高考数学一轮复习第十章圆锥曲线第63课椭圆的几何性质(2)文(含解析)

1. 判断直线与椭圆位置关系：联立直线方程与椭圆方程，消元得出关于x (或y)的一元二次方程，当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离．

2.直线被椭圆截得的弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)， 则AB(1k2)[(x1x2)24x1x2](11)[(y1y2)24y1y2] 2k其中k为直线斜率．

y21与直线l：xym0有两个不同的交点A与B 【例1】已知椭圆C:x22（1）求实数m的取值范围 （2）若|AB|42，求直线l的方程 32y21x22【解析】（1）由，得3x2mxm20 2xym0Q椭圆C与直线l有两个不同的交点

22∴(2m)43(m2)0，解得3m3

m222m（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2，x1x2

33Q|AB|442，2[(x1x2)24x1x2]2， 332m2m224 2[()4]2，解得m1

333所以直线l的方程为xy10或xy10

x2y21及直线l：x2ym0 【变式】已知椭圆C:43（1）若椭圆C与直线l相切，求实数m的值

（2）求椭圆C上的点到直线l：x2y90的距离的最小值与最小值 【解析】（1）设直线l：x2ym0，

x2y2122由4，得4x2mxm120， 3x2ym022∴(2m)44(m12)0，解得m4

（2）当m4时，直线l与椭圆的交点到直线l的距离的最近， ∵直线l与直线l的距离为d4912225．

当m4时，直线l与椭圆的交点到直线l的距离的最远， ∵直线l与直线l的距离为d491222135． 5135 5所以，椭圆C上的点到直线l的距离的最小值为5，最大值为（2）方法2.设M(2cos,3sin)为椭圆上一点，

2cos23sin994sin(6)那么点M到直线l的距离为：d． 22512当sin(6)1时，dmin9455；

135. 5135 5当sin(6)1时，dmax945所以，椭圆C上的点到直线l的距离的最小值为5，最大值为x2y211 ，求：x2y2x的最大值与最小值 【例2】已知实数x，y满足432x2y231，2x2，且y23x2 【解析】Q43413111111x2y2xx23x2xx2x3(x1)2

4224244Q2x2

当x1时，x2y2111x取得最小值；

421当x2时，x2y2x取得最大值5.

2第63课 椭圆的几何性质的课后作业（2）

x2y211的离心率，且e(,1)，则实数k的取值范围是( ) 1．设e是椭圆

4k2A．(0,3)

B. (3,1616) C．(0,3)U(,) D．(0,2) 331k－416

【解析】当k>4时，c＝k－4，由条件知<<1，解得k>；

4k314－k当044【答案】C

222. “mn0”是“方程mxny1”表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

x2y21, 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴解析:选C 将方程mxny1转化为 11mn1111上必须满足0,0,所以，故选C.

mnnm22x2y23. 椭圆221(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。

ab若AF1,|F1F2,F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）

A.

511 B. C. D. 5-2

542【答案】B

2|AF||FB||FF|【解析】QAF成等比数列，,|FF,FB|1112， 1121c5 a5x2y234. 设F1，F2是椭圆E:221(ab0)的左、右焦点，P为直线xa上一点，

ab2222222即(ac)(ac)(2c)，ac4c，a5c，a5c，eF2PF1是底角为30o的等腰三角形，则E的离心率为 ( )

1234A. B. C. D. 2345

33

【解析】选C 由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴a－c＝c，∴3a＝4c，∴e＝.

24

x2y25. 从椭圆221(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆

ab与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP (O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 ( ) A.

2123 B. C. D. 4222

【解析】选C 本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基

b本思想．由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P－c，.∵AB∥OP，

abb2c22222

∴kAB＝kOP，即－＝－，则b＝c，∴a＝b＋c＝2c，则＝，即该椭圆的离心率aaca2

是2

. 2

2

x2y21的中心和左焦点，6.已知点O和点F分别为椭圆点P为椭圆上的任意一点，求32uuuruuurOPgFP的最大值与最小值

x02y02x0221,解得y02(1)，【解析】 由题意，F（-1，0），设点P(x0,y0)，则有 323uuuruuuruuuruuur2因为FP(x01,y0)，OP(x0,y0)，所以OPFPx0(x01)y0 uuuruuurx02x02135)=x02(x0)2 =OPFPx0(x01)2(133324因为3x03，所以

uuuruuur35当x0时，OPFP取得最小值；

42uuuruuur当x03时，OPFP取得最大值33. l227. 已知椭圆C:x4y4，直线：yxm

ml(1)若与椭圆有一个公共点，求的值；

(2)若与椭圆相交于P，Q两点，且PQ等于椭圆的短轴长，求m的值． (3)求椭圆C上的点到直线l:yx25的距离的最小值与最小值

lx24y24225x8mx4m40， 【解析】（1）由消去，得yyxm8016m20，所以m5。

8m4m24，x1x2（2）设P(x1,y1)，Q(x2,y2)由(1)知：x1x2， 553042mPQ1k2|x1x2|5m22. 解得：. 45（3）由（1）知，

当m5时，直线l与椭圆的交点到直线l的距离的最近 dmin|255|10； 22当m5时，直线l与椭圆的交点到直线l的距离的最远 dmax|25(5)|310 22x2y21于A、B两点，8. 已知过点P(1,1)作直线l交椭圆C: 并且点P为线段AB的32中点，求直线l的方程

【解析】法1.当直线l的斜率不存在时，直线l:x1，不满足条件；

当直线l的斜率存在时，设直线l:y1k(x1)

y1k(x1)222由x2y2消去y，得(23k)x6k(k1)x3k6k30

1326k(k1)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1x2 223k6k(k1)2，解得 QP(1,1)为线段AB的中点，x1x22，即k2323k22所以直线l的方程为y1(x1)，即2x3y50

3x12y121①32法2. 设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则 22x2y21②2311由①－②，得 (x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)

32QP(1,1)为线段AB的中点，x1x22，y1y22

yy222(x1x2)4(y1y2)，即k1

x1x232所以直线l的方程为y1(x1)，即2x3y50

3