云南省昆明市西山区2020年中考数学一模试卷(含解析)

2020年云南省昆明市西山区中考数学一模试卷

一、填空题

1．|﹣2020|＝ ．

2．分解因式：x3﹣9x＝ ．

3．CD交于点O，EO⊥AB， 如图，直线AB、垂足为O，∠EOC＝35°，则∠AOD＝ 度．

4．若 （x﹣2）0有意义，则x的取值范围是 ．

5．关于x的一元二次方程x2+4x﹣2k＝0有两个相等的实数根，则k为 ．

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB，AC于M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点G，连接AG，交边BC于E，则△AEC的面积为 ．

二、选择题（每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的：每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑） 7．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A． B．

C． D．

1

8．据报道，截至北京时间3月30日9时20分，全球确诊病例突破70万例，除中国外累计确诊病例约为633200例．数字633200用科学记数法表示为（A．6.332x106B．63.32×104C．6.332×105）D．6.332×104

9．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ） A．a2＜b2

B．2a＜2b

C．a﹣3＜b﹣3

D．﹣＞﹣

10．下列说法正确的是（ ）

A．为了了解全国初中学生的眼睛近视情况，适宜采用全面调查； B．“五边形的内角和为540°”是必然事件；

C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为s甲2＝2.5，s乙2＝0.8，说明甲的成绩比乙的成绩稳定；

D．数据2，4，5，6，7的平均数是5． 11．下列运算正确的是（ ） A．（a+b）2＝a2+b2 C．

+

＝1

B．5a﹣a＝5

D．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3

12．圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的周长为20π，扇形的圆心角为120°，则圆锥的全面积为（ ） A．400π

B．500π

C．600π

D．700π

13．某新能源环保汽车去年第四季度销售总额为2000万元，由于受全球经济下行压力的影响，今年第一季度每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年第四季度相同，销售总额比去年第四季度减少20%，今年第一季度每辆车的销售价格是多少万元？设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，根据题意列方程为（ ） A．C．

＝＝

B．D．

＝＝

14．如图，过点C（﹣3，4）的直线y＝﹣2x+b交x轴于点A，双曲线y＝（x＜0）过点B，且∠ABC＝90°，AB＝BC，则双曲线的解析式为（ ）

2

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝

三、解答题（共9题，满分70分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效.特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 15．计算：（﹣1）2020+

﹣4cos30°﹣2﹣1+

．

16．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，AB∥DE．求证：BC＝EF．

17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A （0，3），B（3，4），C（2，2）．

（1）画出△ABC关于x轴对称得到的△A1B1C1，并写出A1和B1的坐标：

（2）画出以点B为位似中心，将△ABC放大2倍的位似图形△A2B2C（在网格线内作图）．2

18．4月23日是世界读书日，某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学

3

社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读过程如下： [收集数据]从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）

60，81，120，140，70，81，10，20，100，81 30，60，81，50，40，110，130，146，90，100 [整理数据]按如表分段整理样本数据并补全表格： 课外阅读时间x（min）

等级 人数

0≤x＜40

D 3

40≤x＜80

C

80≤x＜120

B 8

120≤x＜160

A

[分析数据]补全下列表格中的统计量：

平均数 80

[结果运用]

（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间是什么等级？说明理由． （2）如果该校现有学生1000人，估计等级为“B“的学生有多少名？

19．从3月9日开始，昆明向社会开放了四家公园：1号郊野公园，2号黑龙潭公园，3号县华寺公园，4号金殿公园，小明一家计划利用两天时间游览其中两个公园：第一天从4个公园中随机选择一个，第二天从余下的3个公园中再随机选择一个，且每个公园被选中的机会均等．

（1）第一天1号郊野公园被选中的概率是 ．

（2）利用列表或画树状图的方法求两天中2号黑龙谭公园被选中的概率．

20．为了打好脱贫攻坚战，做好精准扶贫，某乡2018年投入资金320万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年计划投入资金720万元．

（1）从2018年到2020年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2020年异地安置的具体实施中，该乡计划投入资金不低于160万元用于优先搬迁租房奖励，规定前100户（含第100户）每户每天奖励8元，100户以后每户每天奖励6元，按租房400天计算，求2020年该乡至少有多少户可以享受到优先搬迁租房奖励？ 21．如图，AB是⊙O的直径，点M是（1）求证：OM∥AC；

4

中位数

众数

的中点，连结OM，OC，AC．

（2）过点C作⊙O的切线CD，交BM的延长线于D，当∠D＝90°，⊙O的半径为6，求CD的长．

22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C （0，3），对称轴为直线x＝2．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）直线x＝m在线段OB上运动，分别交直线BC和抛物线于点M，N，当MN最大时，求tan∠CNM的值．

23．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P旋转α得到线段DP，连结AP，CD，BD．

（1）观察猜想：如图1，当α＝60°时，线段CP绕点P顺时针旋转α得到线段DP，则的值是 ，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是 ；

（2）类比探究：如图2，当α＝90°时，线段CP绕点P顺时针旋转α得到线段DP．请直接写出AP与BD相交所成的较小角的度数，并说明△BCD与△ACP相似，求出值；

（3）拓展延伸：当α＝90°时，且点P到点C的距离为AC，线段CP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，若点A，C，P在一条直线上时，求

的值．

的

5

6

参考答案

一、填空题

1．|﹣2020|＝ 2020 ．

【分析】根据绝对值的定义直接进行计算． 解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020， 故答案为：2020．

2．分解因式：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．

【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式． 解：原式＝x（x2﹣9） ＝x（x+3）（x﹣3）， 故答案为：x（x+3）（x﹣3）．

3．如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，则∠AOD＝ 125 度．

【分析】根据图形求得∠COB＝∠COE+∠BOE＝125°；然后由对顶角相等的性质来求∠AOD的度数． 解：∵EO⊥AB， ∴∠EOB＝90°． 又∵∠COE＝35°，

∴∠COB＝∠COE+∠BOE＝125°． ∵∠AOD＝∠COB（对顶角相等）， ∴∠AOD＝125°， 故答案为：125．

4．若 （x﹣2）0有意义，则x的取值范围是 x≠2 ． 【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案． 解：由题意，得

7

x﹣2≠0， 解得x≠2， 故答案为：x≠2．

5．关于x的一元二次方程x2+4x﹣2k＝0有两个相等的实数根，则k为 ﹣2 ． 【分析】根据判别式的意义得到△＝42﹣4×（﹣2k）＝0，然后解关于k的方程即可． 解：根据题意得△＝42﹣4×（﹣2k）＝0， 解得k＝﹣2． 故答案为﹣2．

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB，AC于M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点G，连接AG，交边BC于E，则△AEC的面积为 15 ．

【分析】作EF⊥AC于F，由题意得AE平分∠BAC，证Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），得出AF＝AB＝6，CF＝AC﹣AF＝4，设EF＝EB＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得出方程，解方程得出EF＝3，由三角形面积公式即可得出答案． 解：作EF⊥AC于F，如图： 由题意得：AE平分∠BAC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，BC＝AD＝8， ∴AC＝EB⊥AB， ∵AE平分∠BAC， ∴EF＝EB，

在Rt△AEF和Rt△AEB中，

，

＝

＝10，

8

∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）， ∴AF＝AB＝6， ∴CF＝AC﹣AF＝4，

设EF＝EB＝x，则CE＝8﹣x，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴EF＝3，

∴△AEC的面积＝AC×EF＝×10×3＝15； 故答案为：15．

二、选择题（每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的：每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑） 7．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形． 故选：A．

9

8．据报道，截至北京时间3月30日9时20分，全球确诊病例突破70万例，除中国外累计确诊病例约为633200例．数字633200用科学记数法表示为（A．6.332x106B．63.32×104C．6.332×105）D．6.332×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解：将633200用科学记数法表示为：6.332×105． 故选：C．

9．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ） A．a2＜b2

B．2a＜2b

C．a﹣3＜b﹣3

D．﹣＞﹣

【分析】根据不等式的性质即可求出答案．

解：（A）当a＝﹣3，b＝1时，此时a2＞b2，故A错误． 故选：A．

10．下列说法正确的是（ ）

A．为了了解全国初中学生的眼睛近视情况，适宜采用全面调查； B．“五边形的内角和为540°”是必然事件；

C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为s甲2＝2.5，s乙2＝0.8，说明甲的成绩比乙的成绩稳定；

D．数据2，4，5，6，7的平均数是5．

【分析】直接利用方差的意义以及平均数的求法和必然事件的定义分别分析得出答案． 解：A、为了了解全国初中学生的眼睛近视情况，适宜采用抽样调查，故此选项错误； B、“五边形的内角和为540°”是必然事件，正确；

C、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为s甲2＝2.5，s乙2＝0.8，说明乙的成绩比甲的成绩稳定，故此选项错误；

D、数据2，4，5，6，7的平均数是故选：B．

11．下列运算正确的是（ ） A．（a+b）2＝a2+b2

B．5a﹣a＝5

，故此选项错误．

10

C．+＝1 D．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3

【分析】根据整式的运算法则以及分式的运算法则即可求出答案． 解：（A）原式＝a2+2ab+b2，故A错误． （B）原式＝4a，故B错误． （D）原式＝﹣8a6b3，故D错误． 故选：C．

12．圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的周长为20π，扇形的圆心角为120°，则圆锥的全面积为（ ） A．400π

B．500π

C．600π

D．700π

【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，利用圆的周长公式得2πr＝20π，解得r＝10，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到20π＝圆的面积与扇形的面积可得到圆锥的全面积． 解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l， 根据题意得2πr＝20π，解得r＝10， 20π＝

，解得l＝30，

，解得l＝30，然后计算底面

所以圆锥的全面积＝π×102+×20π×30＝400π． 故选：A．

13．某新能源环保汽车去年第四季度销售总额为2000万元，由于受全球经济下行压力的影响，今年第一季度每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年第四季度相同，销售总额比去年第四季度减少20%，今年第一季度每辆车的销售价格是多少万元？设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，根据题意列方程为（ ） A．C．

＝＝

B．D．

＝＝

【分析】设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，则去年第四季度每辆车的销售价格为（x+1）万元，根据数量＝总价÷单价结合今年第一季度的销售数量与去年第四季度相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

解：设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，则去年第四季度每辆车的销售价格为

11

（x+1）万元， 依题意，得：故选：B．

14．如图，过点C（﹣3，4）的直线y＝﹣2x+b交x轴于点A，双曲线y＝（x＜0）过点B，且∠ABC＝90°，AB＝BC，则双曲线的解析式为（ ）

＝

．

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝

【分析】作CD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，根据待定系数法求得直线解析式，进而求得A的坐标，通过证得△EBC≌△FBA，得出CE＝AF，BE＝BF，设B（a，），则4﹣（﹣a﹣3）＝﹣1﹣a，求得k＝﹣4，得到反比例函数的解析式y＝﹣．

解：作CD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E， ∵过点C（﹣3，4）的直线y＝﹣2x+b交x轴于点A， ∴4＝﹣2×（﹣3）+b，解得b＝﹣2， ∴直线为y＝﹣2x﹣2， 令y＝0，则求得x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），

∵BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E， ∴BE∥x轴， ∴∠ABE＝∠BAF， ∵∠ABC＝90°，

12

∴∠ABE+∠EBC＝90°， ∵∠BAF+∠ABF＝90°， ∴∠EBC＝∠ABF， 在△EBC和△FBA中

∴△EBC≌△FBA（AAS）， ∴CE＝AF，BE＝BF， 设B（a，），

∵4﹣＝﹣1﹣a，﹣3﹣a＝， ∴4﹣（﹣3﹣a）＝﹣1﹣a， 解得a＝﹣4，k＝﹣4，

∴反比例函数的解析式为y＝﹣， 故选：B．

三、解答题（共9题，满分70分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效.特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 15．计算：（﹣1）2020+

﹣4cos30°﹣2﹣1+

．

【分析】原式利用乘方的意义，平方根、立方根性质，特殊角三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可求出值．

13

解：原式＝1+2＝﹣．

﹣4×﹣﹣2

16．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，AB∥DE．求证：BC＝EF．

【分析】先证明AC＝DF，再根据SAS推出△ABC≌△DEF，便可得结论． 解：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠EDF，

∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF ∴AC＝DF

在△ABC和△DEF中

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴BC＝EF．

17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A （0，3），B（3，4），C（2，2）．

（1）画出△ABC关于x轴对称得到的△A1B1C1，并写出A1和B1的坐标：

（2）画出以点B为位似中心，将△ABC放大2倍的位似图形△A2B2C（在网格线内作图）．2

14

【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用位似中心的位置以及位似比得出对应点位置进而得出答案． 解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求； A1（0，﹣3），B1（2，﹣1）；

（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．

18．4月23日是世界读书日，某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读过程如下： [收集数据]从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）

60，81，120，140，70，81，10，20，100，81 30，60，81，50，40，110，130，146，90，100 [整理数据]按如表分段整理样本数据并补全表格： 课外阅读时间x（min）

等级 人数

0≤x＜40

D 3

40≤x＜80

C 5

80≤x＜120

B 8

120≤x＜160

A 4

[分析数据]补全下列表格中的统计量：

平均数 80

[结果运用]

（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间是什么等级？说明理由． （2）如果该校现有学生1000人，估计等级为“B“的学生有多少名？

15

中位数 81

众数 81

【分析】根据中位数、众数的定义可以填表格，利用样本和总体之间的比例关系可以估计或计算得到（1）（2）结果．

解：[整理数据]按如表分段整理样本数据并补全表格： 课外阅读时间x（min）

等级 人数

0≤x＜40

D 3

40≤x＜80

C 5

80≤x＜120

B 8

120≤x＜160

A 4

[分析数据]补全下列表格中的统计量：

平均数 80

中位数 81

众数 81

（1）根据上表统计显示：样本中位数和众数都是81，平均数是80，都是B等级， 故估计该校学生每周的用于课外阅读时间的情况等级为B． （2）∵1000×

＝400

∴该校现有学生1000人，估计等级为“B”的学生有400名．

19．从3月9日开始，昆明向社会开放了四家公园：1号郊野公园，2号黑龙潭公园，3号县华寺公园，4号金殿公园，小明一家计划利用两天时间游览其中两个公园：第一天从4个公园中随机选择一个，第二天从余下的3个公园中再随机选择一个，且每个公园被选中的机会均等．

（1）第一天1号郊野公园被选中的概率是

．

（2）利用列表或画树状图的方法求两天中2号黑龙谭公园被选中的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式计算；

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中两天中2号黑龙谭公园被选中的结果数，然后根据概率公式计算．

解：（1）第一天1号郊野公园被选中的概率＝； 故答案为； （2）画树状图为：

16

共有12种等可能的结果数，其中两天中2号黑龙谭公园被选中的结果数为6， 所以两天中2号黑龙谭公园被选中的概率＝

＝．

20．为了打好脱贫攻坚战，做好精准扶贫，某乡2018年投入资金320万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年计划投入资金720万元．

（1）从2018年到2020年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2020年异地安置的具体实施中，该乡计划投入资金不低于160万元用于优先搬迁租房奖励，规定前100户（含第100户）每户每天奖励8元，100户以后每户每天奖励6元，按租房400天计算，求2020年该乡至少有多少户可以享受到优先搬迁租房奖励？ 【分析】（1）设从2018年到2020年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据该乡2018年及2020年投入的异地安置资金数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设2020年该乡有y户可以享受到优先搬迁租房奖励，根据该乡计划投入资金不低于160万元用于优先搬迁租房奖励，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．

解：（1）设从2018年到2020年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为x， 依题意，得：320（1+x）2＝720，

解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．

答：从2018年到2020年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为50%． （2）设2020年该乡有y户可以享受到优先搬迁租房奖励， 依题意，得：8×400×100+6×400（y﹣100）≥1600000， 解得：y≥633． 又∵y为正整数， ∴y的最小值为634．

答：2020年该乡至少有634户可以享受到优先搬迁租房奖励． 21．如图，AB是⊙O的直径，点M是

的中点，连结OM，OC，AC．

17

（1）求证：OM∥AC；

（2）过点C作⊙O的切线CD，交BM的延长线于D，当∠D＝90°，⊙O的半径为6，求CD的长．

【分析】（1）由M是的中点，得∠BOM＝∠COM，再由三角形的外角定理得∠BOM

＝∠OAC，进而得结论；

（2）连接AM，与OC交于点E，先证明OC∥BD，再证明△OBM为等边三角形，再在△OME中求得ME，便可得结果． 解：（1）∵M是

的中点，

∴∠BOM＝∠COM， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA，

∵∠OAC+∠OCA＝∠BOC＝∠BOM+∠COM， 即2∠OAC＝2∠BOM， ∴∠OAC＝∠BOM， ∴OM∥AC；

（2）连接AM，与OC交于点E，

∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD，

18

∵∠D＝90°， ∴OC∥BD， ∴∠COM＝∠BMO， ∵M是

的中点，

∴∠COM＝∠BOM＝∠BMO， ∵OB＝OM，

∴∠OBM＝∠BMO＝∠BOM， ∴△OBM为等边三角形， ∴∠COM＝∠BOM＝60°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AMD＝∠AMB＝90°， ∴四边形OCDM为矩形， ∴OC⊥AM，CD＝EM，

∴CD＝EM＝OM•sin∠COM＝6×

．

22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C （0，3），对称轴为直线x＝2．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）直线x＝m在线段OB上运动，分别交直线BC和抛物线于点M，N，当MN最大时，求tan∠CNM的值．

【分析】（1）根据对称轴方程x＝﹣析式求得c的值即可；

求得b的值；然后将点C的坐标代入抛物线解

（2）利用待定系数法求得直线BC解析式是：y＝﹣x+3，设点P（m、0），得到M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3），所以根据二次函数最值的求法求得m的值；如图，过点C作CE⊥直线MN于E，由锐角三角函数定义来求tan∠CNM的值．

19

解：（1）由题意，得x＝﹣＝2，则b＝﹣4． 所以，把点C （0，3）代入y＝x2+bx+c，得c＝3． 故该二次函数的表达式是：y＝x2﹣4x+3；

（2）令直线x＝m与x轴交点为P，则P（m，0）． 由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1）得到B（3、0）．

设BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），将B（3、0），C（0，3）代入，得解得：

．

，

故直线BC解析式是：y＝﹣x+3， ∵点P（m、0），

∴M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3），

∴MN＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+， ∵﹣1＜0，

∴当m＝时，线段MN取得最大值为． ∴P（，0）．

如图，过点C作CE⊥直线MN于E，

把x＝代入抛物线y＝x2﹣4x+3，得y＝（）2﹣4×+3＝﹣，即N（，﹣）． ∴CE＝，EN＝

．

∴tan∠CNM＝tan∠CNE＝＝＝，即tan∠CNM＝．

23．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接

20

CP，将线段CP绕点P旋转α得到线段DP，连结AP，CD，BD．

（1）观察猜想：如图1，当α＝60°时，线段CP绕点P顺时针旋转α得到线段DP，则的值是 1 ，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是 60° ；

（2）类比探究：如图2，当α＝90°时，线段CP绕点P顺时针旋转α得到线段DP．请直接写出AP与BD相交所成的较小角的度数，并说明△BCD与△ACP相似，求出值；

（3）拓展延伸：当α＝90°时，且点P到点C的距离为AC，线段CP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，若点A，C，P在一条直线上时，求

的值．

的

【分析】（1）如图1中，延长AP交BD的延长线于K，设AK交BC于J．证明△BCD≌△ACP（SAS），推出BD＝PA，∠KBJ＝∠CAJ可得结论．

（2）如图2中，设BD交AC于O．证明∴△BCD∽△ACP（SAS），推出∠CBO＝∠OAG可得结论．

（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点P在AC的延长线上时，如图3﹣2中，当点P落在AC上时，设PC＝m，AC＝3m，求出BD，PA即可解决问题． 解：（1）如图1中，延长AP交BD的延长线于K，设AK交BC于J．

＝

＝

，

∵AB＝AC，PC＝PD，∠BAC＝∠CPD＝60°， ∴△ABC，△PCD都是等边三角形，

∴CB＝CA，CD＝CP，∠ACB＝∠PCD＝60°，

21

∴∠BCD＝∠ACP， ∴△BCD≌△ACP（SAS）， ∴BD＝PA，∠KBJ＝∠CAJ， ∵∠KJB＝∠CJA， ∴∠K＝∠ACJ＝60°， ∴

＝1，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是60°，

故答案为1，60°．

（2）如图2中，设BD交AC于O．

∵AB＝AC，PC＝PD，∠BAC＝∠CPD＝90°， ∴△ABC，△PCD都是等腰直角三角形， ∴CB＝

CA，CD＝

CP，∠ACB＝∠PCD＝45°°， ＝

，

∴∠BCD＝∠ACP，

∴△BCD∽△ACP（SAS）， ∴

＝

＝

，∠CBO＝∠OAG，

∵∠COB＝∠AOG， ∴∠AGB＝∠OCB＝45°， ∴

（3）如图3﹣1中，当点P在AC的延长线上时，设PC＝m，则AC＝3m，PA＝4m，

＝

，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是45°．

22

∵∠ACB＝∠PCD＝45°， ∴∠BCD＝90°， 在Rt△BCD中，∵BC＝AC＝3

m，CD＝

PC＝m，

∴BD＝＝＝2

m，

∴＝

＝

．

如图3﹣2中，当点P落在AC上时，设PC＝m，则AC＝3m，PA＝2m，

∵∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴∠BCD＝90°， ∴BD＝＝＝2

m，

∴

＝

＝

，

综上所述，的值为

或

．

23