高中数学第四章定积分43定积分的简单应用432简单几何体的体积北师大版2-2.

一、教学目标

1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。 二、 学法指导

本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。 三、教学重难点：

重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题； 难点；数学模型的建立及被积函数的确定。 四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程

（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析

问题：函数yfx，xa,b的图像绕x轴旋转一周，所得到的几何体的体积

V 。 V[f(x)]2dx

ab典例分析

例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。求它的体积。 Y 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近） 学生阅读课本P页分析，教师引导。 解：圆锥体的体积为 O 1 X xi Y O X Vx2dx013x3103

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变式练习1、求曲线yex，直线x0， x旋转体的体积。 答案：

1与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得22(e1)；

例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。

分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的。

解：将其轴载面按下图位置放

置，并建立如图的坐标系。则A(12,0)， B(4,4)，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：

y22px，代入B(4,4)求得：p2

∴抛物线方程为：y24x（y0）

xqy12，q2 设直线AB的方程为：代入B(4,4)求得：

∴直线AB的方程为：y∴

所

求

“

冰

121x6 2凌

”

的

体

积

为

：

激

(2x)2dx(x6)2dx44012224(cm)3 3变式练习2

如图一，是火力发电厂烟囱示意图。它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体。烟囱最细处的直径为10m，最下端的直径为

12m，最细处离地面6m，

烟囱高14m，试求该烟囱占有空间的大小。 （图二） （图一）

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（精确到0.1m） 答案：1659.2m 归纳总结：求旋转体的体积和侧面积

由曲线yf(x)，直线xa,xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体体积为Vb33ba[f(x)]2dx.其侧面积为

S侧2f(x)1[f'(x)]2dx.

a求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出yfx的表达式；2．代入公式

Vf2xdx，即可求旋转体体积的值。

ab（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出yfx的表达式；2．代入公式V体积的值。

（四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习题4-3中6、7 五、教后反思

baf2xdx，即可求旋转体

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