2019.3北京市石景山区中考数学模拟试卷及解析

2019年3月石景山区中考数学模拟试卷

一．选择题（共10小题，满分30分）

1．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（ ）

A．a+c

B．c﹣a

C．﹣a﹣c

D．a+2b﹣c

2．石墨烯（Grann）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断，其中0.00001用科学记数法表示为（ ） A．1×10

﹣5

B．10×10

﹣7

C．0.1×10

﹣5

D．1×10

6

3．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）

A．35° B．25° C．65° D．50°

4．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）

A．B．C．D．

5．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（ ） A．22个、20个

B．22个、21个

C．20个、21个

D．20个、22个

6．如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝（ ）

1

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A．75° B．54° C．72° D．60°

7．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（ ）

A．B．C．D．

8．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于

E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12

9．甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最后5次的训练成绩分别用实线和虚线连接起来，如图，下面的结论错误的是（ ）

A．乙的第2次成绩与第5次成绩相同 B．第3次测试，甲的成绩与乙的成绩相同

2

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C．第4次测试，甲的成绩比乙的成绩多2分 D．在5次测试中，甲的成绩都比乙的成绩高 10．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm），则S（cm）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）

2

2

A．B． C．D．

二．填空题（满分18分，每小题3分） 11．若a，b都是实数，b＝

2

2

+﹣2，则a的值为 ．

b12．分解因式：4m﹣16n＝ ．

13．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和π）．

14．若关于x的一元二次方程x﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ． 15．在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段a，b（如图1）．

2

3

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求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为b． 小姗的作法如下：如图2， （1）作线段BC＝a；

（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；

（3）在MN上截取线段DA＝b，连接AB， AC．所以，△ABC就是所求作的等腰三角形． 老师说：“小姗的作法正确”．

请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是： ．

16．某水果公司购进10 000kg苹果，公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分结果如下表：

苹果总质量n（kg） 100 200 300 400 500 1000 损坏苹果质量m（kg） 10.50 19.42 30.63 39.24 49.54 101.10 苹果损坏的频率（结果保留小数点后三位） 0.105 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101 估计这批苹果损坏的概率为 （结果保留小数点后一位），损坏的苹果约有 kg． 三．解答题（共13小题，满分72分）

4

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17．（5分）计算：sin30°﹣+（π﹣4）+|﹣|．

0

18．（5分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

19．（5分）如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．

20．（5分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．

21．（5分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．

（1）第一次购书的进价是多少元？

（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少？

22．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接

OE．

（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；

（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．

5

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23．（5分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．

（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；

（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．

24．（5分）（图象题）如图所示，是我国运动员从1984～2000年在奥运会上获得获牌数的统计图，请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：

（1）从1984～2000年的5届奥运会，我国运动员共获奖牌多少枚； （2）哪届奥运会是我国运动员获得的奖牌总数最多；

（3）根据以上统计，预测我国运动员在2004年奥运会上大约能获得多少枚奖牌；

（4）根据上述数据制作折线统计图，表示我国运动员从1984～2000年奥运会上获得的金牌统计图； （5）你不妨再依据数据制作扇形统计图，比较一下，体会三种统计图的不同特点．

25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是BD弧上的一点，OE⊥BD于点G，连接AE交BC于点F，AC是⊙O的切线．

6

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（1）求证：∠ACB＝2∠EAB；（2）若cos∠ACB＝，AC＝10，求BF的长．

26．（5分）已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，如表是y与x的几组对应值．

x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 … y … ﹣ ﹣ ﹣ m … 小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是 ；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；

（3）在画出的函数图象上标出x＝2时所对应的点，并写出m＝ ． （4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．

7

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27．（7分）抛物线C1：y1＝a1x+b1x+c1中，函数值y1与自变量x之间的部分对应关系如下表：

2

x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 3 4 … y1 … ﹣4 ﹣1 0 ﹣4 ﹣16 ﹣25 … （1）设抛物线C1的顶点为P，则点P的坐标为 ；

（2）现将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2：y2＝a2x+b2x+c2，试求C2的解析式；

（3）现将抛物线C2向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为点D，与x轴的两交点为点A、B． ①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位？

②在最初的状态下，若向下平移m（m＞0）个单位时，对应的线段AB长为n，请直接写出m与n的等量关系．

28．（7分）如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．

（1）如图1，求C点坐标；

（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；

8

2

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（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．

29．（8分）如图，已知抛物线y＝x+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与

2

y轴交于点C．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．

9

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参考答案

一．选择题

1．解：通过数轴得到a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|， ∴a+b＞0，c﹣b＜0

∴|a+b|﹣|c﹣b|＝a+b﹣b+c＝a+c， 故答案为：a+c． 故选：A．

2．解：0.00001用科学记数法表示为1×10﹣5

， 故选：A． 3．解：∵直线a∥b， ∴∠1＝∠3＝55°， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°，

∴∠2＝180°﹣∠BAC﹣∠3＝35°， 故选：A．

4．解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；

B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；

10

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D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．

故选：A．

5．解：在这一组数据中20出现了3次，次数最多，故众数是20； 把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20，20，22，22，23，24，

处于这组数据中间位置的数20和22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是21．故选：C．

6．解：连接OA、OB、OC，

∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴∠AOB＝∠BOC＝72°，

∵OA＝OB，OB＝OC，∴∠OBA＝∠OCB＝54°，

在△OBP和△OCQ中，，

∴△OBP≌△OCQ，（SAS），∴∠BOP＝∠COQ，

∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC，∴∠BOP＝∠QOC，

∵∠POQ＝∠BOP+∠BOQ，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC，∴∠POQ＝∠BOC＝72°．故选：C．

7．解：∵小李距家3千米，

∴离家的距离随着时间的增大而增大， ∵途中在文具店买了一些学习用品，

11

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∴中间有一段离家的距离不再增加， 综合以上C符合， 故选：C． 8．解：连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值，

∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10． 故选：C．

9．解：观察图象可知：A，B，C正确． 故选：D．

10．解：当0≤t≤4时，S＝S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF ＝4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t ＝﹣t2

+4t

12

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＝﹣（t﹣4）2

+8；

当4＜t≤8时，S＝•（8﹣t）2

＝（t﹣8）2

． 故选：D．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．解：∵b＝+﹣2，

∴1﹣2a＝0， 解得：a＝， 则b＝﹣2，

故ab＝（）﹣2

＝4． 故答案为：4．

12．解：原式＝4（m+2n）（m﹣2n）． 故答案为：4（m+2n）（m﹣2n）

13．解：正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H， ∠DOE＝

＝60°，

∴OD＝OE＝DE＝1， ∴OH＝

，

∴正六边形ABCDEF的面积＝×1××6＝，

∠A＝

＝120°，

13

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∴扇形ABF的面积＝＝，∴图中阴影部分的面积＝﹣，

故答案为：﹣．

14．解：根据题意得△＝（﹣4）﹣4k＝0，解得k＝4．故答案为4． 15．解：由作法得MN垂直平分BC，则AB＝AC．

故答案为垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形． 16．解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右，所以可估计苹果损坏率大约是0.1； 根据题意得：10000×0.1＝1000（kg）

答：损坏的苹果约有1000kg．故答案为：0.1，1000． 三．解答题（共13小题，满分72分） 17．解：原式＝﹣2+1+＝0．

18．解：去分母，得：2（2x﹣1）+15≥3（3x+1），去括号，得：4x+13≥9x+3， 移项，得：4x﹣9x≥3﹣13，合并同类项，得：﹣5x≥﹣10，系数化为1，得：x≤2， 将解集表示在数轴上如下：

2

．

19．证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°，

14

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∴AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵∠P＝∠Q， ∴PB∥CQ， ∴∠PBC＝∠BCQ，

∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2＝∠BCD﹣∠BCQ， ∴∠1＝∠2．

20．解：原式＝（+）•

＝•

＝2（x+2） ＝2x+4， 当x＝﹣时，

原式＝2×（﹣）+4 ＝﹣1+4 ＝3．

21．解：（1）设第一次购书的单价为x元，根据题意得：

+10＝．

解得：x＝5．

经检验，x＝5是原方程的解，

15

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答：第一次购书的进价是5元；

（2）第一次购书为1200÷5＝240（本）， 第二次购书为240+10＝250（本）， 第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），

第二次赚钱为200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元）， 所以两次共赚钱480+40＝520（元），

答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元． 22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD，

∵四边形OCED是平行四边形，

∴四边形OCED为菱形，∴CE∥OB，CE＝OB，∴四边形OBCE为平行四边形； （2）解：过F作FM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N， ∵FM⊥BC，ON⊥BC，∴ON∥FM， ∵AO＝OC，∴ON＝AB＝1， ∵OF＝FC，∴FM＝ON＝，

∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴∠OAB＝60°，∠ACB＝30°， 在 Rt△ABC中：∵AB＝2，∠ACB＝30°，∴BC＝2，

∵∠ACB＝30°，FM＝，∴CM＝

，∴BM＝BC﹣CM＝

，∴BF＝

＝

． 16

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23．解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b， 得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，

∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1；

（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C， ∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5； （3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），

∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．

24．解：（1）32+26+54+50+59＝221枚；

（2）根据各年的总数据，显然59最大，即是2000年； （3）根据逐年增长的趋势，约60枚左右； （4）如答图所示；

（5）①条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目； ②折线统计图能清楚地反映事物变化情况；

17

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③扇形统计图能清楚地表示出各部分所占的百分比．

25．解：（1）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

∵AC是⊙O的切线，∴∠CAB＝90°，∴∠C+∠CAD＝∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠C＝∠DAB， ∵OE⊥BD，∴2

＝

，∴∠BAE＝

BAD，∴∠ACB＝2∠EAB；

（2）∵cos∠ACB＝，AC＝10，∴BC＝25，∴AB＝

＝5

，

∵∠C＝∠BAD，∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，∴，∴BD＝＝21，

∵OE⊥BD，∴BG＝DG＝，∵AD＝＝2，∵AO＝BO，BG＝DG，∴OG＝AD＝，∴GE＝

，∵AD∥GE，∴＝，∴FG＝DG＝，∴BF＝BG+FG＝+＝15．

26．解：（1）当自变量是﹣2时，函数值是；故答案为： （2）该函数的图象如图所示；

（3）当x＝2时所对应的点 如图所示，且m＝；故答案为：；

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（4）函数的性质：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小． 故答案为：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小．

27．解：（1）观察表格可知，抛物线上点（﹣3，﹣4）与点（1，﹣4）关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴x＝﹣1， ∴顶点P坐标（﹣1，0）． 故答案为（﹣1，0）．

（2）设抛物线C1的解析式为y1＝a（x+1），把（﹣2，﹣1）代入得到a＝﹣1， ∴抛物线C1的解析式为y1＝﹣（x+1），

将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2，根据对称性可知，抛物线C2的顶点为（﹣1，0），a＝1， ∴C2的解析式为y2＝（x+1），

（3）①抛物线C2向下平移过程中，对称轴x＝﹣1，当AB之间的距离为6时，可知A（﹣4，0），B（2，0），

∴此时抛物线C2的解析式为y＝（x+4）（x﹣2）， 即y＝（x+1）﹣9，

抛物线C2至少向下平移9个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位．

②抛物线C2下平移m（m＞0）个单位后的解析式为y＝（x+1）﹣m， 令y＝0，解得x＝﹣1±

，

2

2

2

2

2

19

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∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），

∴n＝AB＝2，

∴m＝n2

．

28．解：（1）作CH⊥y轴于H， 则∠BCH+∠CBH＝90°， ∵AB⊥BC，

∴∠ABO+∠CBH＝90°， ∴∠ABO＝∠BCH， 在△ABO和△BCH中，

，

∴△ABO≌△BCH， ∴BH＝OA＝3，CH＝OB＝1， ∴OH＝OB+BH＝4， ∴C点坐标为（1，﹣4）； （2）∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，

∴∠PBQ﹣∠ABQ＝∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA＝∠QBC， 在△PBA和△QBC中，

，

∴△PBA≌△QBC，

20

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∴PA＝CQ；

（3）∵△BPQ是等腰直角三角形， ∴∠BQP＝45°，

当C、P，Q三点共线时，∠BQC＝135°， 由（2）可知，△PBA≌△QBC， ∴∠BPA＝∠BQC＝135°， ∴∠OPB＝45°， ∴OP＝OB＝1， ∴P点坐标为（1，0）．

29．解：（1）对于抛物线y＝x2

+3x﹣8，

令y＝0，得到x2

+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0）， 令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得

，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．

21

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（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m， m+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）

2

∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m+3m﹣8）]＝﹣2m﹣16m＝﹣2（m+4）

2

22

+32，

∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值， 此时F（﹣4，﹣12）， ∵抛物线的对称轴x＝﹣3，

点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小， 设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有

，

解得，

∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4， ∴P（﹣3，﹣10），

∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）． （3）如图2中，

22

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∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）， ∴BF＝

＝4

，

①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B、F、Q三点一线应该舍去）．②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4），Q3（0，4

）．

③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m）， 则有82

+m2

＝42

+（m+12）2

， 解得m＝﹣4， ∴Q4（0，﹣4），

∴Q点坐标为（0，0）或（0，4

）或（0，﹣4）或（0，﹣4）．

23