自然数等李朝幂星数列本文以高阶等差数列为基础几项之和的两个公式假设给定数列a。:,,,对自然数等幂数列展开一般性的讨论”,从而导出它的前解决了a。3,,“自然数方幂和。,,的计算间题。a。么,…,a…(1)不是各项均相等的常数到a,如果记a,一,:,*=,a,_,:十;一,亡=12…,,”,…(2)其中:=12一a,,,k;,便可得到数列a,;,a,:3,…,a,:,…。(3),)的第阶差数列我们将此数列叫做(1:相应地,)的第:级差将(2)叫做(1,.特别地)的第壳如果数列(l阶差数列是各项均异于零的常数列那么就将数列(1)叫做h阶等差数列。显然;,)是k阶等差数列如果数列(1。,,那么它的比k阶高的差数列必是各项均为零的常。。数列反之亦然下面定理指出定理1几阶等差数列的通项a,一定可以用a。:,a:,,…,a*,表达出来。如果数列(l)是k阶等差数列,那么它的通项可以表示为(4)a。~艺C:一:。r证明由于。*::)是k阶等差数列由定义知当r>假设数列(l月一,,k时,。,`=。,`二12…,,,:1一C;;=…=。,十:二0,因此(4)式可以改成。。。。=艺。,:(4)`。下面我们用数学归纳法证明此式当。。。。n=1时,)等式(4’显然成立,。假设当时时,。=nt等式(4丫成立=a。二,就是a。,=乙C采一。,,,那么,当。=州+la。。+:+a:。,由{}为左阶等差数列知a{;,}必是k一l阶等差数列,依归纳假设。:二=又C孟一;。r十::=艺C;:{。r:,于是a。。十,=艺,:C益一:。,:+EC益:}a,;一C:一:。二+斌(e;一:+e;:)。,:+C李}。利用扬辉恒等式几孟二l益二,2,二。,优一1经过整理便可得到a。。十:=艺C孟。,根据归纳法知,对于任何自然数n,等式(4)`成立;从而等式(4)成立.定理2如果数列(l)是k阶等差数列,那么它的前几项的和必为S。=艺C石+`ar(5)证明:应用k阶等差数列的通项公式(4),并注意组合等式C李+C二`,+…+C石一1=C轰十1(n>r)我们得到S一a。;+。。:+。。:+…+。。。一EC石a。,+艺C呈a,:+艺C呈ar:+…+艺c:一;。r:~艺(c;+C:+e;+…+er:一re;,小氢一例假设某数列的通项为a。。=12+22十3“+…+n,,试求此数列的第几项和前几项的和。解由所给数列a。:=z,a。:=5,a。3=14,a。`=30,a。。=55,…经过计算可以得到下列数列a11=4,al:=9,a15=16,al`=25,aZ一=5,a::=7,a:3=9,aaa=2,as:=2,可见数列{a。。}是三阶等差数列于是a。。=又C`一,a,:=C君一:a。:+C孟一:a;;+C若一;aZ,+C言一:a::5_、_、1_=1十4Ln一IJ十万吸n一1Jt少十、(n一1)(n一2)(n一3)`一2J1,_。(n=ew万L艺n。+万”`+九J=+`,`2”+`’U含l么+2:+3么十…+1一含(。+)(2。+1)S”=叉C`+`a,;=C盖a。:+C器a,,+C套a::+C才a315,、=九十艺n灭n一l少十厄nLn一1〕L一:)+一3)U人。(。一1)(二一2)(i二一兴二(。3+4。:+5。+2)一,:(。+1)“(。+2)1`兴l`16下面我们考察数列1气气3,…。*,…,其中左为任意自然数等幂数列定理由于该数列各项的底是自然数而其幂指数相同故称它为自然数3)的第r阶差数列的通项为数列(6a,,一p艺(一l)p一0C犷(。+r一p)`证明a:。:当:一=1时(7)式显然成立C这是因为lp艺(一l)P一O(穿,止+z一p)“=(一)。C了(,2+l)“+(一l)e{。“二(’,,+1)“一。“二。。。十,一。。,假设当r=l时成立,就是a,,=艺(一P.01)pC穿(。+z一p犷;当r=l+l时只要注意到。:,,,二乙(一P一l),C仅。十1+l一p)“,便有0a`+L,=a:,十,一a`。=乙(一P一01)pC(窗,:+1+z一夕)`一PE(一一01)pCf(。+z一户)“=C下(,,+l+l)`+p乙(一x)P一lC(犷。+l+x一p)`一艺(一P口01)pC窗(,2+l一P)“+(一1)`+’C{,,“=C?(,:+l+x)“+,二(一l)P一C穿(。+l+x一p)“+1+乙(一l),pCf一`(,z+l+x一户)几+(一l)’`’C{,,一e:(T+,+1)`+户P(一1),(1)e:+C:一)(+,+卜1,)。+(一1)一C{一=e}+:(。+z}一1)“+乙(一一1pC犷+、(。+z+1一p)`+(一)`+,。’;气C{二乙(一P一l1)pCf十,(。+l+z一P).)式对任何自然数r都成立根据归纳法知(7。引理1设k为正整数则组合等式17,,,,```,o2乙L一x)pC才(k一夕)p=J当I=01…左一当1`(8)Ik!当I=k成立.(参见文[l])引理2设甲,(,)是关于自然数n的l次多项式,即考甲:(。)二乙几`。’-组合等式,E(一),C若、:(、十。一。)一{0=O儿一1(9)k。k!一k证明:乙(一1),e才甲,(k+:一P)=兄(一z),C穿乙秃`(人+。一户)’一’一乙(一1)pC露乙庵`乙C}一。、`一`一’(k一P)’一01一0亡且lr~写IJ七éJ乙C{一,乙(一l)pe:(、一,),,云一0)一〕显然了二O,,,,1,2,…,I。根据组合等式(9)当f专。了成l
