求职模型

一、问题的重述

在某单位招聘中，如何选取优秀的人才对于单位的发展和建设起到重要的作用。某单位组成了一个五人专家小组，对101名应试者进行了招聘测试，各位专家对每位应聘者进行了打分（见附表），运用数学建模方法解决下列问题：

问题1：补齐表中缺失的数据，给出补缺的方法及理由。 问题2：给出101名应聘者的录取顺序。

问题3：五位专家中哪位专家打分比较严格，哪位专家打分比较宽松。 问题4：你认为哪些应聘者应给予第二次应聘的机会。

问题5：如果第二次应聘的专家小组只由其中的3位专家组成，你认为这个专

家组应由哪3位专家组成。

三 、符号设定

为了建立具体的数学模型，需要设立变量，如下是数学模型中的符号： 将甲、乙、丙、丁、戊五位专家分别编号(j)为1、2、3、4、5；

xji:专家j对第i个应聘者的评分（i=1,2,…101）

xj：专家j在缺失数据时的平均值

xj：专家j在填补缺失数据后的平均值

Li:第i个应聘者的平均得分

j2：专家j评分的方差

i2：第i个应聘者的得分方差

Sk：偏差

：样本均值

四、模型的建立与求解

问题1：均值插补及区间估计模型 均值插补法模型的建立：根据辅助信息数据将样本分为若干组，使组内各单位的

主要特征相似。然后分别介绍各组目标变量的均值，将各组均值作为组内所有缺失数据项的替补值。

这里我们先不考虑应聘者9号的专家甲的评分，运用SPSS软件计算专家甲对剩余100名应聘者的评分的平均值x1。其中

x1(xi1

i1i8i101i10xi1)100

然后再不考虑应聘者25号的专家乙的评分，运用SPSS软件计算专家乙对剩余100名应聘者的评分的平均值x2。其中

x2(xi2i1i24i101i26xi2)100

最后再不考虑应聘者58号的专家甲的评分，同样运用SPSS软件计算专家甲对剩余100名应聘者的评分的平均值x3。其中

x3(xi3i1i57i101i59xi3)100

区间估计模型的建立：

区间估计是对总体的样本X1,X2,,Xn作出两个统计量:

ˆˆ(X,X,,X ，ˆˆ(X,X,,X),由它们组成一个区间: 1112n2212nˆ,ˆ)作为未知参数的一种估计，这个区间称为置信区间。区间(ˆ,ˆ)(1212ˆˆ意味着区间估计的误差，反映了这个区间估计的精确程度。的长度21为提高缺失数据的估算精度以及可信度，我们建立数学模型如下： 根据置信区间定义：

设为总体分布的未知参数，X1,X2,,Xn是取自所有分数 X的一个样本，

对给定的数1(01),这里我们取195%，若存在统计量

ˆˆ(X,X,,X),ˆˆ(X,X,,X),使得P{ˆˆ}1，其121112n2212n中1称为置信度。由假设知，总体方差已知求均值的1置信区

2

间，取U统计量

UX~N(0,1)对给定的(0,1),查标准正态分布表, 可得临界值n}12u1Uu使其满足P{221，于是

P{|U|uP{u(u112}

12Uu2}

12)(u12)

2(u12)[1(u1)]

2(u从而

2(1)11 )1122|X|P{u}

1n2P{u21Xu} 1n2XuP{u221n1n}

P{u21nXu21n}

P{Xnu12Xnu12)1

由此得到总体均值的1置信区间为

Xu ,Xu11nn22其中，(u1)122

区间估计模型的求解：根据已知条件，用SPSS软件可得均值的置信区间（这里我们给出了数据缺失项的部分信息其他SPSS软件计算结果见附录附录2）：

专家甲A：即置信区间为（74.0028，79.0972） 描述 A 均值 统计量 标准误 76.5500 1.28373 74.0028 79.0972 76.7556 78.0000 164.795 12.83727 51.00 98.00 47.00 24.00 -.165 -1.323 均值的 95% 置信区间 下限 上限 5% 修整均值 中值 方差 标准差 极小值 极大值 范围 四分位距 偏度 峰度 .241 .478

专家乙B：即置信区间为（77.5812，82.1388）

描述 B 均值 均值的 95% 置信区间 统计量 79.8600 标准误 1.14847 下限 上限 77.5812 82.1388 80.1556 82.0000 131.899 11.48475 55.00 99.00 44.00 17.75 -.266 -.818 .241 .478 5% 修整均值 中值 方差 标准差 极小值 极大值 范围 四分位距 偏度 峰度

专家丙C：即置信区间为（77.9457，82.2342） 描述 C 均值 均值的 95% 置信区间 统计量 80.0900 标准误 1.08069 下限 上限 77.9457 82.2343 80.1556 80.0000 116.790 10.80693 61.00 99.00 38.00 18.00 -.097 -1.144 .241 .478 5% 修整均值 中值 方差 标准差 极小值 极大值 范围 四分位距 偏度 峰度

根据置信区间以及其与标准差的偏差我们估计三个缺失数据分别为

x9,177,x25,280,x58,380。

问题2：用excl求出专家对招聘者的综合排序。

在招聘中有五位专家同时评价各个招聘者，忽略应聘者和专家的关系等一些因素。如何对应聘者的综合能力进行一个合情合理的排序。在我们的认知中，很显然综合能力比较好的应聘者能够被更多的人所认可，所接受的。平均值是集合平均数的值。它可以更好地反映出专家们对应聘者的综合能力的认可程度，所以我们根据平均值的大小对应聘者的录取排序。由于数据样本较大，我们将排序结果以附件形式给出，结果见附件1表一。 问题3：

模型的建立：专家的严格和宽松，取决于专家们对事物或事情有自己独立的思想和评价等的要求。在只知道评分数据而不知道其他任何信息的情况下，我们可以计算出专家的评分的平均值，如果某一个专家对应聘者全体的评分与其他专家评分相差超过5分，则可以表明该专家过于严格。在各个专家对全部应聘者评分的平均值相差低于5分时，可以进一步考虑方差，方差是能够反映出专家评分的波动性的量。方差越大，则表示波动性越大，即表明该专家对某项要求过于苛求，亦即说明该专家评分越严格，反之方差越小，专家评分越宽松。偏度是统计数据分布偏斜方向和程度的度量，是统计数据分布非对称程度的数字特征。

平均值公式：

i101x1'xi1i1101

i101

x2'x3'x4xi1i1i2101 101

101

i101

xi1i3i101

xi4i101

x5xi11ii5101

方差的公式：

1222i101i1(xx1')2

i101i1(x2ix2')2

32i101i1(x3ix3')2

42i101i12(xx)4i4

52i101i1(x5ix5)2

偏度的公式 Sk=n(xixi)3i1i1013（其中n为样本的数量） n(n1)

模型的求解：根据数学模型，用SPSS软件求解出所需量，信息如下 统计量 N 均值 均值的标准误 中值 标准差 方差 偏度 偏度的标准误 峰度 峰度的标准误 有效 缺失 专家甲 101 0 专家乙 101 0 专家丙 101 0 专家丁 101 0 专家戊 101 0 76.5545 79.8614 80.0891 79.2673 79.9802 1.27096 1.13705 1.06994 1.13938 1.08436 78.0000 82.0000 80.0000 81.0000 81.0000 12.77300 11.42719 10.75277 11.45067 10.89769 163.150 130.581 115.622 131.118 118.760 -.167 .240 -1.305 .476 -.268 .240 -.795 .476 -.097 .240 -1.125 .476 -.213 .240 -1.078 .476 -.174 .240 -.965 .476

显然根据图表可以给出五位专家按松到严可以排序如下：丙<戊<乙<丁<甲.

问题4： 针对招聘者是否拥有第二次面试的机会。本着优中择优而又较为公正的原则，在某些应聘者整体的综合能力比较好，被认可程度比较高的情况下，我们可以考虑给与他们第二次面试的机会。均值恰是能很好地反映一个人的被专家们认可程度的重要因素。在均值值达到80分以上，我们就认为该应聘者比较优秀，考虑给予其第二次面试的机会。然而规定第二次面试的人数是20个，根据表格可知在所有应聘者中，有49人都达到80分以上。我们必须根据其他的影响因素来择选更好的应聘者。方差也是反映应聘者被大多数专家所认可的因素，故在进一步考虑这49人中方差较小的应聘者，方差越小，表明专家对他们的认可程度越相似，越能够体现应聘者被接受的程度。本模型我们同样用excel作为工具，先求出对应应聘者的得分均值和方差，然后对其进行排序。其中 各个应聘者的得分期望为: Li（x1ix2ix3ix4ix5i）各个应聘者的得分方差为: 5,i1,2,101 22222i2（x1i-Li）（x2i-Li）（x3i-Li）（x4i-Li）（x5i-Li）

由于数据系统庞大，平均分排序结果见附录3表二。帅选出平均分80分以上者，再将其方差进行排序，排序结果见附录3表三，最后确定前20名应聘者应当给予第二次面试机会，该20名应聘者分别为：31、21、30、39.、28、44、24、35、26、22、50、20、42、63、43、45、62、37、34。 问题5

模型的建立：

Topsis法是有限方案多目标决策分析的一种常用方法。是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中的最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。将与接近最优方案最近距离的对象作为满意解。

本案例中我们将五位专家分别看成是需要决策的目标，根据问题3中的判定依据即以均值和方差区分专家的严格、宽松的判定依据以及考虑第二轮面试的需

要，我们将各专家评分的标准差、均值、偏度作为决策目标的属性，且要求该三个指标越高越好。将3种属性的综合评价进行排序，最后取综合评价前3名的专家作为第二轮的面试官。

设决策问题有m个目标fj（j1,2,,m），n个可行解Zi（Zi1,Zi2,,Zim）（i1,2,,n）；并设该问题的规范化加权目标的理想解是Z+，其中

Z（Z1,Z2,,Zm）， 那么用欧几里得范数作为距离的测度，则从任意可行解Zi到Z的距离为： Sim(Zj1ijZj)2 i=1 ，…，n ， (5.1)

式中，Zij 为第j个目标对第i个方案的规范化加权值。

T同理，设Z=则任意（Z1,Z2,,Zm）为问题的规范化加权目标的负理想解，

可行解Zi到负理想解Z之间的距离为： Sim

那么，某一可行解对于理想解的相对接近度定义为：

Si 0≤Ci ≤1,i=1，…，n ， (5.3) CiSiSi于是，若Zi是理想解，则相应的Ci =1；若Zi是负理想解，则相应的C i =0。

(Zj1ij2Zj)i=1 ，…，n ， (5.2)

Zi愈靠近理想解，Ci 愈接近于1；反之，愈接近负理想解， Ci 愈接近于0。那

么，可以对 Ci 进行排序 ，以求出满意解。

模型的求解：

五位专家的评分标准差、均值以及偏度如下表：

表一 目标与属性对照表 属 性 标准差 均值 偏度 目 标 专家甲 专家乙 专家丙 专家丁 专家戊 0.019 0.017 0.016 0.017 0.016 0.0024 0.0025 0.0026 0.0025 0.0026 0.15 0.39 0.05 0.24 0.16 显然在以上数据表中我们要求属性中的三个指标均为越高越好。 第一步：设该案例中决策矩阵为A. 由A可以构成规范化的决策矩阵Z′，其元素为Z′ij，且有

fij Zij i1,2,3;j1,2,,5 (5.4)

i13fij2式中，fij 由决策矩阵给出。

f11f12f15 Afff212225f31f32f35(5.5)

利用公式（5.4）及表一数据进行归一化处理，得归一化矩阵值，如求

0.019 Z11222220.0190.0170.0160.0170.016其他依此类推，如下表

表二 归一化矩阵表

属 性 标准差 均值 偏度 目 标 专家甲 专家乙 专家丙 专家丁 专家戊 0.019 0.017 0.016 0.017 0.016 0.0024 0.0025 0.0026 0.0025 0.0026 0.15 0.39 0.05 0.24 0.16 第三步：确定理想解和负理想解。决策矩阵Z中元素Zij值越大表示方案越好，即根据表二有

（Z1,Z2,,Zm）{maxZijj1,2,,5} Zi =（0.019，0.0026,0.39）

（Z1,Z2,,Zm）{minZijj1,2,,5} Zi=（0.016,0.0024,0.005）

第四步：由公式（5.1）和（5.2）计算每个方案到理想点的距离Si+和到负理想点的距离S i—以甲专家为例

S10.0190.01920.00240.002620.150.3920.0190.01620.00240.00242(0.150.05)20.24 0.1

S1其他依此类推；见表三

第五步：按式(8.3)计算Ci，并按每个方案的相对接近度Ci 的大小排序，找出满意解。 以甲专家为例

0.1Ci0.29

0.10.24其余依此类推；见表三

各专家指标值与最优值的相对接近程度及排序结果 表三 目 标 属 性 S+ 0.024 0.002 0.34 0.15 0.23 S- 0.1 0.34 0.0001 0.19 0.11 Ci 0.29 0.99 0.0029 0.56 0.32 专家甲 专家乙 专家丙 专家丁 专家戊 Ci的比重如图一

图一

则可清晰的看出Ci的排序为：C2>C4>C5>C1>C3

即我们选乙、丁、戊三位专家组成第二轮应聘的专家小组。

五、模型的评价与改进

1、均值插补法的模型的评价：本模型建立的前提是系统的缺失数据较少，且具有一定的现实意义。但因为存在可观和主观性的影响，我们难免造成片面的判断，

因此，就需要找出尽可能多的因素限制，使得估计出的缺失数据无限的靠近理想值。

优点：（1）均值替换法也是一种简洁、快速的缺失数据处理方法。

（2）使用均值替换法插补缺失数据，对该变量的估计不会产生影响。 不足：（1）这种方法是建立在完全随机缺失（MCAR）的假设之上的，而且会造成变量方差和标准差变小。

（2）当缺失值是数值型的，根据该变量在其他所有对象的取值的平均值来填充该缺失的变量值，这种方法会产生偏估计。

2、TOPSIS法模型的评价：在实际问题的解决过程中，经常遇到有关综合评价问题,它是根据一个复杂系统同时受到多种因素影响的特点，在综合考察多个有关因素时，依据多个有关指标对复杂系统进行总评价的方法；本文将专家评分的特征作为综合评价的要点，但必须具备以下基本要求：（1）有多个评价指标，这些指标是可测量的或可量化的；（2）有一个或多个评价对象，这些对象可以是人、单位、方案、标书科研成果等；（3）根据多指标信息计算一个综合指标，把多维空间问题简化为一维空间问题中解决，可以依据综合指标值大小对评价对象优劣程度进行排序。

优点：1、TOPSIS法原理简单，能同时进行多个对象评价，计算快捷，结果分辨率高、评价客观，具有较好的合理性和适用性，实用价值较高。

2、对原始数据的信息利用最为充分，其结果能精确的反映各评价方案之间的差距。

3、TOPSIS对数据分布及样本含量，指标多少没有严格的限制，数据计算亦简单易行。不仅适合小样本资料，也适用于多评价对象、多指标的大样本资料。利用TOPSIS法进行综合评价，可得出良好的可比性评价排序结果。

缺点：Ci*只能反映各评价对象内部的相对接近度，并不能反映与理想的最优方案的相对接近程度。

模型的改进：本文考虑的因素具有明显的局限性和片面性，并不能非常完美的保证结论的严密性。为了能够证明结果可靠，我们可以对总体进行多次的随机抽样，然后分别对样本数据进行特征分析，根据正态分布得知经过较多次的比较后我们会发现样本均值会无限的趋近与某一个特定值 ，而该特定值亦即理想值才能够真正放映总体结果特性。当然因为考虑其工作量的巨大，我们不得不舍弃该方法。

七、参考文献

【1】. 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2011 【2】. 王泽文 乐励华 颜七笙，数学实验与数学建模，邬国根 审，2010 【3】. 盛骤 谢式千 潘承毅，概率论与数理统计，北京：高等教育出

版社，2008

【4】. SPPS软件-教程，

http://wenku.baidu.com/view/fd82bc8b680203d8ce2f2462.html，2012年4月29

附件：1

表一 应聘者录取排序 专家乙 专家丙 专家丁 专家戊 99 79 86 90 95 64 96 95 85 94 74 93 88 96 80 87 79 95 83 98 73 84 98 94 82 92 95 76 94 96 89 76 73 83 90 90 63 95 91 87 74 94 89 87 93 91 82 91 85 92 87 74 79 83 85 84 93 72 94 73 66 91 74 97 68 88 92 83 96 79 84 75 82 92 66 90 97 83 84 70 93 97 90 76 94 74 73 85 78 85 70 93 81 80 66 92 83 79 95 71 84 70 78 86 93 85 82 72 95 81 81 69 94 77 67 95 83 97 64 68 89 84 75 93 84 80 93 64 73 90 79 74 84 73 87 98 94 73 63 95 74 91 94 83 66 99 90 71 序号 39 19 51 47 5 4 40 66 87 64 91 69 100 18 86 16 53 22 82 45 77 97 101 15 98 14 49 11 84 72 43 50 76 79 63 67 12 专家甲 92 94 94 88 83 81 84 74 93 90 82 68 86 91 90 93 90 86 90 85 63 93 92 94 85 94 80 85 78 97 67 87 91 65 81 63 78 平均值 89.2 88.8 88 87.8 87.6 86 85.8 85.8 85.8 85.2 85.2 85 84.8 84.4 84.4 84.2 84.2 84 84 83.8 83.8 83.8 83.6 82.6 82.6 82.4 82.4 82.2 82.2 81.8 81.6 81.6 81.4 81.4 81.2 81 80.8 29 8 10 38 95 9 32 71 1 33 70 41 80 36 81 88 31 35 58 30 56 78 24 42 73 37 3 48 34 55 99 75 25 2 17 46 89 74 94 27 28 54 86 53 66 65 74 77 82 86 68 88 70 94 78 65 81 69 60 59 63 64 93 87 92 90 78 84 88 62 60 98 81 67 68 92 63 86 88 63 79 61 63 59 68 96 93 93 64 97 84 73 73 92 83 90 64 87 92 72 85 97 94 83 55 83 85 79 81 78 76 98 91 63 63 82 80 69 74 76 63 71 74 74 80 95 95 65 80 62 91 76 97 73 85 66 75 65 82 86 65 88 96 75 80 61 66 65 82 85 87 83 76 74 78 80 70 87 65 74 90 64 88 92 78 76 69 69 71 95 90 99 94 87 78 75 88 59 96 66 85 64 77 94 67 76 82 90 84 91 66 81 78 61 70 93 78 63 79 63 84 65 63 87 76 86 63 87 76 75 84 94 73 83 79 64 60 94 86 95 76 84 90 96 82 74 87 88 76 96 96 68 68 58 69 85 80 62 81 84 95 86 87 83 92 69 66 68 85 78 84 74 80.8 80.6 80.4 80.4 80.4 80.2 80.2 80.2 80 80 80 79.8 79.8 79.6 79.4 79.4 79 79 79 78.8 78.8 78.8 78.6 78.6 78.6 78.2 78 77.8 77.6 77.6 77.6 77 76.8 76.6 76.4 76.4 76.2 76 75.8 75.2 74.4 74.4 96 60 7 93 65 62 20 26 52 92 23 57 68 85 90 13 6 21 83 61 44 59 附录2

70 55 76 75 60 51 56 71 55 60 69 75 58 61 76 58 84 61 64 86 63 71 55 72 76 84 83 65 67 66 75 65 90 64 63 84 56 86 67 80 73 55 82 82 95 95 68 66 64 78 91 61 93 84 65 65 84 75 72 72 86 79 84 67 65 61 83 85 64 70 79 94 97 75 84 85 65 94 84 69 75 63 56 70 58 62 69 57 69 64 86 75 83 80 56 94 60 73 76 63 72 72 82 81 66 69 76 80 66 61 74.4 74.2 74 74 73.8 73.6 73.4 73.4 73.4 73.4 73 72.2 72.2 72.2 72.2 72 71.8 71.8 71 70 69 66.4 专家甲： 专家乙 ：

专家丙

附录3

表二 应聘者得分均值排序表 序号 专家甲 专家乙 专家丙 专家丁 专家戊 平均值 89.2 88.8 88 87.8 87.6 86 85.8 85.8 85.8 85.2 85.2 85 84.8 84.4 84.4 84.2 84.2 84 84 83.8 83.8 83.8 83.6 82.6 82.6 82.4 82.4 82.2 82.2 81.8 81.6 81.6 81.4 81.4 81.2 81 80.8 80.8 80.6 39 19 51 47 5 4 40 66 87 64 91 69 100 18 86 16 53 22 82 45 77 97 101 15 98 14 49 11 84 72 43 50 76 79 63 67 12 29 8 92 94 94 88 83 81 84 74 93 90 82 68 86 91 90 93 90 86 90 85 63 93 92 94 85 94 80 85 78 97 67 87 91 65 81 63 78 86 53 99 95 85 88 79 73 82 94 73 63 74 93 85 79 93 66 68 96 82 97 93 94 78 81 83 84 93 95 94 83 89 84 73 84 94 74 66 68 96 79 64 94 96 95 84 92 96 83 95 94 91 92 83 72 91 88 79 92 83 97 74 85 80 79 70 85 81 77 97 84 80 90 73 73 91 99 95 65 86 96 74 80 83 98 95 89 90 91 89 82 87 85 94 74 92 84 66 84 90 73 70 66 95 78 82 81 67 64 75 93 79 87 63 94 90 71 95 90 95 93 87 98 94 76 76 90 87 87 91 74 84 73 97 83 75 90 70 76 85 93 92 71 86 72 69 95 68 93 64 74 98 95 83 71 84 94 10 38 95 9 32 71 1 33 70 41 80 36 81 88 31 35 58 30 56 78 24 42 73 37 3 48 34 55 99 75 25 2 17 46 89 74 94 27 28 54 96 60 66 65 74 77 82 86 68 88 70 94 78 65 81 69 60 59 63 64 93 87 92 90 78 84 88 62 60 98 81 67 68 92 63 86 88 63 79 61 63 59 70 55 93 93 64 97 84 73 73 92 83 90 64 87 92 72 85 97 94 83 55 83 85 79 81 78 76 98 91 63 63 82 80 69 74 76 63 71 74 74 80 95 55 72 80 62 91 76 97 73 85 66 75 65 82 86 65 88 96 75 80 61 66 65 82 85 87 83 76 74 78 80 70 87 65 74 90 64 88 92 78 76 69 69 95 95 90 99 94 87 78 75 88 59 96 66 85 64 77 94 67 76 82 90 84 91 66 81 78 61 70 93 78 63 79 63 84 65 63 87 76 86 63 87 76 75 83 85 73 83 79 64 60 94 86 95 76 84 90 96 82 74 87 88 76 96 96 68 68 58 69 85 80 62 81 84 95 86 87 83 92 69 66 68 85 78 84 74 69 64 80.4 80.4 80.4 80.2 80.2 80.2 80 80 80 79.8 79.8 79.6 79.4 79.4 79 79 79 78.8 78.8 78.8 78.6 78.6 78.6 78.2 78 77.8 77.6 77.6 77.6 77 76.8 76.6 76.4 76.4 76.2 76 75.8 75.2 74.4 74.4 74.4 74.2 7 93 65 62 20 26 52 92 23 57 68 85 90 13 6 21 83 61 44 59 76 75 60 51 56 71 55 60 69 75 58 61 76 58 84 61 64 86 63 71 76 84 83 65 67 66 75 65 90 64 63 84 56 86 67 80 73 55 82 82 68 66 64 78 91 61 93 84 65 65 84 75 72 72 86 79 84 67 65 61 64 70 79 94 97 75 84 85 65 94 84 69 75 63 56 70 58 62 69 57 86 75 83 80 56 94 60 73 76 63 72 72 82 81 66 69 76 80 66 61 74 74 73.8 73.6 73.4 73.4 73.4 73.4 73 72.2 72.2 72.2 72.2 72 71.8 71.8 71 70 69 66.4

表三 得分均值超过80者方差排序表 序号 专家甲 专家乙 专家丙 专家丁 专家戊 31 21 30 39 28 44 24 35 26 22 50 20 42 63 43 45 62 37 91 88 86 92 82 80 84 86 93 83 91 94 85 68 94 85 86 85 79 88 85 99 74 93 82 96 73 79 73 85 83 73 84 95 73 97 83 96 92 79 94 85 92 79 83 95 90 94 79 85 70 81 73 83 85 80 87 86 89 82 95 84 90 83 79 74 95 88 78 81 75 84 84 87 74 90 87 72 76 75 90 98 74 93 71 86 86 69 94 70 期望 方差 84.4 18.8 87.8 84.8 89.2 85.2 82.4 85.8 84 85.8 87.6 81.4 88 82.6 80 82.4 82.2 80.2 83.8 32.2 43.7 54.7 57.7 58.3 59.2 63.5 64.7 69.8 74.3 75.5 76.8 79.5 80.8 87.2 88.7 91.7 34 40 39 23 65 25 29 48 36 49 32 55 41 57 46 59 60 53 27 51 61 33 54 52 19 38 47 64 58 56 90 92 93 81 70 74 68 67 90 87 90 86 94 66 78 74 77 63 90 65 82 93 78 81 94 63 97 88 65 53 68 78 94 73 83 94 93 89 82 84 93 68 81 93 94 64 97 74 63 84 84 66 66 94 95 93 83 92 93 96 88 85 74 84 75 96 91 84 92 80 72 95 80 80 77 91 76 91 95 73 97 91 99 73 64 97 97 66 62 65 92 70 73 98 96 89 82 75 66 93 94 71 66 90 67 94 87 94 91 87 78 74 90 63 96 90 64 59 99 95 83 93 85 94 76 76 91 93 90 64 73 84 92 73 95 79 64 83 87 98 60 97 71 95 95 76 68 95 83 94 84.2 83.6 83.8 86 80 85.8 85 81.6 84 81.6 84.4 80.8 82.6 80.4 82.2 80.4 80.2 81 85.2 81.4 80.2 84.2 80.8 81.2 88.8 83.8 81.8 80 80.4 80.6 93.2 94.3 100.7 101.5 101.5 104.2 108.5 111.8 116 119.3 120.3 124.7 125.8 128.3 144.7 152.3 154.7 161.5 162.2 163.3 178.2 180.7 184.7 188.2 192.7 197.7 242.7 267.5 271.8 407.3