【学习目标】
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
预 习 案
1.基础知识
(1)等比数列的定义:若数列{an}满足 ,则称数列{an}为等比数列.
(2)通项公式an= =am· . a11-qn(3)前n项和公式Sn=,成立的条件是 ,另一形式
1-q为 .
(4)M、N同号时它们的等比中项为 . 2.性质
(1)等比数列{an}中,m、n、p、q∈N*,若m+n=p+q,则am·an= . (2)等比数列{an}中,Sn为其前n项和,当n为偶数时,S偶=S奇· . (3)等比数列{an}中,公比为q,依次k项和为Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成(Sk≠0) 数列,新公比q′= .
3.常用技巧:(1)若{an}是等比数列,且an>0(n∈N*),则{logaan}(a>0且a≠1)成 数列,反之亦然.
(2)三个数成等比数列可设三数为 ,四个数成等比数列且公比大于0时,可设四个数为 .
【预习自测】
1.等比数列( )
x,3x+3,6x+6,…的第四项等于
A.-24 B.0 C.12 D.24
2.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么 ( )
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A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
3.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=60,则a7+a8=________.
4.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )
1111A.3 B.-3 C.9 D.-9
5.在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列,则这三个数分别是________.
探 究 案
题型一:等比数列的基本量
例1.{an}为等比数列,求下列各值.
1
(1)已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=2,求n;
(2)已知a2·a8=36,a3+a7=15,求公比q;
(3)已知q=-2,S8=15(1-2),求a1.
拓展1.(1)设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1, a5=16,则数列{an}前7项
的和为( ) A.63 B. C.127 D.128
11
(2)在等比数列{an}中,a3=12,S3=42,求a1和q.
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题型二:等比数列的性质
1
例2.(1)若等比数列{an}满足a2a4=2,则a1a23a5=________.
(2)在等比数列{an}中,若a3=4,a9=1,则a6=________,若a3=4,a11=1,则a7=________.
(3)已知数列{an}是等比数列,且Sm=10,S2m=30,则S3m=________(m∈
N*).
拓展2.(1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10
=( ) A.4 B.5 C.6 D.7
(2)已知等比数列{an},a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,则an=________.
题型三:等比数列的判定与论证
例3.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*).
(1)设bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列; an(2)设cn=,求证:{cn}是等比数列.
3n-1
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拓展3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的n∈N*有an+Sn=n. (1)设bn=an-1,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)设c1=a1且cn=an-an-1(n≥2),求{cn}的通项公式.
课堂练习1.等比数列{an}中,公比q=2,S4=1,则S8的值为 ( )
A. 15 B.1 C.19 D.21
2.在等比数列{an}中,Sn表示前n项和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比
q等于 A.3 B.-3 C.-1 D.1 ( )
3.数列{an}的前n项和为Sn=4n+b(b是常数,n∈N*),若这个数列是等比数列,则b等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.4
4.若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=________;前n
项和Sn=________.
5.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=________.
6.一正数等比数列前11项的几何平均数为32,从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32,那么抽去的这一项是第________项.
我的学习总结: (1)我对知识的总结 . (2)我对数学思想及方法的总结
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