用牛顿运动定律解决问题(一)-高考物理通用讲义

2.2.6 用牛顿运动定律解决问题(一)

学习目标 1.掌握学习分析物体的受力情况，能结合物体的运动情况进行受力分析。 2.运用牛顿运动定律和运动学公式解决简单的力学问题。 3.掌握应用牛顿运动定律解决问题的基本思路和方法。

一、牛顿第二定律的作用

确定了运动和力的关系，把物体的运动情况与受力的情况联系起来。 二、两类基本问题

1.从受力确定运动情况：如果已知物体的受力情况，可以由牛顿第二定律求出物体的加速度，再通过运动学的规律确定物体的运动情况。

2.从运动情况确定受力：如果已知物体的运动情况，根据运动学公式求出物体的加速度，再根据牛顿第二定律就可以确定物体所受的力。 思考判断

(1)根据物体加速度的方向可以判断物体所受合外力的方向。(√) (2)根据物体加速度的方向可以判断物体受到的每个力的方向。(×) (3)物体运动状态的变化情况是由它的受力决定的。(√)

(4)物体运动状态的变化情况是由它对其他物体的施力情况决定的。(×)

根据受力情况确定运动情况

[要点归纳]

1.问题界定：已知物体受力情况确定运动情况，指的是在受力情况已知的条件下，判断出物体的运动状态或求出物体的速度和位移。 2.解题思路

2类问题——由受力求运动、由运动求受力 1个桥梁——加速度 核心提炼

3.解题步骤

(1)确定研究对象，对研究对象进行受力分析，并画出物体的受力图。 (2)根据力的合成与分解，求出物体所受的合外力(包括大小和方向)。 (3)根据牛顿第二定律列方程，求出物体运动的加速度。

(4)结合物体运动的初始条件，选择运动学公式，求出所需求的运动学量——任意时刻的位移和速度以及运动轨迹等。 [精典示例]

[例1] 在海滨乐场里有一种滑沙的游乐活动。如图1所示，人坐在滑板上从斜坡的高处A点由静止开始滑下，滑到斜坡底端B点后沿水平的滑道再滑行一段距离到C点停下来。若某人和滑板的总质量m＝60.0 kg，滑板与斜坡滑道和水平滑道的动摩擦因数均为μ＝0.50，斜坡AB的长度l＝36 m。斜坡的倾角θ＝37°(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，斜坡与水平滑道间是平滑连接的，整个运动过程中空气阻力忽略不计，重力加速度g取10 m/s2。

图1

(1)人从斜坡顶端滑到底端的时间为多少？ (2)人滑到水平面上后还能滑行多远？ 思路点拨

解析 (1)人在斜坡上下滑时，受力如图所示。设人沿斜坡下滑的加速度为a，

由牛顿第二定律得mgsin θ－Ff＝ma 又Ff＝μFN

垂直于斜坡方向有FN－mgcos θ＝0 解得a＝2.0 m/s2

1

由l＝2at2，解得t＝6.0 s。

(2)设人滑到水平面时的速度为v，则有v＝at 解得v＝12 m/s

在水平面上滑行时，设加速度为a′，根据牛顿第二定律，有μmg＝ma′，解得a′＝5.0 m/s2

设还能滑行的距离为x，则v2＝2a′x 解得x＝14.4 m。 答案 (1)6.0 s (2)14.4 m 规律总结

求解此类问题的思路是根据物体的受力情况，由牛顿第二定律求出物体运动的加速度，然后根据运动学公式求物体运动的时间、位移、速度等等。

[针对训练1] (多选)如图2所示表示某小球所受的合力与时间的关系，各段的合力大小相同，作用时间相同，设小球从静止开始运动，由此可判定 ( )

图2

A.小球向前运动，再返回停止 B.小球向前运动，再返回不会停止 C.小球始终向前运动 D.小球在4 s末速度为0

解析 由牛顿第二定律可知：在0～1 s，小球向前做匀加速直线运动，1 s末速度最大，在1～2 s，小球以大小相等的加速度向前做匀减速直线运动，2 s末速度为零；依此类推，可知选项C、D正确，A、B错误。 答案 CD

根据运动情况确定受力情况

[要点归纳] 1.问题界定

已知物体运动情况确定受力情况，指的是在运动情况(如物体的运动性质、速度、加速度或位移)已知的条件下，要求得出物体所受的力。 2.解题思路

3.解题步骤

(1)确定研究对象，对研究对象进行受力分析和运动过程分析，并画出受力图和运动草图。

(2)选择合适的运动学公式，求出物体的加速度。 (3)根据牛顿第二定律列方程，求物体所受的合外力。 (4)根据力的合成与分解的方法，由合力求出所需的力。 [精典示例]

[例2] 一辆汽车在恒定牵引力作用下由静止开始沿直线运动，4 s内通过8 m的距离，此后关闭发动机，汽车又运动了2 s停止，已知汽车的质量m＝2×103 kg，汽车运动过程中所受的阻力大小不变，求： (1)关闭发动机时汽车的速度大小； (2)汽车运动过程中所受到的阻力大小； (3)汽车牵引力的大小。 思路点拨

解析 (1)汽车开始做匀加速直线运动，则 v0＋02x0

x0＝2t1，解得v0＝t＝4 m/s。

1

0－v0

(2)汽车滑行减速过程中加速度a2＝t＝－2 m/s2

2

由牛顿第二定律得－Ff＝ma2，解得Ff＝4×103 N。 1

(3)开始加速过程中加速度为a2，则x0＝2a2t21 由牛顿第二定律得F－Ff＝ma2 解得F＝Ff＋ma2＝6×103 N。

答案 (1)4 m/s (2)4×103 N (3)6×103 N 规律总结

由运动情况确定受力应注意的两点问题

(1)由运动学规律求加速度，要特别注意加速度的方向，从而确定合力的方向，不能将速度的方向和加速度的方向混淆。

(2)题目中所求的力可能是合力，也可能是某一特定的力，均要先求出合力的大小、方向，再根据力的合成与分解求分力。

[针对训练2] 如图3所示为何雯娜在蹦床比赛中。已知何雯娜的体重为49 kg，设她从3.2 m高处自由下落后与蹦床的作用时间为1.2 s，离开蹦床后上升的高度为5 m，试求她对蹦床的平均作用力。(g取10 m/s2)

图3

解析 她从3.2 m高处下落到与蹦床接触前的过程做自由落体运动，由运动学公式v2＝2gx得，她接触蹦床时的速度大小 v1＝2gx1＝8 m/s

她离开蹦床时的速度大小v2＝2gx2＝10 m/s

取竖直向上为正方向，则由运动学公式有v2＝－v1＋at 得她的加速度大小为a＝15 m/s2，方向竖直向上。

她与蹦床接触的过程中受重力mg和蹦床对她的平均作用力F，由牛顿第二定律有F－mg＝ma

解得蹦床对她的平均作用力大小F＝1 225 N，方向竖直向上。 由牛顿第三定律得她对蹦床的作用力大小 F′＝F＝1 225 N，方向竖直向下。 答案 1 225 N 方向竖直向下

1.假设汽车突然紧急制动后所受到的阻力的大小与汽车所受的重力的大小差不

多，当汽车以20 m/s的速度行驶时突然制动，它还能继续滑动的距离约为 ( ) A.40 m C.10 m

B.20 m D.5 m

v2Ffmg20222

解析 a＝m＝m＝g＝10 m/s，由v＝2ax得x＝2a＝ m＝20 m，B正确。

2×10答案 B

2.某气枪子弹的出口速度达100 m/s，若气枪的枪膛长0.5 m，子弹的质量为20 g，若把子弹在枪膛内的运动看做匀变速直线运动，则高压气体对子弹的平均作用力为( ) A.1×102 N C.2×105 N

2

B.2×102 N D.2×104 N

v21002解析 根据v＝2ax，得a＝2x＝ m/s2＝1×104 m/s2，从而得高压气体对

2×0.5子弹的作用力F＝ma＝20×10－3×1×104 N＝2×102 N。选项B正确。 答案 B

3.一个滑雪运动员从静止开始沿山坡滑下，山坡的倾角θ＝37°，如图4所示，滑雪板与雪地间的动摩擦因数是0.04，求5 s内滑下来的路程和5 s末的速度大小。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

图4

解析 以滑雪运动员为研究对象，受力情况如图所示。研究对象的运动状态为：垂直于山坡方向，处于平衡状态；沿山坡方向，做匀加速直线运动。

将重力mg分解为垂直于山坡方向和沿山坡方向，据牛顿第二定律列方程： FN－mgcos θ＝0① mgsin θ－Ff＝ma② 又因为Ff＝μFN③

由①②③可得：a＝g(sin θ－μcos θ)。 11

故x＝2at2＝2g(sin θ－μcos θ)t2＝71 m v＝at＝28.4 m/s 答案 71 m 28.4 m/s

4. “歼十”战机装备我军后，在各项军事演习中表现优异，引起了世界的广泛关注。如图5所示，一架质量m＝5.0×103 kg的“歼十”战机，从静止开始在机场的跑道上滑行，经过距离x＝5.0×102 m，达到起飞速度v＝60 m/s。在这个过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍。求飞机滑行时受到的牵引力多大？(g取10 m/s2)

图5

解析 滑行过程，飞机受重力G、支持力FN、牵引力F、阻力Ff四个力作用，在水平方向上，由牛顿第二定律得： F－Ff＝ma Ff＝0.02mg

飞机匀加速滑行v2－0＝2ax 解得a＝3.6 m/s2 F＝1.9×104 N。 答案 1.9×104 N

1.两类动力学问题

2.掌握解决动力学两类基本问题的思路方法

其中受力分析和运动过程分析是基础，牛顿第二定律和运动学公式是工具，加速度是连接力和运动的桥梁。

基础过关

1.一个物体在水平恒力F的作用下，由静止开始在一个粗糙的水平面上运动，经过时间t速度变为v。如果要使物体的速度变为2v，下列方法正确的是 ( ) A.将水平恒力增加到2F，其他条件不变 B.将物体的质量减小一半，其他条件不变

C.物体的质量不变，水平恒力和作用时间都增加到原来的2倍 D.将时间增加到原来的2倍，其他条件不变

F

解析 由牛顿第二定律得F－μmg＝ma，所以a＝m－μg，对比A、B、C三项，均不能满足要求，故均错。由v＝at得2v＝a·2t，所以D项正确。 答案 D

2.在交通事故的分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动时留下的滑动痕迹。在某次交通事故中，汽车的刹车线长度是14 m，假设汽车轮胎与地面间的动摩擦因数恒为0.7，g取10 m/s2，则汽车刹车前的速度为 ( ) A.7 m/s C.10 m/s

B.14 m/s D.20 m/s

解析 设汽车刹车后滑动的加速度大小为a，由牛顿第二定律得μmg＝ma，解得

2a＝μg。由匀变速直线运动的速度—位移关系式v0＝2ax，可得汽车刹车前的速度

为v0＝2ax＝2μgx＝2×0.7×10×14 m/s＝14 m/s，因此B正确。 答案 B

3.(多选)如图1所示，总质量为460 kg 的热气球，从地面刚开始竖直上升时的加

速度为0.5 m/s2，当热气球上升到180 m时，以5 m/s的速度向上匀速运动。若离开地面后热气球所受浮力保持不变，上升过程中热气球总质量不变，重力加速度g＝10 m/s2。关于热气球，下列说法正确的是 ( )

图1

A.所受浮力大小为4 830 N

B.加速上升过程中所受空气阻力保持不变 C.从地面开始上升10 s后的速度大小为5 m/s D.以5 m/s匀速上升时所受空气阻力大小为230 N

解析 热气球从地面刚开始竖直上升时v＝0，空气阻力Ff＝0。由F浮－mg＝ma，得F浮＝m(g＋a)＝4 830 N，故A正确；最终气球匀速上升，说明气球加速运动的过程中空气阻力逐渐增大，故B错误；气球做加速度减小的加速运动，故加速到5 m/s的时间大于10 s，C错误；匀速上升时F浮－mg－Ff′＝0，计算得Ff′＝230 N，D正确。 答案 AD

4.行车过程中，如果车距不够，刹车不及时，汽车将发生碰撞，车里的人可能受到伤害，为了尽可能地减轻碰撞所引起的伤害，人们设计了安全带。假定乘客质量为70 kg，汽车车速为90 km/h，从踩下刹车闸到车完全停止需要的时间为5 s，安全带对乘客的平均作用力大小约为(不计人与座椅间的摩擦) ( ) A.450 N C.350 N v0

＝t＝5 m/s2。

对乘客应用牛顿第二定律可得：F＝ma＝70× 5 N＝350 N，所以C正确。 答案 C

B.400 N D.300 N

解析 汽车的速度v0＝90 km/h＝25 m/s，设汽车匀减速的加速度大小为a，则a

5.如图2所示，质量为m＝3 kg的木块放在倾角为θ＝30°的足够长斜面上，木块可以沿斜面匀速下滑。若用沿斜面向上的力F作用于木块上，使其由静止开始沿斜面向上加速运动，经过t＝2 s时间木块沿斜面上升4 m的距离，则推力F为(g取10 m/s2) ( )

图2

A.42 N C.21 N

B.6 N D.36 N

解析 因木块能沿斜面匀速下滑，由平衡条件知：mgsin θ＝μmgcos θ，所以μ＝1

tan θ；当在推力F作用下加速上滑时，由运动学公式x＝2at2所以a＝2 m/s2，由牛顿第二定律得：F－mgsin θ－μmgcos θ＝ma，得F＝36 N；故选项D正确。 答案 D

6.滑冰车是儿童喜欢的冰上娱乐项目之一。如图3所示为小明妈妈正与小明在冰上游戏，小明与冰车的总质量是40 kg，冰车与冰面之间的动摩擦因数为0.05，在某次游戏中，假设小明妈妈对冰车施加了40 N的水平推力，使冰车从静止开始运动10 s后，停止施加力的作用，使冰车自由滑行。(假设运动过程中冰车始终沿直线运动，小明始终没有施加力的作用)。求：

图3

(1)冰车的最大速率；

(2)冰车在整个运动过程中滑行总位移的大小。 解析 (1)以冰车及小明为研究对象，由牛顿第二定律得 F－μmg＝ma1① vm＝a1t②

由①②得vm＝5 m/s。

1

(2)冰车匀加速运动过程中有x1＝2a1t2③ 冰车自由滑行时有μmg＝ma2④ v2m＝2a2x2⑤ 又x＝x1＋x2⑥

由③④⑤⑥得x＝50 m。 答案 (1)5 m/s (2)50 m

7.在科技创新活动中，小华同学根据磁铁同性相斥原理设计了用机器人操作的磁力运输车(如图4甲所示)。在光滑水平面AB上(如图乙所示)，机器人用大小不变的电磁力F推动质量为m＝1 kg的小滑块从A点由静止开始做匀加速直线运动。小滑块到达B点时机器人撤去电磁力F，小滑块冲上光滑斜面(设经过B点前后速率不变)，最高能到达C点。

图4

机器人用速度传感器测量小滑块在ABC过程的瞬时速度大小并记录如下。求：

t/s v/(m·s－1) 0 0 0.2 0.4 0.4 0.8 … … 2.2 3.0 2.4 2.0 2.6 1.0 … … (1)机器人对小滑块作用力F的大小； (2)斜面的倾角α的大小。

Δv1

解析 (1)小滑块从A到B过程中：a1＝Δt＝2 m/s2

1

由牛顿第二定律得：F＝ma1＝2 N。 (2)小滑块从B到C过程中加速度大小： Δv2

a2＝Δt＝5 m/s2

2

由牛顿第二定律得：mgsin α＝ma2 则α＝30°。

答案 (1)2 N (2)30°

能力提升

8.一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图5所示。在A点，物体开始与弹簧接触，到B点时，物体速度为零，然后被弹回。则下列说法中正确的是( )

图5

A.物体在A点的速率最大

B.物体由A点到B点做的是匀减速运动 C.物体在B点时所受合力为零

D.物体从A下降到B，以及从B上升到A的过程中，速率都是先增大后减小 解析 物体在A点时只受重力，仍向下加速，故A错误；从A点向下运动到B点过程中，弹簧弹力增大，合力方向先是向下，逐渐减小，后又变为向上，逐渐增大，所以物体先加速后减速，故B错误；物体能从B点被弹回，说明物体在B点受到的合力不为零，故C错误；从B上升到A过程中，合力先向上后向下，方向与运动方向先相同后相反，也是先加速后减速，D正确。 答案 D

9.用相同材料做成的A、B两木块的质量之比为3∶2，初速度之比为2∶3，它们在同一粗糙水平面上同时开始沿直线滑行，直至停止，则它们( ) A.滑行中的加速度之比为2∶3 B.滑行的时间之比为1∶1 C.滑行的距离之比为4∶9 D.滑行的距离之比为3∶2

解析 根据牛顿第二定律可得μmg＝ma，所以滑行中的加速度为：a＝μg，所以Δv1

Δvt1a2

加速度之比为1∶1，A错误；根据公式t＝a，可得t＝Δv＝3，B错误；根据

22

a

2v1

x12a4

公式v2＝2ax可得x＝v2＝9，C正确，D错误。

22

2a

答案 C

10.一间新房要盖屋顶，为了使下落的雨滴能够以最短的时间淌离屋顶，则所盖屋顶的顶角应为(设雨滴沿屋顶下淌时，可看成在光滑的斜坡上下滑)( )

图6

A.60° C.120°

B.90° D.150°

解析 由题意知，雨滴沿屋顶的运动过程中受重力和支持力作用，设其运动的加速度为a，屋顶的顶角为2α，则由牛顿第二定律得a＝gcos α。又因屋檐的前后b1

间距已定，设为2b，则雨滴下滑经过的屋顶面长度x＝sin α，由x＝2at2 得t＝

4b

时，对应的时间t最小，所以屋顶的顶角应取90°，选项

gsin 2α，则当α＝45°B正确。 答案 B

11.民用航空客机的机舱除通常的舱门外还设有紧急出口，发生意外情况的飞机着陆后，打开紧急出口的舱门，会自动生成一个由气囊组成的斜面，机舱中的乘客就可以沿斜面迅速滑行到地面上来。若某型号的客机紧急出口离地面高度为4.0 m，构成斜面的气囊长度为5.0 m。要求紧急疏散时，乘客从气囊上由静止下滑到达地面的时间不超过2.0 s(g取10 m/s2)，则： (1)乘客在气囊上下滑的加速度至少为多大？ (2)气囊和下滑乘客间的动摩擦因数不得超过多少？ 解析 (1)由题意可知，h＝4.0 m， L＝5.0 m，t＝2.0 s。

h

设斜面倾角为θ，则sin θ＝L。

12L

乘客沿气囊下滑过程中，由L＝2at2得a＝t2，代入数据得a＝2.5 m/s2。 (2)在乘客下滑过程中，对乘客受力分析如图所示，沿x轴方向有

mgsin θ－Ff＝ma，

沿y轴方向有FN－mgcos θ＝0， 又Ff＝μFN，联立方程解得 gsin θ－a

μ＝gcos θ≈0.92。 答案 (1)2.5 m/s2 (2)0.92

12.如图7所示为四旋翼无人机，它是一种能够垂直起降的小型遥控飞行器，目前得到越来越广泛的应用。一架质量m＝2 kg的无人机，其动力系统所能提供的最大升力F＝36 N，运动过程中所受空气阻力大小恒为f＝4 N。g取10 m/s2。

图7

(1)无人机在地面上从静止开始，以最大升力竖直向上起飞。求在t＝5 s时离地面的高度h；

(2)当无人机悬停在距离地面高度H＝100 m处，由于动力设备故障，无人机突然失去升力而坠落。求无人机坠落地面时的速度v。

解析 (1)设无人机上升时加速度为a，由牛顿第二定律，有 F－mg－f＝ma 解得a＝6 m/s2

1

由h＝2at2，解得h＝75 m

(2)设无人机坠落过程中加速度为a1，由牛顿第二定律，有 mg－f＝ma1 解得a1＝8 m/s2

由v2＝2a1H，解得v＝40 m/s 答案 (1)75 m (2)40 m/s