2013届高考数学第一轮立体几何专项复习教案3.doc

1.2.4 平面与平面的位置关系 第1课时 两平面平行的判定及性质

【课时目标】 1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．

1．平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．

2．平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．

符号表示为：________________⇒a∥b． 3．面面平行的其他性质：

(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于

α∥β

⇒ ________________，即

a⊂α

________，可用来证明线面平行；

(2)夹在两个平行平面间的平行线段________； (3)平行于同一平面的两个平面________．

一、填空题

1．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a、b的位置关系是__________．

2．下列各命题中假命题有________个． ①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行；

③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；

④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β． 3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．

4．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的

是________．(填序号)

①α内有无数条直线平行于β；

②α内不共线三点到β的距离相等；

③l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β；

④l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．

5．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A、

23

与β相交于B，若AB＝3d，则直线a与α所成的角等于________．

6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．

7．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________(填序号)．

a∥ca∥γ

⇒a∥b； ①⇒a∥b； ②b∥cb∥γ

α∥cα∥γ

⇒α∥β； ④⇒α∥β； ③

β∥cβ∥γ

α∥cα∥γ

⇒α∥a; ⑥⇒a∥α． ⑤

a∥ca∥γ

8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．

9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．

二、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．

11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．

求证：N为AC的中点．

能力提升 12．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，

BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．

13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．

(1)求证平面MNG∥平面ACD； (2)求S△MNG∶S△ADC．

1．判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．

2．平面与平面平行主要有以下性质：(1)面面平行的性质定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．

1．2．4 平面与平面的位置关系 第1课时 两平面平行的判定及性质

答案

知识梳理

1．两条相交直线

a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β 2．那么所得的两条交线平行

α∥β

α∩γ＝a

β∩γ＝b

3．(1)另一个平面 a∥β (2)相等 (3)平行

作业设计

1．平行或异面 2．2 3．平行

解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．

4．④ 5．60° 6．4∶25

解析 面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，

易得△ABC∽△A′B′C′，

A′B′2PA′24

S△A′B′C′∶S△ABC＝(AB)＝(PA)＝25． 7．②③⑤⑥

解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．

24

8．24或5 解析 当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得

24

BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝5．

9．M∈线段FH

解析 ∵HN∥BD，HF∥DD1， HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D， ∴平面NHF∥平面B1BDD1，

故线段FH上任意点M与N连结， 有MN∥平面B1BDD1． 10．

证明 如图所示，连结SB，SD， ∵F、G分别是DC、SC的中点， ∴FG∥SD．

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， ∴直线FG∥平面BDD1B1． 同理可证EG∥平面BDD1B1， 又∵EG⊂平面EFG， FG⊂平面EFG， EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1．

11．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N， 平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM， 平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N， ∴C1N∥AM，又AC∥A1C1， ∴四边形ANC1M为平行四边形，

11

∴AN綊C1M＝2A1C1＝2AC， ∴N为AC的中点．

12．证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连结MN．

∵BB1⊥平面ABCD， ∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，

∴EM∥BB1，FN∥BB1， ∴EM∥FN，

∵AB1＝BC1，B1E＝C1F， ∴AE＝BF，

又∠B1AB＝∠C1BC＝45°， ∴Rt△AME≌Rt△BNF， ∴EM＝FN．

∴四边形MNFE是平行四边形， ∴EF∥MN．

又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD． 方法二

过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF， B1EB1GC1FB1G∴BA＝BB，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴CB＝BB，

1111∴FG∥B1C1∥BC．

又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B， ∴平面EFG∥平面ABCD．

又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD．

13．(1)证明 (1)连结BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．

∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，

BMBNBG

则有MP＝NF＝GH＝2，

且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点． 连结PF，FH，PH，有MN∥PF． 又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD， ∴MN∥平面ACD．

同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M， ∴平面MNG∥平面ACD．

MGBG2

(2)解 由(1)可知PH＝BH＝3，

2

∴MG＝3PH．

11

又PH＝2AD，∴MG＝3AD．

11

同理NG＝3AC，MN＝3CD．

∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3． ∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．

第2课时 两平面垂直的判定

【课时目标】 1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．

1．二面角：一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范围为________________．

2．平面与平面的垂直

①定义：如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．

②面面垂直的判定定理

文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这

l⊥α

⇒α⊥β． 两个平面互相垂直．符号表示：

 

一、填空题 1．下列命题：

①两个相交平面组成的图形叫做二面角；

②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；

④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中正确的是________(填序号)．

2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．

3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是________(填序号)．

①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β； ②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．

4．过两点与一个已知平面垂直的平面有________个． 5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角

3

线AC折起，使折起后BD＝2，则二面角B－AC－D的大小为________．

6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．

①BC∥面PDF; ②DF⊥面PAE；

③面PDF⊥面ABC; ④面PAE⊥面ABC．

7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．

8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．

9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．

二、解答题

10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．

求证：平面BEF⊥平面BGD．

11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．

(1)证明：平面PBE⊥平面PAB； (2)求二面角A—BE—P的大小．

能力提升

12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．

求证：(1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．

13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．

(1)求证：BC⊥ 平面PAC．

(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．

1．证明两个平面垂直的主要途径

(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．

(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．

3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．

第2课时 两平面垂直的判定 答案

知识梳理

1．两个半平面 这条直线 每个半平面 0°≤α≤180° 2．①直二面角 ②垂线 l⊂β 作业设计 1．②④

解析 ①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．

2．0

解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾． 3．①③

解析 ②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．

4．1或无数

解析 当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．

5．60° 解析

如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．

3

∵DO＝OB＝BD＝2， ∴∠BOD＝60°．

6．①②④ 解析

如图所示，∵BC∥DF， ∴BC∥平面PDF． ∴①正确．

由BC⊥PE，BC⊥AE， ∴BC⊥平面PAE． ∴DF⊥平面PAE． ∴②正确．

∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)． ∴④正确． 7．45°

解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．

8．5

解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，

又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，

∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角， ∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB， ∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA， ∴面PDC⊥面PDA．

9．①③④⇒②(或②③④⇒①)

10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点， ∴BG⊥AC，DG⊥AC， ∴AC⊥平面BGD．

又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．

∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．

11．(1)证明 如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．

因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．

又AB∥CD，所以BE⊥AB． 又因为PA⊥平面ABCD， BE⊂平面ABCD，

所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A， 因此BE⊥平面PAB． 又BE⊂平面PBE，

所以平面PBE⊥平面PAB．

(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB， 所以PB⊥BE．又AB⊥BE，

所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．

PA

在Rt△PAB中，tan∠PBA＝AB＝3， 则∠PBA＝60°．

故二面角A—BE—P的大小是60°．

12．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知 EF∥BC．

因为EF⊄平面ABC． BC⊂平面ABC．

所以EF∥平面ABC．

(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知 CC1⊥平面A1B1C1．

又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．

又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，

所以平面A1FD⊥平面BB1C1C． 13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC， ∴PA⊥BC． 又∠BCA＝90°，

∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC．

(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知， BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC．

又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，

∴DE⊥AE，DE⊥PE．

∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角． ∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°． ∴在棱PC上存在一点E， 使得AE⊥PC． 这时∠AEP＝90°，

故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．

第3课时 两平面垂直的性质

【课时目标】 1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．

3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．

1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．

用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________． 2．两个重要结论：

(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________．

图形表示为：

符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．

(2)已知平面α⊥平面β，a⊄α，a⊥β，那么__________(a与α的位置关系)．

一、填空题

1．平面α⊥平面β，a⊂α，b⊂β，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．

2．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；

③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α． 其中正确的命题是________(填序号)．

3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．

4．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．

①a与b可能垂直，但不可能平行； ②a与b可能垂直，也可能平行； ③a与b不可能垂直，但可能平行； ④a与b不可能垂直，也不可能平行．

5．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．

其中结论正确的是________(填序号)． 6．

如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β

ππ

所成的角分别为4和6．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′＝________．

7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)

①过P垂直于l的平面垂直于β； ②过P垂直于l的直线垂直于β； ③过P垂直于α的直线平行于β； ④过P垂直于β的直线在α内．

8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为

________ cm．

9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．

二、解答题

10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．

求证：BC⊥AB．

11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB．

能力提升

12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．

13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．

(1)设M是PC上的一点，

求证：平面MBD⊥平面PAD； (2)求P点到平面ABCD的距离．

1．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线，这样，就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．

2．无论从判定还是从性质来看，线线垂直、线面垂直和面面垂直都是密切相关的，面对复杂的空间图形，要善于发现它们之间的内在联系，找出解决问题的切入点，垂直关系的转化为：

知识梳理

1．垂直 交线 a⊥β

2．(1)第一个平面内 a⊂α (2)a∥α 作业设计 1．a⊥β 2．②④ 3．0

解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾． 4．③ 5．①②③ 6．2∶1

第3课时 两平面垂直的性质 答案

解析 如图：

由已知得AA′⊥面β，

π

∠ABA′＝6，

π

BB′⊥面α，∠BAB′＝4，

32

设AB＝a，则BA′＝2a，BB′＝2a，

1AB2

在Rt△BA′B′中，A′B′＝2a，∴＝1．

A′B′

7．①③④

解析 由性质定理知②错误． 8．7

解析 P到O的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．

9．直线AB上

解析 由AC⊥BC1，AC⊥AB，

得AC⊥面ABC1，又AC⊂面ABC， ∴面ABC1⊥面ABC．

∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上． 10．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D． ∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB． ∴AD⊥平面PBC．

又BC⊂平面PBC， ∴AD⊥BC．

又∵PA⊥平面ABC， BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB． 又AB⊂平面PAB， ∴BC⊥AB． 11．证明

(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，

∴PG⊥AD．

又平面PAD⊥平面ABCD， ∴PG⊥平面ABCD， ∴PG⊥BG．

又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴BG⊥AD．

又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD． (2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD． 所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB． 12．

证明 设AC∩BD＝O， 连结EO，

则EO∥PC．∵PC＝CD＝a， PD＝2a，

∴PC2＋CD2＝PD2， ∴PC⊥CD．

∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线， ∴PC⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD． 又EO⊂平面EDB，

∴平面EDB⊥平面ABCD． 13．(1)证明 在△ABD中， ∵AD＝4，BD＝8，AB＝45， ∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD． 又∵面PAD⊥面ABCD， 面PAD∩面ABCD＝AD， BD⊂面ABCD，

∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM， ∴面MBD⊥面PAD． (2)解

过P作PO⊥AD，

∵面PAD⊥面ABCD， ∴PO⊥面ABCD，

即PO为四棱锥P—ABCD的高．

又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23． ∴P点到平面ABCD的距离为23．