第5讲空间中的垂直关系

【2013年高考会这样考】

1．以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合． 2．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力．

3．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题．

【复习指导】

1．垂直是立体几何的必考知识点，且几乎每年都有一道解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点．纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力．

2．要重视和研究数学思想、数学方法．在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口．

基础梳理

1．两条直线互相垂直

定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．

2．直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的定义

如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直．

(2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法

②利用直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

(3)直线与平面垂直的性质

①垂直于同一个平面的两条直线平行．

②直线垂直平面，则垂直平面内的任意一条直线． ③垂直同一直线的两平面平行． 3．直线和平面所成的角

(1)直线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线与平面所成的角

π

(2)范围：[0，]

2

4．二面角的概念

(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角

(3)范围：[0，π] 5．两个平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法

②判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． (2)性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直

于另一个平面．

一个关系

垂直问题的转化关系

线线垂直面面垂直线面垂直

性质性质

三类证法

(1)证明线线垂直的方法

①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法；

③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； ④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. (2)证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

l⊥m，l⊥n}⇒l⊥α； ②判定定理1： m、n⊂α，m∩n＝A

③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

(3)证明面面垂直的方法

①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

双基自测

1．(人教B版教材习题改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是( )．

A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内无数条直线垂直 C．l与平面α内的某一条直线垂直 D．l与平面α内任意一条直线垂直

解析 由直线与平面垂直的定义，可知D正确． 答案 D 2．(2012·安庆月考)在空间中，下列命题正确的是( )． A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行

解析 选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确．

答案 D 3．(2012·兰州模拟)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( )．

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

解析 由公理4知①是真命题．在空间内a⊥b，b⊥c，直线a、c的关系不确定，故②是假命题．

由a∥γ，b∥γ，不能判定a、b的关系，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定

判定

判定

理．

答案 C 4．(2011·聊城模拟)设a、b、c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )．

α∥β}⇒c⊥β A. c⊥α

c是a在β内的射影}⇒b⊥c B. b⊂β，a⊥b

b⊂αc⊄α}⇒c∥α C. b∥c

b⊥a}⇒b⊥α D. a∥α

解析 由a∥α，b⊥α可得b与α的位置关系有：b∥α，b⊂α，b与α相交，所以D不正确．

答案 D

5．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________． 解析 由线面垂直知，图中直角三角形为4个． 答案 4

考向一 直线与平面垂直的判定与性质

【例1】►(2011·天津改编)如图，

在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD.

证明：AD⊥平面PAC.

[审题视点] 只需证AD⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可． 证明 ∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1. ∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC，

又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O， ∴AD⊥平面PAC.

(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．

(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直． 【训练1】 如图，

已知BD⊥平面ABC，

1

MC綉BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．

2

求证：CN⊥AD.

证明 ∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN. 又∵AC＝BC，N是AB的中点． ∴CN⊥AB.

又∵BD∩AB＝B， ∴CN⊥平面ABD. 而AD⊂平面ABD， ∴CN⊥AD.

考向二 平面与平面垂直的判定与性质

【例2】►如图

所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD.

[审题视点] 证明BD⊥平面PAD，根据已知平面PAD⊥平面ABCD，只要证明BD⊥AD即可．

证明 在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，AB＝45， 所以AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD.

又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD.

面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平

行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．

【训练2】 如图所示，

在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点． 证明：平面ABM⊥平面A1B1M.

证明 ∵A1B1⊥平面B1C1CB，BM⊂平面B1C1CB，∴A1B1⊥BM，

由已知易得B1M＝2，

又BM＝BC＋CM＝2，B1B＝2， ∴B1M2＋BM2＝B1B2，∴B1M⊥BM.

又∵A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M.

而BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M.

考向三 平行与垂直关系的综合应用

【例3】►如图，

2

2

在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.

[审题视点] 第(1)问需证明EF∥AD；第(2)问需证明BD⊥平面EFC. 证明 (1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点， 所以EF∥AD.

又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD， 所以直线EF∥平面ACD. (2)在△ABD中，

因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.

在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点， 所以CF⊥BD.

因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC， EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.

又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.

解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重

要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．

【训练3】 如图，

正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE.

证明 (1)设AC与BD交于点G.

1

因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1.

2

所以四边形AGEF为平行四边形，

所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)如图，连接FG.

因为EF∥CG，EF＝CG＝1， 且CE＝1，

所以四边形CEFG为菱形． 所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC. 又因为平面ACEF⊥平面ABCD， 且平面ACEF∩平面ABCD＝AC， 所以BD⊥平面ACEF. 所以CF⊥BD. 又BD∩EG＝G.

所以CF⊥平面BDE.

考向四 线面角

【例4】►(2012·无锡模拟)

如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． (1)求证：平面AEC⊥平面PDB；

(2)当PD＝2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

[审题视点] (1)转化为证明AC⊥平面PDB；(2)AE与平面PDB所成的角即为AE与它在平面PDB上的射影所成的角．

(1)证明

∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，

∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC， ∴平面AEC⊥平面PDB.

(2)解 设AC∩BD＝O，连接OE. 由(1)知，AC⊥平面PDB于点O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．

1

∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝PD.

2

又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.

12

在Rt△AOE中，OE＝PD＝AB＝AO，∴∠AEO＝45°.

22

即AE与平面PDB所成的角为45°.

求直线与平面所成的角，一般分为两大步：

(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； (2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． 【训练4】 (2012·丽水质检)

如图，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

(1)证明：PQ∥平面ACD；

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．

(1)证明 因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.

又DC∥EB，因此PQ∥DC，PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，从而PQ∥平面ACD. (2)解 如图，连接CQ，DP.

因为Q为AB的中点，且AC＝BC， 所以CQ⊥AB.

因为DC⊥平面ABC，EB∥DC， 所以EB⊥平面ABC.

因此CQ⊥EB，又AB∩EB＝B， 故CQ⊥平面ABE.

1

由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，

2

所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，

因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，

5

在Rt△DPA中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝.

5

5

因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.

5

阅卷报告11——证明过程推理不严密而丢分

【问题诊断】 高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题，难度为中低档题，大

多数考生会做而得不到全分，往往因为推理不严密，跳步作答所致．

【防范措施】 解题过程要表达准确、格式要符合要求．每步推理要有根有据．计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点．引入数据要明确、要写明已知、设等字样．要养成良好的书写习惯．

【示例】►(2011·江苏)如图，

在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.

错因 在运用判定定理时漏掉关键条件致使推理不严谨致误．实录 (1)在△PAD中，因为E，F分别为AP、AD的中点，所以EF∥PD，所以EF∥平面PCD.

(2)△ABD为正三角形， ∴BF⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD

∴BF⊥平面PAD，∴平面BEF⊥平面PAD. 正解

(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD. 又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD. (2)如图，连结BD.

因为AB＝AD，∠BAD＝60°， 所以△ABD为正三角形．

因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.

又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. 【试一试】 如图

所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD

2的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.

2

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.

[尝试解答] (1)连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，

又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， ∴EF∥平面PAD.

(2)∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， 又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

2AD， 2

∴△PAD是等腰直角三角形，

π

且∠APD＝，即PA⊥PD.

2

又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD.

又∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD. ∴CD⊥PA.又PA＝PD＝