全2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷Ⅰ)

理科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效． 4．考试结束，将本试题和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A．[－2，－1] B．[－1,2) C．[－1,1] D．[1,2)

1＋i32.＝( ) 1－i2A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i

3．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )

A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数

4．已知F是双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )

A.3 B．3 C.3m D．3m

5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )

13A. B. 8857C. D. 88 6.

如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )

7．执行如图所示程序框图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝(

A.20163 B.5 C.7152 D.8

8．设α∈0，π2，β∈π1＋sin β

0，2，且tan α＝cos β，则( ) A．3α－β＝ππ

2 B．2α－β＝2 C．3α＋β＝ππ

2 D．2α＋β＝2

)

x＋y≥1，

9．不等式组的解集记为D.有下面四个命题：

x－2y≤4

p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2， p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1. 其中真命题是( ) A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3

10．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若

75

A. B. 22C．3 D．2

11．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为( )

A．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)

12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )

，则|QF|＝( )

A．62 B．42 C．6 D．4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分．第(13)题－第(21)题为必考题，每个考生都必须做答．第(22)题－第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)

14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．

16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

(1)证明：an＋2－an＝λ；

(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

18．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.

(i)利用该正态分布，求P(187.8(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用(i)的结果，求EX.

附：150≈12.2.

若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ19．(本小题满分12分)如图三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.

(1)证明：AC＝AB1；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值．

x2y2320．(本小题满分12分) 已知点A(0，－2)，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，F

ab223

是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

3

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

bex1

21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝aeln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方

x

－

x

程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.

请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

(1)证明：∠D＝∠E;

(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

x＝2＋tx2y2

已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．

49y＝2－2t

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

11

若a>0，b>0，且＋＝ab.

ab(1)求a3＋b3的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．

答案 第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1．解析：选A A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，选A. 1＋i31－i＋3i－3－2＋2i

2.解析：选D ＝＝＝－1－i，选D.

1－i2－2i－2i

3．解析：选C f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.

x2y2

4．解析：选A 双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝3.选A.

3m324－27

5．解析：选D 由题知所求概率P＝4＝，选D.

28

π1

0，时，f(x)＝cos x·6.解析：选B 由题意知，f(x)＝|cos x|·sin x，当x∈sin x＝sin 2x；22π1

，π时，f(x)＝－cos x·当x∈sin x＝－sin 2x，故选B. 22

33837．解析：选D 第一次循环：M＝，a＝2，b＝，n＝2；第二次循环：M＝，a＝，

223281581515

b＝，n＝3；第三次循环：M＝，a＝，b＝，n＝4.则输出的M＝，选D. 38388

sin α1＋sin β8．解析：选B 由条件得＝，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos

cos αcos βπππππππ

－α，因为－<α－β<，0<－α<，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B. α＝sin2222222

9．解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.

10．解析：选C 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.

11．解析：选B 当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1有两个零点，不符合题意，故a≠0.f′(x)

，所以|PQ|∶|PF|

22

＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由题意得a<0且f解得a<－2，a>0，a选B.

12．解析：选C 如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A-BCD，最长的棱为AD＝422＋22＝6，选C.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分．第(13)题－第(21)题为必考题，每个考生都必须做答．第(22)题－第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

8rr6

13．解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cry，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系数为C78x8－C8＝8

－

－28＝－20.

答案：－20

14．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．

答案：A 15.

16．解析：由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－b2＋c2－a21πa＝bc，所以cos A＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，

2bc23

2

113

即bc≤4，故S△ABC＝bcsin A≤×4×＝3，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则△ABC

222面积的最大值为3.

答案：3

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解析：(1)由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1. 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.

(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.

故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.

所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.

因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．

18．解析：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8(ⅱ)由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以EX＝100×0.682 6＝68.26.

19．解析：(1)连接BC1，交B1C于点O，连接AO.

因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点． 又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO. 由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO. 又B1O＝CO，故AC＝AB1.

(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.

又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.

故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两相互垂直．

同理可取m＝(1，－3，3)． n·m1

则cos〈n，m〉＝＝. |n||m|71

所以二面角A-A1B1-C1的余弦值为. 7

223

20．解析：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝3.

c3c3

又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. a2x22

故E的方程为＋y＝1.

4

(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． x22

将y＝kx－2代入＋y＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.

48k±24k2－33

当Δ＝16(4k－3)>0，即k>时，x1,2＝.

44k2＋1

2

2

4k2＋1·4k2－3

从而|PQ|＝k＋1|x1－x2|＝.

4k2＋1

2又点O到直线PQ的距离d＝

2

. 2k＋1

44k2－31

所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝. 24k2＋14t4

设4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝2＝.

4t＋4

t＋t

47

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.

t2所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝21．解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， ab－b－

f′(x)＝aexln x＋ex－2ex1＋ex1.

xxx由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e. 故a＝1，b＝2.

2－

(2)由(1)知，f(x)＝exln x＋ex1，

x2－

从而f(x)>1等价于xln x>xex－. e设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x. 1

0，时，g′(x)<0； 所以当x∈e1

，＋∞时，g′(x)>0. 当x∈e

11

0，上单调递减，在，＋∞上单调递增， 故g(x)在ee11

从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－. ee2－－

设函数h(x)＝xex－，则h′(x)＝ex(1－x)．

e

所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0. 故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 1

从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.

e综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．解析：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.

77

x－2或y＝－x－2. 22

(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上． 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD即MN⊥AD. 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE. 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.

由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．

x＝2cos θ，

23．解析：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．

y＝3sin θ

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝则|PA|＝

5

|4cos θ＋3sin θ－6|. 5

d254

＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝. sin 30°53

225

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

525

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为. 5

112

24．解析：(1)由ab＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立．

abab故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立． 所以a3＋b3的最小值为42. (2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.

由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.