异面直线所成角的求法

内蒙古杭锦后旗奋斗中学 刘 宇

例：长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。

选题意图，通过该题，让学生进一步理解异面直线所成角的概念，熟练掌握异面直线所成角的求法。

分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。

解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=34，BC1=5，BE=∴∠BOE=arccos734 17035734，∴cos∠BOE= 2170解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。则OF=

73734，，cos∠OEF=2170∴异面直线B1D与BC1所成的角为arccos734。 170解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行

1

四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中DF=DOF=734734，∴∠DOF=arccos。 17017035，cos∠2解法四：如图④，过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。 则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=35，

cos∠DB1E=

734 170734。 170∴∠DB1E=arccos解法五：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，

cos∠C1BE=734734，∴∠C1BE=arccos。 170170分析：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。

解法六：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，cos∠C1BD2=－734， 170 2

∴异面直线DB1与BC1所成的角是arccos734。 170解法七：如图⑦，连结DB、DC1，设异面直线DB1与BC1所成的角为

，cosDB1BC1DB1BC1，而DB1BC1=DB1(BB1B1C1)=DB1BB1+DB1BC11

=DB1BB1cos〈DB1，BB1〉+DB1B1C1cos〈DB1，B1C1〉 ∵ BB1∥DD1

∴ 〈DB1，BB1〉=〈DD1，DB1〉=∠D1DB1

cos∠D1DB1=4 34〈DB1，B1C1〉=180°－∠DB1C1 ∵cos∠DB1C1=3 343 34∴cos〈DB1，B1C1〉=－cos∠DB1C1=－DB1BC1=7

∴ cos=734734，arccos

170170解法八：如图⑧，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3，3，0），B1（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）。

设DB1和BC1的夹角为， 则cosDB1BC1DB1BC1=

734 170734。 170∴异面直线DB1与BC1所成的角为arccos 3

总之，异面直线所成的角是立体几何中的重要概念，也是我们学习的第一个空间角，它的求法体现了立体几何将空间图形问题化归为平面图形问题的基本思想，应认真理解和把握以下几点：

1、正确理解概念

（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O是任意选取的，异面直线a和b所成角的大小，与点O的位置无关。

（2）异面直线所成角的取值范围是（0°，90 2、熟练掌握求法

（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。

（2）求异面直线所成角的步骤：

①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。

②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角的范围是0°＜≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。

3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

4、利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。

4

异面直线所成角的求法

内蒙古杭锦后旗奋斗中学 刘 宇

2007年3月