高一期中联考数学试题(解析版)

1.设集合A.【答案】B【解析】试题分析：

考点：集合的基本运算．

【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系．

,故选B．

，集合B.

，则C.

（

）．D.

2.A.若

若为实数，则下列结论正确的是（

，则

，则

）．B.若D.若

，则

，则

C.若【答案】C【解析】【分析】

根据不等式的基本性质，判断每个选项即可【详解】对于A：若c=0，则不正确，对于B：若a＜0＜b，则不正确，

1对于C：若a＜b＜0，则-a>-b>0，则对于D：若a>b>0，则a2＞b2，则故选：C．

故C正确，，即

，故D不正确，

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题

3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为8的正方形，则该圆柱的表面积为（A.【答案】A【解析】【分析】

B.

，过直线）．

C.

的平面截该圆柱所得的截面是面积为

D.

利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．【详解】设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，

过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R2＝8，解得R则该圆柱的表面积为：故选：A．

【点睛】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．

，

12π．

4.已知A.-1

是不共线的向量，

B.-2

，且C.-2或1

三点共线，则（）．

D.-1或2

【答案】D【解析】【分析】

2A，B，C三点共线，可得存在实数k使得【详解】∵A，B，C三点共线，∴存在实数k使得∴

k

k，，

k，即可得出．

，解得λ＝﹣1或2．

故选：D．

【点睛】本题考查了三点共线、方程思想方法、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5.已知A.【答案】A【解析】

【分析】

，则

B.

的值域是（

C.

）．

D.

利用同角三角函数的基本关系化简函数f（x）的解析式为2﹣（sinx﹣1）2，再由结合二次函数的性质求出函数f（x）的值域．

【详解】∵函数f（x）＝cos2x+2sinx＝1﹣sin2x+2sinx＝2﹣（sinx﹣1）2，∴当sinx＝1时，函数f（x）有最大值等于2．当sinx

时，函数f（x）有最小值等于2

．

，

sinx≤1，

sinx≤1，

故函数f（x）的值域为[1，2]，故选：A．

【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，同角三角函数的基本关系，二次函数的性质的应用，属于中档题．

6.已知，则的大小关系为（）．

3A.C.【答案】D【解析】【分析】

利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】∵

则a，b，c的大小关系为故选：D．

1，

．

B.D.

＝1,

【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7.已知向量A.【答案】C【解析】【分析】

满足

B.

，则在方向上的投影为（

C.

）．D.

根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【详解】∵||＝2，•（∴•∴•

1，

．

•

22＝﹣3，

）＝﹣3，

∴向量在方向上的投影为故选：C．

【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．

48.若是三角形的一个内角，且对任意实数，（A.【答案】C【解析】【分析】

）．

B.

C.

恒成立，则的取值范围为

D.

根据题意可知需函数的图象开口向上需cosθ＞0，同时判别式小于0，综合求得cosθ的范围，从而得到θ的取值范围．

【详解】根据题意可知x2cosθ﹣4xsinθ+6＞0恒成立，∴

且θ是三角形的内角，∴θ∈（0，）．故选：C．

【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用，函数恒成立问题，二次函数性质等．考查了学生对函数思想的运用，三角函数基础知识的运用．

解得

cosθ＜1，

9.将函数（A.C.

的最小正周期为）．

的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是

B.直线D.

是的图象的一条对称轴

为奇函数

【答案】B【解析】【分析】

根据三角函数的平移关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的周期性，奇偶性，对称性分

5别进行判断即可．【详解】将函数即g（x）＝sin[2（x则g（）＝cos（2令2x=

）

的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，]＝sin（2x

）＝sin（2x

）＝cos2x，

）＝cos，故A错误，是

的图象的一条对称轴,故B正确；

得x=,k=1时，g（x）的最小正周期Tπ，故C错误，

D．g（﹣x）＝cos（﹣2x）＝cos2x＝g（x），即g（x）是偶函数，故D错误，故选：B．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．

10.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角为，现已知阴影部分与大正方形的面积之比为，则锐角

（

）．

A.【答案】D【解析】【分析】

B.C.D.

设大正方形的边长为a,小正方形边长为b,利用几何图形找到a,b与的关系即可求解【详解】设大正方形的边长为a,小正方形边长为b,则

=b,阴影三角形面积为

6小正方形面积为

整理得1-故选：D

又阴影部分与大正方形的面积之比为

,

解得

所以

【点睛】本题考查三角函数的实际应用，二倍角公式，熟记公式是关键，是中档题

11.设锐角A.【答案】A【解析】【分析】

的三内角

B.

所对边的边分别为

C.

，且，则的取值范围为（

D.

）．

由题意可得0＜2A，且3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得2cosA，

根据cosA的范围确定出b范围即可．

【详解】锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B＝2A，∴0＜2A∴∴∴

，且B+A＝3A，

3A＜π．A

，

，

cosA

∵a＝2，B＝2A，∴由正弦定理可得：∴

2cosA

，

，

）．2cosA，得

cosA

则b的取值范围为（故选：A．

【点睛】此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．

712.定义在上的偶函数满足

与

，当时，，设函数）．

，则

A.3【答案】B【解析】【分析】

B.4

的图象所有交点的横坐标之和为（

C.5

D.6

由函数图象的性质得：f（x）的图象关于直线x＝1对称且关于y轴对称，函数g（x）＝e

﹣|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象也关于直线x＝1对称，由函数图象的作法可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x＝1对称，则f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为4，得解【详解】由偶函数f（x）满足（1+x）＝f（1﹣x）可得f（x）的图象关于直线x＝1对称且关于y轴对称，

函数g（x）＝e﹣|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象也关于直线x＝1对称，

函数y＝f（x）的图象与函数g（x）＝e﹣|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象的位置关系如图所示，可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x＝1对称，则f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为4，故选：B．

【点睛】本题考查了函数图象的性质及函数图象的作法，属中档题

二、填空题（请将正确答案填在答题卡相应位置上）

13.平面向量与的夹角为60°，【答案】【解析】

，则

______．

8【分析】设

（x，y），利用

（x，y），1，，y

．．

|

2|

2．

2x＝2×1×cos60°，．

1，

2x＝2×1×cos60°，解出即可．

【详解】设则解得x∴

故答案分别为：2．

【点睛】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14.已知不等式【答案】3【解析】【分析】

的解集为或，则______．

根据不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，可知1，b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个根，利用韦达定理可求a，b的值，进而可求答案．

【详解】由题意，∵不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}∴1，b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个根∴

∴a+ab＝3，ab＝2∴a＝1，b＝2∴a+b＝3故答案为：3

【点睛】本题的考点是一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，属于基础题．

915.在梯形中，．将梯形绕所在的直线旋转一周

而形成的曲面所围成的几何体的表面积为_______．【答案】【解析】【分析】

将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC﹣AD＝2﹣1＝1的圆锥，由此能求出该几何体的表面积．【详解】∵在梯形ABCD中，∠ABC

，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，

∴将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC﹣AD＝2﹣1＝1的圆锥，∴几何体的表面积为：S＝π×12+2π×1×2＝（5

）π．

故选：D．

【点睛】本题考查旋转体的表面积的求法，考查圆柱、圆锥性质等基础知识，考查运算求解能力、考查函数与方程思想，是基础题．

16.在则

中，角所对的边分别为，,的平分线交于点，且，

的最小值为_____．

10【答案】【解析】【分析】

根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【详解】由题意得acsin120°即ac＝a+c，得

1，

）

3≥2

3＝

asin60°

csin60°，

得2a+c＝（2a+c）（当且仅当故答案为：

，即c＝a时，取等号，

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚）

17.如图，将棱长为2的正方体四面体

．

沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一

（Ⅰ）求该四面体的体积；

（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】

11（Ⅰ）利用正方体体积减去截去部分的体积即可求解（Ⅱ）利用正四面体与正方体的外接球一致求解

【详解】(Ⅰ)三棱锥切去部分的体积为正方体的体积为∴四面体的体积

(Ⅱ)∵正方体的棱长为2，∴正方体的体对角线长为

，的体积

，

∵该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线∴外接球直径∴外接球表面积为

【点睛】本题考查组合体体积，外接球问题，是基础题

，半径

，

18.在中，分别是角所对的边，且．

（Ⅰ）求角（Ⅱ）若

，求

的周长的取值范围．

【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】

（Ⅰ）利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出角C；（Ⅱ）余弦定理得，c2＝a2+b2-2abcos120°＝a2+b2+ab，再利用基本不等式，可得a+b【详解】(Ⅰ)由条件得，所以所以

为三角形内角，所以

．

，即可求△ABC的周长l的取值范围．

，

(Ⅱ)由余弦定理得，

12而所以又

，故

，所以，即．

【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的周长的计算，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

19.如图，是边长为2的等边三角形，点分别是的中点.

（Ⅰ）连接并延长到点，使得

上的动点，

，求

多长时，

的值;

最小，并求最小值．

（Ⅱ）若点为边【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】

见解析

(Ⅰ)以点为坐标原点，解；(Ⅱ)设

所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，向量坐标化即可求

向量运算表示为t的函数求解即可

所在直线分别为

轴建立平面直角坐标系，

【详解】(Ⅰ)如图，以点为坐标原点，则∴

，设

，

．

13(Ⅱ)设设则∴∴当

时，

取最小值，此时

，得

，

【点睛】本题考查向量坐标运算，向量共线的应用，考查计算能力，是中档题

20.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：理、施肥等人工费）

，肥料成本投入为

元，其它成本投入（如培育管

元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应

（单位：元）．

求．记该水果树的单株利润为（Ⅰ）求

的函数关系式；

（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?【答案】（Ⅰ）的最大利润是480元．【解析】【分析】

（1）根据题意可得f（x）＝15w（x）﹣30x，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润．【详解】（Ⅰ）由已知

（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得

14(Ⅱ)由(Ⅰ)得

当当当且仅当因为

时，时，

时，即

，所以当

时，

；

时等号成立．

．

∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．

【点睛】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21.若定义域为的函数（Ⅰ）求

的值;

，不等式，

是奇函数．

（Ⅱ）若对任意的【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】

恒成立，求的取值范围．

（Ⅰ）由函数是奇函数，求出参数a，b的值．（Ⅱ）利用函数的单调性得到

的等价命题，再利用不等式恒成立的条件，解出即可．

【详解】（Ⅰ）因为解得又由

，从而有

知

是上的奇函数，所以

．

，解得

，经检验，

成立

，即

，

15故

（Ⅱ）由（Ⅰ）知任取

故又因

在上为减函数，是奇函数，从而不等式

令

即法一：①当②当③当综上，法二：①当②当③当综上，

即

对即时，即．时，时，时，．

时，

，则恒成立．

时，

（舍）

（舍）

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，二次函数的性质，分离变量求解恒成立问题，考查转化能力，是中档题

22.已知（Ⅰ）求

为锐角，．

的值;

16（Ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅰ）

结合

，求解即可；（Ⅱ）先求

，进而得

，

利用两角和的正切公式展开求解即可【详解】（Ⅰ）

，．

（Ⅱ）

为锐角，

．

，

，

而

【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，两角和的正切公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题

17