054直线与抛物线的位置关系(复习设计)(师)

考点要求：

1、熟练掌握直线与抛物线的位置关系。 2、会求弦长和与弦长有关的数学问题。 知识结构：

1、直线与抛物线的位置关系

ykxb设直线l:ykxb,抛物线y2px(p0),直线与抛物线的交点的个数等价于方程组2解的个数,也

y2px2等价于方程kx2px2bp0解的个数 ① 当k0时,

当0时,直线和抛物线相交,有两个公共点; 当0时,直线和抛物线相切,有一个公共点; 当0时,直线和抛物线相离,无公共点

2② 若k0,则直线yb与抛物线y2px(p0)相交,有一个公共点,特别地,当直线的斜率不存在时,设xm,则当m0, l与抛物线相交,有两个公共点;当m0时,与抛物线相切,有一个公共点,当m0时,与抛物线相离,无公共点.

22．与焦点弦有关的常用结论．(以下图为依据)

p2

(1)y1y2＝－p，x1x2＝. 4

2

2p

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2(θ为AB的倾斜角)．

sinθp2

(3)S△AOB＝(θ为AB倾斜角)．

2sin θ112(4)＋为定值. |AF||BF|p

(5)以AB为直径的圆与准线相切． (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (7)∠CFD＝90°. 3.弦长公式：

一条斜率存在的直线如果和二次曲线有两个实交点，两个方程联立消去y之后，是一个关于x的二次方程，他一

定有两个不相等的实数根，两个交点(x1,y1)和(x2,y2)当然是满足直线方程的，所以

基础自测：

1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于

( B )

D．16

A．43

B．8 C．83

→→

2．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标为( B )

A．(2，±2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2，2)

1

3．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( C )

A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定

4．已知抛物线方程为y2＝2px (p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么∠MFN必是( B )

A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上皆有可能

2

5．已知A、B是抛物线x＝4y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则|AB|＝________.

解析 由题意可设AB的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立得x2－4kx－4m＝0，线段AB中点坐标为(2,2)，x1

＋x2＝4k＝4，得k＝1.

又∵y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝4，

∴m＝0.从而直线AB：y＝x，|AB|＝2|OM|＝42. 例题选讲：

1.直线与抛物线的位置关系

例1：已知抛物线方程为y4x,直线l过定点P(2,1),斜率为k,当k何值时,直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.

略解：

（1）当k= -1或k=（2）当-121或k=0时，直线与抛物线只有一个公共点； 21,且k0时，直线与抛物线有两个公共点； 21（3）当k<-1或k>时，直线与抛物线没有公共点。

22.焦点弦问题

例2：已知AB是过抛物线y2px(p0)的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),求证： (1) y1y2＝－p2, x1x2p2

＝； 4

pp

，0，设直线方程为y＝kx－ (k≠0)， 证明 (1)∵y2＝2px (p>0)的焦点F22py＝kx－2，消去x，得ky2－2py－kp2＝0. 由

y2＝2pxy1y22p2∴y1y2＝－p，x1x2＝＝，

4p24

pp2

当k不存在时，直线方程为x＝，这时x1x2＝.

24

2p

因此，x1x2＝恒成立．

4

112

（2）若F为抛物线焦点，则有＋＝．

|AF||BF|p

x1＋x2＋p1111

＋＝＋＝. |AF||BF|pppp2x1＋x＋xx＋x＋x＋

222122124p2112

又∵x1x2＝，代入上式得＋＝＝常数，

4|AF||BF|p11所以＋为定值．

|AF||BF|

2

2

（3）|AB|x1x2p（4）SABC

2p(为直线AB的倾斜角); 2sinp2； 2sin2

(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距离d＝12(|AA＋|BB11

1|1|)＝2(|AF|＋|BF|)＝2|AB|＝半径，故相切．

3.弦长问题：

例3：设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点． (1)设L的斜率为1，求|AB|的大小； (2)求证：OA→·OB→

是一个定值．

(1)解 ∵F(1,0)，∴直线L的方程为y＝x－1，

设A(x)，B(x，由y＝x－1，1，y12，y2)24x

得x2－6x＋1＝0，

y＝∴x1＋x2＝6，x1x2＝1. ∴|AB|＝x2－x12＋y2－y12 ＝2·x1＋x22－4x1x2 ＝2·36－4＝8.

(2)证明 设直线L的方程为x＝ky＋1，

由x＝ky＋1，

2x

得y2－4ky－4＝0. y＝4∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4， OA→＝(x→

1，y1)，OB＝(x2，y2)． ∵OA→·OB→＝x1x2＋y1y2 ＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2 ＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3. ∴OA→·OB→是一个定值．

学生练习：已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．

解 设直线和抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2

＝2px (p>0)，则y2

＝2px

，消去y得，



y＝2x＋1

4x2－(2p－4)x＋1＝0，∴xp－21

1＋x2＝2，x1x2＝4

，

∴|AB|＝1＋k2|xp－21－x2|＝5·x1＋x22－4x1x2＝5·2

2－4×1

4＝15，

则 p24

－p＝3，p2－4p－12＝0，解得p＝6(p＝－2舍去)，

抛物线方程为y2＝12x.

(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)，仿(1)不难求出p＝2， 此时抛物线方程为y2＝－4x.

综上可得，所求的抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.

3

探究提高 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1

＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 4.直线与抛物线的综合应用：

例4：（2010·福建)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

实录 (1)将点A(1，－2)代入y2＝2px，得p＝2，故所求抛物线C的方程为y2＝4x， 其准线方程为x＝－1.

错因 遗漏判别式的应用．(2)假设存在直线l，设l：y＝－2x＋t， 由直线OA与l的距离d＝得

|t|1

＝，解得t＝±1. 55

5

， 5

5

？若存5

故符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0. 正解 (1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1， 所以p＝2.

故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，

y＝－2x＋t，由2得y2＋2y－2t＝0. y＝4x，

因为直线l与抛物线C有公共点， 1所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.

2另一方面，由直线OA与l的距离d＝可得|t|1

＝，解得t＝±1. 55

5， 5

11

－，＋∞，1∈－，＋∞， 因为－1∉22所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0. 巩固作业：

1 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文10））设抛物线C:y4x的焦点为F，直线l过F且与C交于

2A，B两点。若

|AF|3|BF|，则l的方程为（ ）

（A）yx1或yx1 （B）y

33(x1)或y(x1) 334

（C）y3(x1)或y3(x1) （D）y【答案】C

22(x1)或y(x1) 22抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，

所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2。因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=

12，当x1=3时，y112，所以此时3123y11223，若y123，则A(3,23),B(,,此时kAB3,此时直线方程为y3(x1)。若)33123y123，则A(3,23B),(,,此)时kAB3,此时直线方程为y3(x1)。所以l的方程是

33y3(x1)或y3(x1)，选C.

x2y22． 若抛物线y2px的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p的值为(B )

632 A. 3

2B. 6 C.

3

4 3D. 23 3.抛物线yx上的点到直线4x3y80距离的最小值是

24.设O为坐标原点，F为抛物线y4x的焦点，A为抛物线上的一点，若OAAF4，则点A的坐标为2,22

5.若直线l过抛物线yax(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=

21 46.(2011江西)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

→→→

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．

分析： (1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A、B坐标，利用关系式表示出点C坐标，再利用点C在抛物线上求解．

p5px－，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝， 解 (1)直线AB的方程是y＝2224由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0， 从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42， 从而A(1，－22)，B(4,42)；

→

设OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，

2

又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.

5

小结：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结合思想和化归思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般是联立方程，设而不求，借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．

7.如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点， (1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

(2)若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos 2α为定值，并求此定值．

(1)解 由已知得2p＝8，∴p

2

＝2.

∴抛物线的焦点坐标为F(2,0)，准线方程为x＝－2. (2)证明 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

直线AB的斜率为k＝tan α，则直线方程为y＝k(x－2)．将此式代入y2

＝8x，得k2x2

－4(k2

＋2)x＋4k2

＝0，故xA设直线m与AB的交点为E(xE，yE)，

则xxA＋xB2(k2＋2)4

E＝2＝k2， yE＝k(xE－2)＝k

， 故直线m的方程为y－41k＝－kx－2k2

＋4k2.令y＝0，

得点P的横坐标为x2k2＋4

P＝k

2＋4，

故|FP|＝x4(k2＋1)4

P－2＝k2＝sin2α. ∴|FP|－|FP|cos 2α＝4sin2α(1－cos 2α)＝4·2sin2α

sin2α＝8.

∴|FP|－|FP|cos 2α为定值．

x4(k2＋2)B＝k2.

6

＋