－２， ２ ，５ 或 { ａ＝－ ２，５ ) Ｔ ２６１６ １－２ 教在为Ａｘ＝ｂ的通解，其中ｋ为任意常数． －４００ ０ö÷０÷．５ø — ５— （１６）（Ⅰ） ∫ () １ ０ ｌｎｔ［ｌｎ（１＋ｔ）］ｄｔ≤ ｎ ∫ｔ １０ ｎ ｌｎｔｄｔ（ｎ＝１，２，…）． 线（１５）单调增加区间：（－１，０）和（１，＋∞）．单调减少区间：（－∞，－１）和（０，１）． １１，极小值ｆ（±１）＝０．极大值ｆ（０）＝１－２ｅ ２００９年全国硕士研究生招生考试试题 、一 选择题 （ 本题共 ８小题 ， 每小题 ４分 ， 共 ３２ 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）ｘ－ｘ３（１）函数ｆ（ｘ）＝的可去间断点的个数为（ ） ｓｉｎπｘ （Ａ）１． （Ｂ）２．１．６ （２）当ｘ→０时，ｆ（ｘ）＝ｘ－ｓｉｎａｘ与ｇ（ｘ）＝ｘ２ｌｎ（１－ｂｘ）是等价无穷小量，则（ ） （Ｃ）ａ＝－１，ｂ＝－ １．６ （Ｃ）３．（Ｄ）无穷多个． （Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝ （４）设函数ｆ（ｘ，ｙ）连续，则ｄｘｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ＋ （Ｃ）是ｆ（ｘ，ｙ）的极大值点． ２ ２ ４－ｘ １ （５）若ｆ″（ｘ）不变号，且曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（１，１）处的曲率圆为ｘ２＋ｙ２＝２，则函数ｆ（ｘ）在区间 （Ｃ）有极值点，有零点． １１ 高∫ｄｘ∫（Ｃ）∫ｄｙ∫ （Ａ） １２ １ ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ．ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ． ∫∫ ２ ｘ ４－ｙ 纪（１，２）内（ ） （Ａ）有极值点，无零点． 教在∫ｄｙ∫ ２１ ４－ｙｙ （３）设函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）的全微分为ｄｚ＝ｘｄｘ＋ｙｄｙ，则点（０，０）（ ） （Ａ）不是ｆ（ｘ，ｙ）的连续点． （Ｄ）是ｆ（ｘ，ｙ）的极小值点． ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＝（ ） ４－ｘ２ｘ２ （Ｂ）不是ｆ（ｘ，ｙ）的极值点． ∫ｄｘ∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ．（Ｄ）∫ｄｙ∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ． （Ｂ） １２１ ｙ （Ｂ）无极值点，有零点． 世（６）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间［－１，３］上的图形如图所示，则函数Ｆ（ｘ）＝ （Ｄ）无极值点，无零点． 线１．６ （Ａ）ａ＝１，ｂ＝－ （Ｂ）ａ＝１，ｂ＝ １．６ ∫ｆ（ｔ）ｄｔ的图形为（ ｘ０ ） （Ａ）（Ｂ） — １— （Ｃ）（Ｄ） （７）设Ａ，Ｂ均为２阶方阵，Ａ∗，Ｂ∗分别为Ａ，Ｂ的伴随矩阵．若Ａ ＯＡöæç÷的伴随矩阵为（ ）èＢＯø æＯ（Ａ）ç è２Ａ∗ ３Ｂ∗öＯø ÷ ＝２，Ｂ＝３，则分块矩阵 ． ００ 教在０． ． Ｔ æ２（Ａ）ç１ çè０ （α１＋α２，α２，α３），则ＱＴＡＱ为（ ） １１ ０ö÷０÷．２ø æ１（Ｂ）ç１ çè０ １２ ０ö÷０÷．２øæ２（Ｃ）ç０ çè０ 线０１ ０ö÷０÷．２ø ｘ＝０ æ１ （８）设Ａ，Ｐ均为３阶矩阵，ＰＴ为Ｐ的转置矩阵，且ＰＴＡＰ＝ç０ çè０ æＯ（Ｂ）ç è３Ａ∗ ２Ｂ∗öＯø ÷ ． æＯ（Ｃ）ç è２Ｂ∗ ３Ａ∗ö ＯøＯø００ö ÷ １０÷．若Ｐ＝（α１，α２，α３），Ｑ＝０２ø æ１（Ｄ）ç０ çè０ ０２０ ０ö÷０÷．２ø ÷ ． æＯ（Ｄ）ç è３Ｂ∗ ２Ａ∗ö ÷ ． 二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．）（９）曲线 { ｘ＝ ＋∞ （１０）已知 世ｄ２ｙ （１２）设ｙ＝ｙ（ｘ）是由方程ｘｙ＋ｅ＝ｘ＋１确定的隐函数，则２ ｄｘ （１３）函数ｙ＝ｘ２ｘ在区间（０，１］上的最小值为． ｙＴ 纪（１１）ｌｉｍｅ－ｘｓｉｎｎｘｄｘ＝ ｎ→∞０ ∫ －∞ １ ｅｋ｜ｘ｜ｄｘ＝１，则ｋ＝ 高． ＝ ． ０ö Ｔ÷ ０÷，则βα＝０ø０００ ∫ ｙ＝ｔ２ｌｎ（２－ｔ２） ∫ １－ｔ ０ ｅ－ｕｄｕ， ２ 在点（０，０）处的切线方程为 æ２ （１４）设α，β为３维列向量，β为β的转置．若矩阵αβ相似于ç０ çè０（１５）（本题满分９分） 求极限ｌｉｍ ｘ→０ ． 三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （１－ｃｏｓｘ）［ｘ－ｌｎ（１＋ｔａｎｘ）］ ． ｓｉｎ４ｘ — ２— （１６）（本题满分１０分） 计算不定积分ｌｎ１＋ ∫( １＋ｘｘ )ｄｘ（ｘ＞０）． （１７）（本题满分１０分） （１８）（本题满分１０分） 与直线ｘ＝１及ｙ＝０围成平面区域Ｄ的面积为２，求Ｄ绕ｙ轴旋转所得旋转体体积． （１９）（本题满分１０分） 世∬ Ｄ 计算二重积分（ｘ－ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２≤２，ｙ≥ｘ｝． 纪— ３— 高设非负函数ｙ＝ｙ（ｘ）（ｘ≥０）满足微分方程ｘｙ″－ｙ′＋２＝０．当曲线ｙ＝ｙ（ｘ）过原点时，其 教在线２ｚ 设ｚ＝ｆ（ｘ＋ｙ，ｘ－ｙ，ｘｙ），其中ｆ具有二阶连续偏导数，求ｄｚ与． ｘｙ （２０）（本题满分１２分） 设ｙ＝ｙ（ｘ）是区间（－π，π）内过点－ ( 点处的法线都过原点；当０≤ｘ＜π时，函数ｙ（ｘ）满足ｙ″＋ｙ＋ｘ＝０．求ｙ（ｘ）的表达式． ππ，２２)的光滑曲线．当－π＜ｘ＜０时，曲线上任一 （２１）（本题满分１１分） ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ）．存在，且ｆ′＋（０）＝Ａ． （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，则存在点 （２２）（本题满分１１分） 设 （２３）（本题满分１１分） 设二次型 （Ⅰ）求二次型ｆ的矩阵的所有特征值； ２２ ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ａｘ２１＋ａｘ２＋（ａ－１）ｘ３＋２ｘ１ｘ３－２ｘ２ｘ３． 世２ （Ⅱ）若二次型ｆ的规范形为ｙ２１＋ｙ２，求ａ的值． 纪（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ２，ξ３，证明ξ１，ξ２，ξ３线性无关． （Ⅰ）求满足Ａξ２＝ξ１，Ａ２ξ３＝ξ１的所有向量ξ２，ξ３； 高æ１ Ａ＝ç－１ çè０ 教在－１－４１— ４— －１öæ－１ö ÷ç÷１÷， ξ１＝１÷． ç è－２ø－２ø 线ｘ→０＋ （Ⅱ）证明：若函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０处连续，在（０，δ）（δ＞０）内可导，且ｌｉｍｆ′（ｘ）＝Ａ，则ｆ′＋（０） ２００９年真题参考答案 一、选择题 （１）Ｃ． （２）Ａ． （３）Ｄ． （４）Ｃ． （５）Ｂ． （６）Ｄ． （７）Ｂ． （８）Ａ．二、填空题 （９）ｙ＝２ｘ． （１０）－２． （１１）０． （１２）－３． （１３）ｅ－ｅ． （１４）２．三、解答题（１５） １．４ ２ （１６）ｘｌｎ１＋ １＋ｘｘ （１８） （１９）－ １７π ．６ Ａξ３＝ξ１的所有向量ξ３为ξ３＝ｋ２（１，－１，０）＋ｋ３（０，０，１）＋ ２ Ｔ Ｔ 任意常数． （２３）（Ⅰ）ａ，ａ－２，ａ＋１． （Ⅱ）ａ＝２． 世（Ⅱ）证明略． 纪（２２）（Ⅰ）满足Ａξ２＝ξ１的所有向量为ξ２＝ｋ１（１，－１，２）Ｔ＋（０，０，１）Ｔ，其中ｋ１为任意常数；满足 （２１）证明略． 高（２０）ｙ（ｘ）＝ ８．３ { πｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ－ｘ， π２－ｘ２，ｘ∈（－π，０），ｘ∈［０，π）． 教在( Ｔ １ －，０，０，其中ｋ２，ｋ３为２ （１７）ｄｚ＝（ｆ′１＋ｆ′２＋ｙｆ′３）ｄｘ＋（ｆ′１－ｆ′２＋ｘｆ′３）ｄｙ． ｌｎ（)＋１ ２ １＋ｘ＋ｘ）－ ２（ｘ－Ｃ，其中Ｃ为任意常数． １＋ｘ＋ｘ）２ｚ ＝ｆ′３＋ｆ″１１＋（ｘ＋ｙ）ｆ″１３－ｆ″２２＋（ｘ－ｙ）ｆ″２３＋ｘｙｆ″３３．ｘｙ 线( ) — ５— 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容